Тема: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Тема: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Класс: 11 класс, информационно-технологический профиль

Цели урока:

Обучающая: повторить, обобщить, систематизировать и расширить знания и умения учащихся по решению логарифмических уравнений и неравенств; познакомить с нестандартными методами решения заданий повышенного уровня сложности.

Развивающая: формирование логического мышления и математической культуры учащихся; умений работать с тестовыми заданиями; развитие их познавательной деятельности, творческой активности, внимания, умение выделить главное, делать выводы.

Воспитательная: воспитание интереса к предмету, чувства ответственности за коллектив в процессе творческой работы в группах, уважительного отношения к одноклассникам, целеустремлённости в достижении поставленной цели.

Оборудование урока:

1. таблица «Логарифмическая функция и её график»;

2. раздаточный материал для опроса по тестам;

3. раздаточный материал для работы в творческих группах;

4. раздаточный материал для домашнего задания.

Ход работы.

1. Защита домашнего задания

(двое учащихся у доски решают логарифмическое уравнение и неравенство с параметром)

Задание №1: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение:

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Данное уравнение равносильно уравнению . Если a+6 = 0, т.е. а = – 6, то уравнение принимает вид: (ложно)

Следовательно, в этом случае решений нет.

Пусть –6. Перейдём к равносильному уравнению ;

ОДЗ исходного уравнения:

принимает все неположительные значения.

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда: .

Найдём корни квадратного трёхчлена ;

; D=0;

Итак, ;

Решаем неравенство методом интервалов:

если, а=5; а=2;

—

—

a

- 6 2 5

Решение полученного неравенства: ( – ∞; 6) U [2;5].

Ответ: при – ∞; U [2;5] исходное уравнение имеет решение.

Задание №2: При каких целых, а неравенство верно для любого значения x?

Решение.

;

.

Последнее неравенство выполняется для любого значения x тогда и только тогда, когда D

Т.е. ;

.

Пусть , тогда ;

Рассмотрим функцию ; , если , :

Итак, ;

;

Ответ: целые решения 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

1. Устная работа с классом

(Вступительное слово учителя о типовых ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств)

1. Что такое ОДЗ уравнения? ОДЗ неравенства?

2. При решении логарифмических уравнений распространены ошибки, связанные с изменением ОДЗ уравнения.

Например: стандартная замена на сужает область определения уравнения и, следовательно, может привести к потере корней. Не допустить этого легко – надо просто воспользоваться правильной формулой. .

3. При использовании равенства тоже происходит сужение ОДЗ уравнения, т.к. определён при (-∞; 3) U (3; +∞), а определён только при (3; +∞).

Поэтому, чтобы не произошло потери корней, необходимо использовать тождество . Обе его части определены при (-∞; 3) U (3; +∞).

4. Заметим, что при замене выражения на происходит, наоборот, расширение ОДЗ, что может привести к появлению посторонних корней. Это менее опасно, так как лишние корни можно обнаружить проверкой.

5. Переход также представляет опасность, так как ОДЗ левой части равенства (0; +∞;), а правой части: ∞). Поэтому необходимо проверить, является ли значение x=1, корнем уравнения.

Общий вывод: Во избежание ошибок внимательно следите за изменением ОДЗ уравнения. Помните, что появление посторонних корней при решении уравнений – болезнь излечимая, есть лекарство – проверка, позволяющая отказаться от ненужного.

Потеря же корней, как правило, необратима. Всё, как в жизни, лучше найти, чем потерять: нашёл – не нужно – выброси, потерял – не восстановишь.

6. При решении логарифмических неравенств возникают ошибки, аналогичные тем, которые мы рассмотрели. Кроме того, много ошибок связано с игнорированием монотонности логарифмической функции. При этом не всегда учитывается ОДЗ неравенства.

1. Устные упражнения

1. Равносильны ли уравнения:

1. ; и ;

2. ; и ;

3. и .

2. Найди ошибку!

.

3. Решить уравнение:

1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала

(программированный контроль в 2 вариантах).

Учитель: А теперь отработаем навыки работы с тестом, поскольку экзамен в форме ЕГЭ сдается тестированием.

Контрольный талон В-1:

Ф.И._________________________________________________

Вариант______________________________________________

№ вопроса	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
№ ответа	3	2	2	3	4	4	2	1

Тест В-1

Укажите номер правильного ответа:

1. Вычислить:

1) -2 2) -1 3) 3 4) 4

1. Вычислить: .

1) 2) 1 3) 2 4) -1

1. Найти значение выражения: .

1) 2) -12 3) -64 4) -1

1. Указать область определения тождества:

1) (-∞; +∞) 2) 0 3) (-∞; 0) 4) (0; +∞)

1. Найти значения выражения: , если .

1) 1,5 2) 124,5 3) 7 4) 5,5

1. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: .

1) (-∞; -5) 2) (5; +∞) 3)[3: 5] 4)[-5; 3)

1. Решить неравенство:

1) (-∞; 30) 2) (6;30) 3) (30; +∞) 4) (6; +∞)

1. Найти область определения функции: .

1) 2) 3) 4)

Контрольный талон В-2:

Ф.И._________________________________________________

Вариант______________________________________________

№ вопроса	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
№ ответа	2	4	4	2	3	3	4	2

Тест В-2

Укажите номер правильного ответа:

1. Вычислить:

1) 2) 2 3) 3 4)

1. Вычислить: .

1) 2) -1 3) 10 4) 1

1. Найти значение выражения: .

1) 1 2) 3) -8 4) -6

1. Указать область определения тождества:

1) (-∞; +∞) 2) (0; +∞) 3) 4)

1. Найти значения выражения: , если .

1) 0,5 2) 5 3) 4,5 4) 146,5

1. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: .

1) (1; 3) 2) (-1; 1) 3)(-4; -1) 4)(-7; -4)

1. Решить неравенство:

1) (-∞; 15) 2) (15;+∞) 3) (5; +∞) 4) (5; 15)

1. Найти область определения функции: .

1) 2) 3) 4)

1. Углубление знаний учащихся: нестандартные способы решения логарифмических уравнений и неравенств

   1. Методы, основанные на использовании монотонности функций.

Учитель: Особого внимания заслуживают так называемые «комбинированные» уравнения вида . В задании будут даны две функции, несовместимые для непосредственного аналитического решения. Необходимо будет провести нестандартные логические рассуждения для решения уравнения. Такого вида уравнения включены в тесты ЕГЭ в разделе «B». В ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает на отрезке [a; b], а функция непрерывна и убывает на этом же отрезке, то уравнение на отрезке [a; b] может иметь не более одного корня. Поэтому при решении уравнения необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке [a; b] убывает, а другая возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует.

Пример 1: Решить уравнение:

. В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение.

Корни уравнения будем искать на промежутке (-3; +∞), на котором определены обе функции, представленные в уравнении. Функция стоящая в левой части уравнения, монотонно убывает на рассматриваемом промежутке, поскольку основание логарифма . Функция , стоящая в правой части уравнения, монотонно возрастает на промежутке (-3; +∞).

Поэтому уравнение не может иметь более одного корня. x = - 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: x = -2.

Пример 2: Решить уравнение : ;

Ответ: x = 4.

1. Методы, основанные на использовании ограниченности функций.

Учитель: На этом этапе урока мы будем рассматривать так называемые нестандартные уравнения вида , где и - функции совершенно разного типа. Например, одна логарифмическая, а другая тригонометрическая. При решении уравнений такого вида удобно воспользоваться следующей теоремой:

Если на некотором промежутке I наибольшее значение равно числу А, а наименьшее значение g(x) тоже равно числу А, то уравнение равносильно системе: на данном промежутке I.

Устные упражнения:

1. Даны функции ; ; ; ; ; где x0; где x

2. Назовите примеры функций, у которых множество значений ограничено.

Работа в творческих группах:

(по 5 человек в каждой, с последующей защитой у доски заданий творческого характера)

Решить уравнение, применяя метод, основанный на использовании ограниченности функций.

I и III группы: ).

Решение.

Поскольку и поэтому .

С другой стороны, имеет место неравенство . В этой связи равенство в исходном уравнении может быть только в том случае, когда обе части уравнения равны 1, т.е. .

Отсюда получаем систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем, что

Т.е. ; ; .

Подставим значения в первое уравнение системы:

(истинно).

Отсюда следует, что решением системы уравнений являются числа , n-целое число.

I и IV группы: .

Решение.

Областью допустимых значений уравнения являются x0. Используя свойства логарифмов, перепишем уравнение в виде:

(*). Поскольку x0, то согласно неравенству Коши имеем и .

Однако известно, что . Следовательно, равенство в уравнении co(*) достигается лишь в том случае, когда обе его части равны 1, т.е. .

Решаем второе уравнение системы:

Подставим x=1 в первое уравнение системы: .

Значит, решением системы уравнений (**) является x=1.

Ответ: x=1.

Учитель: Прежде, чем перейти к следующему нестандартному способу решения логарифмических уравнений, повторим геометрический смысл модуля.

Вопрос: Что значит решить уравнение ?

(ответ учащихся: это значит, найти все точки x числовой прямой, сумма расстояний от каждой из которых до точек b и c равна а)

Предлагаю устно решить следующее уравнение:

а) Ответ:

б) Ответ:

в) Ответ: нет решений.

Учитель: Предлагаю применить этот способ при решении логарифмического уравнения со знаком модуля.

Один из учащихся у доски решает уравнение:

Решение.

ОДЗ: x0

Пусть , тогда т.к. , а , то уравнение со (*) запишем в виде: ;

-7 t 0 t

0

-7

t

t

Ответ:

Учитель: А теперь заслушаем сообщения учащихся первой творческой группы о нестандартных методах решения логарифмических уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

3) Методы, основанные на применении утверждений:

является верным, если .

является верным, если ;

.

Сообщение первого ученика:

Утверждение_1: Равенство является верным, если .

Доказательство.

Действительно, после возведения обеих частей равенства в квадрат получим: ;

А последнее равенство верно, если .

Пример_1: Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся утверждением_1.

Т.к. то корням исходного уравнения будут все те значения x, которые удовлетворяют неравенству Полученное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

или

или

или

или

Решением первой системы является отрезок . Решением второй системы является объединение отрезков вида , где .

Ответ: , где

Сообщение второго ученика:

Утверждение_2: Равенство является верным, если .

Доказательство.

Возведём обе части равенства в квадрат:

Пример 2: Решить уравнение:

Решение.

Так как , то данное уравнение равносильно неравенству Решим полученное неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию:

. Найдём нули функции:

или

Докажем, что при .

В самом деле, функция при является возрастающей, так как поскольку

Значит, , т.е.

О + а - 2^а + х

О вет: [a; 2^a], при a1.

Сообщение 3-го ученика:

Утверждение_3:

Доказательство:

Возведём обе части неравенства в квадрат:

Это неравенство выполняется при ab

Примечание_1. Если рассмотреть нестрогое неравенство , то оно верно при любых значения a и b, поскольку строгое неравенство выполняется при ab .

Примечание_2. Неравенство не выполняется ни при каких значениях a и b.

Пример 3: Решить неравенство:

Решение.

х0, поэтому

Так как ,то воспользуемся

утверждением 3.

Т.е. неравенство со (*) равносильно следующему:

;

Пусть , тогда (t-4)(t+1)

Рассмотрим функцию , если .

Ответ:

Учитель: Вопросы учащимся:

1. Какие из перечисленных ниже чисел являются положительными:

.

1. Какие из перечисленных ниже чисел являются отрицательными:

1. Расположить числа в порядке возрастания:

Учитель: А теперь заслушаем сообщения учащихся 2-ой творческой группы о нестандартных способах решения логарифмических неравенств.

4) Методы, основанные на применении утверждений:

– Знак совпадает со знаком произведения .

– Знак совпадает со знаком произведения .

Сообщение первого ученика:

Пример 1: Решить неравенство: .

Решение.

Я предлагаю вашему вниманию традиционный способ решения.

Стандартное решение этого неравенства требует представления его в виде: и рассмотрение двух случаев: x1 и 0x

1) 2)

Решением первой системы является числовой промежуток , а вторая система не имеет решений.

Ответ: .

Однако эту задачу можно решить иначе, не рассматривая двух случаев. Необходимо заметить, что знак выражения совпадает со знаком произведения

Действительно,

если и , то и

если и , то и

если и , то и

если и , то и

Проведённые рассуждения несложные, но заметно упрощают решение логарифмических неравенств.

Например, ;

Решение.

2

√3

1

0

-√3

-2

Сообщение второго ученика:

Пример 2: Найти область определения функции

Решение.

Область определения данной функции задается неравенством

При решении этого неравенства можно использовать тот факт, что при всех допустимых значениях и произведение имеют один и тот же знак. Тогда получим:

Второе неравенство решаем методом интервалов:

-

х

-

+

+

2

-2

-3

;

Ответ:

Сообщение третьего ученика

Обобщим полученный результат о совпадении знаков и

Теорема 1: Для чисел a, b, c таких, что a0, , b0, c0 Верны следующие утверждения:

1) неравенства и равносильны;

2) неравенства и равносильны;

3) неравенства и равносильны;

4) неравенства и равносильны.

Докажем первое утверждение:

1. Докажем, что при всех допустимых значениях из неравенства следует неравенство .

Доказательство.

Если , то из неравенства следует, что ,т.е. . Значит, .

Если , то из неравенства следует, что , т.е. . Значит, .

1. Теперь докажем, что при всех допустимых значениях из неравенства следует неравенство .

Доказательство.

Поскольку и , то либо , либо .

Если , т.е. , то из неравенства следует, что , т.е.

Итак, , , то ввиду того, что , и логарифмическая функция с основанием большим единицы, возрастающая, получаем неравенство .

Если , т.е. , из неравенства , следует, что , т.е.

Итак, если , , то учитывая убывание логарифмической функции с основанием меньшим единицы и то, что , , получим неравенство .

Примечание:

Остальные утверждения доказываются аналогично.

А теперь решим неравенство, используя новый способ:

Пример 3:

Р ешение.

Данное неравенство равносильно следующей системе:

Ответ:

Учитель: Вашему вниманию предлагается ещё одно нестандартное логарифмическое уравнение:

Решение.

ОДЗ: х0.

Слагаемые в левой части уравнения являются членами арифметической прогрессии разность d которой равна lgx. Левая часть представляет собой сумму десяти первых членов арифметической прогрессии. ;

Итак,

Ответ: х=10.

1. Подведение итогов занятия

   1. Какие нестандартные способы решения логарифмических уравнений и неравенств мы сегодня с вами изучили?

   2. Знакомлю учащихся с результатами тестирования.

   3. Сообщаю оценки с учётом работы на всех этапах занятия.

2. Домашнее задание на карточках

   1. Решить уравнения:

      1. 

      2. 

      3. 

   2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два различных решения.

   3. Решить неравенство: при всех значения параметра а.