Сравнение арифметической и геометрической прогрессий
Сравнение арифметической и геометрической прогрессий
План урока дан для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе. Изучение арифметической и геометрической прогрессий проводится параллельно.
Цели урока: 1. Образовательные – ввести определения арифметической, геометрической прогрессий; вывести формулы n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; познакомить учащихся с характеристическим свойством, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии. 2. Развивающие – продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации. 3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Тип урока: лекция по введению и самостоятельному приобретению новых знаний.
Метод обучения: учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний; работа по обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Сравнение арифметической и геометрической прогрессий »
Урок-лекция "Сравнение арифметической и геометрической прогрессий"
План урока дан для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе. Изучение арифметической и геометрической прогрессий проводится параллельно.
Алгебра 9 класс. Тема: "Прогрессии" (16 - 18 часов) (По учебнику "Алгебра 9" под редакцией С.А. Теляковского)
Вопросы к зачету: 1. Что такое числовая последовательность? Привести пример. 2. Определение арифметической, геометрической прогрессий. 3. Формула n-ого члена (вывод). 4. Свойства прогрессий. 5. Формула суммы n первых членов прогрессий (вывод). 6. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Цели урока: 1. Образовательные – ввести определения арифметической, геометрической прогрессий; вывести формулы n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| 2. Развивающие – продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации. 3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Тип урока: лекция по введению и самостоятельному приобретению новых знаний.
Метод обучения: учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний; работа по обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.
Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит – понять предмет". (К.Д. Ушинский)
Ход урока:
1. Подготовительная работа.
Формулирование определения умения сравнивать: "Сравнение – сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и черт различия между ними. Суждения, выражающие результат сравнения, служат цели раскрытия содержания понятий сравниваемых объектов". (Философский словарь)
1. Выделение объектов исследования.
Сравнить между собой последовательности: 1) 2, 7, 9, 12, …; 2) 3, 5, 7, 9, 11, …; 3) 4, 8, 16, 32, …; 4) –17, 25, 36, 2, 18, …; 5) –1, 2, –4, 8, –16, …; 6) 10, 9, 8, 7, 6, …; 9) 3, 3, 3, …; 11) 1, –3, 9, –27, 81, …; 12) –1, –1, –1, … . а) Опишите закономерность, с помощью которой вы это сделали? б) Объедините последовательности в группы.
Вывод: Сравнивая между собой эти последовательности, учащиеся обнаружат среди них такие, которые образованы при помощи одного и того же общего для всех свойства, а затем установят способ их конструирования.
2. Обнаружение свойств изучаемых объектов, которые являются основанием для определения.
На доску слева проецируется задача, приводящая к арифметической, а справа – к геометрической прогрессии.
Задача Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для седьмого ряда?
Рис. 1
Задача В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.
Рис. 2
Вопросы к задачам: 1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи. 2. Указать последующий, предыдущий члены. Чем они отличаются? 3. Найти разность между предыдущим и последующими членами в первой задаче и частное от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче. 4. Дать определение арифметической (геометрической) прогрессии.
2. Учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний.
"Прогрессия" – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Предлагается разделить страницу тетради на две части и слева написать "Арифметическая прогрессия", а справа "Геометрическая прогрессия". Всю работу школьники проделывают на доске и в тетрадях одновременно для обеих прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Определение
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … 5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2; … Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом ().
d – разность прогрессии, где
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 2 = 1·2; 4 = 2 · 2; 8 = 4 · 2; ... Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число ().
q – знаменатель прогрессии, где
(В задании № 1 указать разность (знаменатель) прогрессии, дать понятие возрастающей или убывающей прогрессии)
Задание прогрессии
Формула n-ого члена
Работа по выводу формулы n – ого члена проводится самостоятельно по вариантам, затем делаем вывод и записываем формулы (). Далее предложить учащимся сравнить прогрессии, изобразив графически, зависимость n – ого члена от порядкового номера, используя данные приведенных выше задач.
Рис. 3
Разность двух рядом стоящих членов остается одно и та же, вследствие чего члены прогрессии возрастают (убывают) равномерно. Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида Верно и обратное: учебник стр. 85.
Рис.4
Разность двух соседних членов увеличивается по мере удаления их от начала ряда; вследствие этого, члены такой прогрессии, по мере их удаления от начала ряда, возрастают все быстрее и быстрее, что наглядно изображено на рис. 4. Данная зависимость представляет собой показательную функцию, с которой учащиеся познакомятся в старших классах.
Характеристическое свойство Вопросы и задания к учащимся:
1) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?
2) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?
3) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность:
Доказательство провести по вариантам и обменяться мнениями:
Следствие
Из определения разности следует, что т.е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Из определения знаменателя следует, что т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Формула суммы п первых членов
Вернемся задаче: Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 5 рядов? Рассуждение поясним на рис. 5. Рис. 5 Сумму 3+5+7+9+11 можно изобразить так, как показано на рис. 5 и из двух таких фигурок составить прямоугольник , тогда рабочему потребуется (5 ·14) ÷ 2 плиток. Продолжим рассуждения: S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11. Напишем в обратном порядке: S = 11 + 9 + 7 + 5 + 3. И сложим эти равенства: S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + 11 + 9 + 7 + 5 + 3. В каждом столбце стоят 2 числа, дающие в сумме 14. Поэтому: Вывод: в общем случае будет n столбцов с одинаковой суммой, равной сумме первого и последнего членов. Поэтому
Задача: найти сумму первых ста натуральных чисел 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100? Используя исторический материал, рассказать ребятам историю о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777-1855 г.г.), который обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что 1 + 100, 2 + 99 и т.д. равны, он умножил 101 · 50 = 5050. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Заметим, что если заданы первый член и разность, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Так как
Учащимся предлагается задача, при решении которой возникает необходимость в выводе новой формулы. "Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат, ученого Сету, и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше и т.д. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?" Возникает необходимость найти , где Имеем: Умножим обе части равенства на знаменатель q = 2; получим Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения: Эта задача привлекла внимание Л.Н. Толстого. Приведем часть его расчета (кодоскоп): 1 кл. - 1 2 кл. - 2 3 кл. - 4 … 35 кл. - 17 179 869 184 … 64 кл. - 9 223 372 036 854 775 808 Общее число зерен: 18 446 744 073 709 551 615. Масса такого числа зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма (Предложить учащимся самостоятельно получить формулу суммы n первых членов).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
Особого внимания заслуживает бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, где |q| Это лучше всего объяснить на примерах. Один из "парадоксов Зенона" (древнегреческого философа) состоит в следующем (в изложении Льва Толстого в "Войне и мире", т. 3, ч. 3). … Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т.д. до бесконечности. Задача представлялась древним неразрешимой. Отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию
со знаменателем 0,1. (за единицу принимаем начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой). Общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть "сумма бесконечного числа членов":
Способ 1: Обозначим сумму через S: Способ 2: Будем добавлять слагаемые по одному: Способ 3: По формуле суммы геометрической прогрессии: Получаем формулу: (изменили знаки в числителе и знаменателе). Способ 4: Здравый смысл подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав некоторое расстояние S. За это время черепаха, скорость которой в 10 раз меньше, проползает расстояние S/10 и расстояние между ними уменьшится на В начале оно равнялось 1, а в момент встречи стало нулевым, так что
Затем предложить учащимся ознакомиться с выводом формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| и рассмотреть в учебнике задания на применение данной формулы.
3. Подведение итогов урока
Предложить учащимся ответить на вопросы: 1) по какому плану сравнивали изучаемые понятия "Арифметическая и геометрическая прогрессии"; 2) укажите их общие существенные признаки; 3) определите существенные различия между ними; 4) сделайте вывод, вытекающий из сравнения.
Результаты можно оформить в виде таблицы "Вид последовательности".
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Определение
d – разность.
q – знаменатель.
Формула n-ого члена
Характеристическое свойство
Формула суммы п первых членов
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|
4. Задание на дом
1. Учебник "Алгебра 9" (под редакцией С.А. Теляковского), изучать параграфы 7, 8. 2. Исторические сведения о прогрессиях (учащиеся по желанию готовят выступления, доклады). 3. Составить задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий. 4. Найти сумму первых п четных чисел; нечетных чисел.
). 
).
, где 
