Презентация для урока по теме: "Арифметическая и геометрическая прогрессии".

Арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия.

• Цели:

• Записать формулу нахождения п – го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии.
• Записать формулу нахождения п – го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии.
• Сравнить арифметическую и геометрическую прогрессии.
• Составить алгоритм сравнения прогрессий.

• «Прогрессия» -

латинское слово, означающее «движение вперёд»,

было введено римским автором Боэцием ( VI век)

и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность .

Ответьте на вопросы

• Какая последовательность чисел называется арифметической прогрессией.
• По какой формуле находится

п - ый член арифметической прогрессии.

(ответ записать и сравнить с формулой на экране)

Ты молодец, если твоя формула выглядит так:

• а п = а 1 + d ( п – 1)

Ответьте на вопросы

• Какая последовательность чисел называется геометрической прогрессией.
• По какой формуле находится п член геометрической прогрессии.

(ответ записать и сравнить с

формулой на экране)

Ты молодец, если твоя формула выглядит так:

• в п = в 1 q п-1

Составьте формулу п - го члена прогрессии и найдите неизвестный член

а 1 и d

а) а 1 = 3; d = 2

3; 5; 7; 9;…

б) а 20 - ?

в 1 и q

а) в 1 = 1; q = 2

1; 2; 4; 8; 16; …

б) в 10 - ?

• Используя данные задачи, изобразите графически две зависимости п – го члена от порядкового номера.

Сравните полученные графики прогрессий.

• Разность двух рядом стоящих членов остаётся одна и та же, вследствие чего члены прогрессии возрастают (убывают) равномерно

• Разность двух соседних членов увеличивается по мере удаления их от начала ряда: вследствие этого, члены такой прогрессии, по мере их удаления от начала ряда, возрастают всё быстрее и быстрее, что наглядно изображено на рисунке.

Ответьте на вопрос и запишите в тетрадях

• По каким формулам вычисляется сумма п первых членов арифметической и геометрической прогрессий?

Ты молодец, если твои формулы записаны так

Геометрическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Сумма п первых членов

• Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?
• Число зёрен, о которых идёт речь, является суммой шестидесяти четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой 1, а знаменатель равен 2.
• S = 2 64 – 1
• Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Немецкий математик

К. Гаусс (1777 – 1855г.г.) ещё в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике.

Учитель предложил сложить все натуральные числа от 1 до 100.

Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.

Сообразив, что 1+100=2+99 …, он умножил 101 и 50.

Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство

Найти среднее

арифметическое

чисел 2 и 8.

Записать

найденное число

с данными в

порядке

возрастания.

Найти среднее

геометрическое

чисел 2 и 8.

Записать

найденное число

с данными в

порядке

возрастания.

Образуют ли эти числа арифметическую прогрессию?

Образуют ли эти числа геометрическую прогрессию?

2, 5, 8.

2, 4, 8.

Справедлива ли эта зависимость для трёх последовательных членов рассматриваемых последовательностей.

• 1, 2, 4, 8, 16, …

• 3, 5, 7, 9, 11, …

Докажите, что для прогрессий справедлива закономерность.

в 2 п +1 = в п в п+2

в 2 п+1 = в п в п+2

Если ты доказал так, то ты молодец!

• а п+1 – а п = а п+2 – а п+1
• 2 а п+1 = а п+2 + а п
• а п+1 = ( а п+2 + а п )/ 2

• в п+1 : в п = в п+2 : в п+1
• в 2 п+1 = в п * в п+2

Следствие

Из определения разности следует, что

а 1 + а п = а 2 + а п-1 = …,

то есть сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, есть величина постоянная .

Из определения знаменателя следует, что в 1 в п = в 2 в п-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

• Один из «парадоксов Зенона» (древнегреческого философа) состоит в следующем:
• … Ахиллес никогда не догонит черепаху, несмотря на то, что идёт в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдёт пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдёт впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдёт эту десятую, черепаха пройдёт одну сотую и т.д. до бесконечности. Задача представлялась древним неразрешимой.
• Отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,1. Общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть «сумма бесконечного числа членов»: 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …Обозначим сумму через S , тогда
• 10 S = 10 + 1 + 0,1 + 0,01 +…=10 + S , тогда S = 10/9

• S =

Ответьте на вопросы

• По какому плану (алгоритму) сравнивали изучаемые понятия «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?
• Укажите их общие существенные признаки.
• Определите существенные различия между ними.
• Сделайте вывод из сравнения.

Домашнее задание:

• Задачник по алгебре для 9 класса под ред. А. Г. Мордковича № 443, 505.
• Учебник по алгебре для 9 класса под ред. А. Г. Мордковича п.15,16.
• Исторические сведения о прогрессиях

( по желанию выступление или доклад)

Государственное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение гимназия № 49 Приморского района Санкт - Петербурга

Учитель: Алексеева Л.В.