Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Урок математики в 9 классе.

Подготовила и провела учитель математики

Прохоренко Светлана Викторовна.

Тема: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций»

Тип урока: комбинированный

Цели:

Образовательная: Формирование умений составлять математическую модель к задачам «на работу»

Развивающие: Развивать коммуникативные компетенции через применение на уроке различных форм взаимодействия: индивидуальной, парной. Развивать познавательные процессы учащихся (восприятия, внимания, памяти). Учить анализировать, выделять главное, строить аналогии, обобщать, сравнивать, решать проблемы.

Воспитательная: Воспитывать стремление достигать поставленную цель, чувство ответственности, уверенности в себе, самостоятельности.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сегодня я хочу начать наш урок словами великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева:

«Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает»

Вопросы:

Как вы думаете, почему я начала свой урок с этих слов?

Да сегодня на уроке мы будем составлять математические модели к практическим задачам.

Какую тему мы изучали на прошлом уроке?

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Что вы научились делать на прошлом уроке?

Составлять системы уравнений к задачам

В чем преимущества таких моделей?

Составляются быстрее

Давайте вспомним алгоритм составления систем уравнений при решении задач.

1. Проверка домашнего задания:

На дом вам была задана задача №7.2. К какому типу задач относится эта задача.

К задачам на движение.

1. Что было известно в задаче?

2. Что требовалось найти?

3. С чего вы начали составление математической модели? _ Обозначили неизвестные величины буквами.

4. Что сделали дальше? – выразили оставшиеся величины

5. Что дальше? - Нашли условия для составления уравнений

6. Что это были за условия?

7. Какую систему получили?

8. Какой ответ получили при решении системы?

9. Все ли справились с решением системы? (кто не справился с решением системы, проверьте дома свое решение и исправьте ошибки)

( повторяем алгоритм)

Алгоритм

1. Обозначить неизвестные величины буквами.

2. Выразить оставшиеся неизвестные величины.

3. Найти в задаче условия для составления уравнений.

4. Решить получившуюся систему.

5. Найденное решение использовать для ответа на вопрос задачи.

Были ли у вас трудности при составлении математической модели? На каком этапе? Можем ли мы сказать, что мы умеем составлять системы уравнений к любому типу задач

Сегодня я предлагаю вам рассмотреть новый тип задач, которые также можно решить с помощью систем уравнений.

Откройте тетради, запишите число, сформулируйте тему урока.

1. Актуализация

Перед вами таблица, в которую занесены разные условия

1. Как вы думаете, о каких процессах идет речь? - О работе

2. Почему? – т.к. Р – производительность

t – время

А – работа

1. Что такое производительность? – доля работы, проведенная в единицу времени

2. Что такое время? – время, в течение которого проводится работа

3. А – работа, проведенная за время t

Я предлагаю вам придумать текст задачи по данным условиям. Чтобы сэкономить время каждый выберет по одному условию.

Кто выбирает 1 условие , 2 условие, 3 условие?

Как вы думаете, почему в 3-м условии не записаны единицы измерения работы? Какое количество работы здесь рассматривается?

1 котлован, 1 бассейн, какое-нибудь задание

Если речь идет о выполнении некоторой работы, не выраженной количеством (не сказано: сколько деталей надо сделать, сколько га надо вспахать), то весь объем работы принимают за единицу.

А как тогда посчитать производительность?

Производительность считают в долях от единицы

Проверяем задачи. Вопросы: Как узнал? Как нашел? Почему? (Добиваться проговаривать формулы)

3 задача: В каких единицах будем измерять производительность в 3 задаче?

Ответ: Бригада вырыла 1/8 котлована за 1 день

А если бригада вырыла котлован за 4 дней, то с какой производительностью она работала?

Ответ: бригада вырыла ¼ котлована за 1 день

А если бы работали 2 бригады вместе, то какую часть котлована они бы вырыли?

_ котлована

Давайте запишем особенности решения задач «на работу»

( слайд)

Как вы думаете, задачи какого типа мы будем сегодня решать?

- задачи «на работу»

Как вы думаете, какую математическую модель мы выберем сегодня при решении задач такого типа?

- системы уравнений

Чему мы сегодня на уроке будем учиться?

- учиться составлять системы уравнений при решении задач «на работу».

1. Формирование новых умений:

А теперь я предлагаю вернуться к началу нашего урока. Вначале урока вы предположили, что мы будем решать практические задачи. Действительно я прошу вас мне помочь.

Через 14 дней ко мне в гости должны приехать родственники. Я хотела бы провести косметический ремонт в комнате, в которой я хочу их поселить. На днях просматривая газеты, я увидела объявление, которое меня заинтересовало:

« Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 дней. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 дней быстрее, чем вторая»

Как вы думаете, какой у меня возник вопрос после прочтения этого объявления?

За сколько дней могла бы выполнить работу каждая бригада по отдельности?

У меня получилась задача, которую я предлагаю вам решить.

С чего начнем?

-Выделим главное и составим таблицу

Вопросы: (параллельно заполняется таблица на доске)

1. О каких процессах идет речь в задаче?- о работе

2. Сколько процессов описано в задаче?- работа 1 бригады, работа 2 бригады, совместная работа

3. Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в задаче?- производительность, время, работа

4. Занесите все известные данные в таблицу самостоятельно. Что у вас получилось? (заполняют таблицу на доске самостоятельно)

5. Как будем решать задачу? – составим систему

6. С чего начнем? – обозначим неизвестные величины буквами

7. Что делаем дальше? – выразим оставшиеся величины.

8. Если работая вместе, всю работу обе бригады выполняют за 8 дней, то какую часть работы выполнят бригады, работая 1 день?

9. Что дальше? – найдем условия для составления уравнений

10. Давайте выделим эти условия - Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 дней быстрее, чем вторая

« Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 дней.

Какое уравнение составим, используя первое условие?

Предполагаю:_ .Почему?

Какое уравнение составим, используя второе условие?

Вопросы:

К чему будем приравнивать? Почему?

Что такое единица?

Как найти всю работу, которую выполнили две бригады вместе? –часть работы, которую выполнила 1 бригада прибавить часть работы, которую выполнила вторая бригада.

Какую часть работы выполнила 1 бригада?

Какую часть работы выполнила вторая бригада?

Какую часть работы выполнили две бригады, работая вместе?

Получаем уравнение: _

Простое получилось уравнение или сложное?

А можно ли найти совместную производительность, зная производительность каждой бригады по отдельности?

Получаем еще одно уравнение: _

1. Что делаем дальше? – составляем систему.

2. Нужны ли нам в системе все уравнения? – нет

3. Сколько должно быть уравнений, если переменных 2?

4. Какие уравнения возьмем в систему? Из 1 условия, из второго условия? Почему?

5. Что дальше? – решаем систему. Умеем решать системы? Кто пойдет решать систему у доски, чтобы мы могли потом проверить решение?

Один ученик решает систему за доской.

(решаем систему, получаем ответ, проверяем правильность решения)

1. Что делаем дальше? – найденное решение используем для ответа на вопрос задачи.

Итак, 1 бригада может выполнить работу за 12 дней, а вторая бригада за 24 дня.

Успею ли я закончить ремонт или нет? И к кому мне обратиться?

1. Закрепление: (работа в парах)

Задание: Составить математическую модель к задаче:

Бассейн заполняется двумя трубами за 6 часов. Первая труба может наполнить его на 5 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба в отдельности.

Проверка на слайде

1. Подведение итогов:

Наш урок близится к завершению, поэтому мне хотелось, чтобы вы вспомнили все, что мы делали на уроке и сказали, что нового или что важного для вас было сегодня на уроке.

(слайд)

Домашнее задание: № 7.21

А теперь я предлагаю самим оценить свою работу. Сегодня вы выполняли трудную работу. Мы с вами взбирались на гору знаний. Как вы считаете, на каком уровне вы сейчас находитесь?

А мне бы хотелось за активную работу на уроке поставить «5» следующим ученикам.