Решение задач на движение

ПрактическАЯ РАБОТА№ 6

Тема: Решение задач на движение

Цели:

• изучить алгоритм решения задач на движение

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 5

- Выписать в тетрадь правила для решения задач на движение

- Записать в тетрадь решение рассмотренных задач

Задание 2.

Решить задачи для самостоятельного решения

Лекция 5.

Тема «Решение задач на движение»

Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:

• задачи на числовые зависимости;

• задачи, связанные с понятием «процента»;

• задачи на прогрессии;

• задачи на движение;

• задачи на совместную работу;

• задачи на смеси и сплавы.

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

1. Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.

2. Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).

3. Решение полученного уравнения или системы уравнений.

4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.

1. Составляющие движения.

Движение состоит из трех компонент:
- скорости (),
- пути (пройденного расстояния) ( ),
- времени движения () .
Эти составляющие находятся в зависимостях вида:
.
Очень часто человек в стрессовой ситуации контрольной работы или экзамена путается и забывает эти формулы. В этом случае обязательно нужно проговорить про себя какой-нибудь очевидный пример из жизни. Например, формулу  можно сказать словами как «автомобиль едет 2 часа со скоростью 60 км/ч, значит, он проехал 120 км, т.е. время нужно умножить на скорость».

2. Единицы измерения.

Всегда записывая условия задачи и ответ необходимо указывать единицы измерения величин.
Время может измеряться в часах, минутах, секундах, днях и т.д.
Расстояние может измеряться в километрах, метрах, сантиметрах, лье, милях, кабельтовых, попугаях и их крылышках ( м/ф «38 попугаев», Союзмультфильм, 1976 год), и т.п.
Скорость может измеряться в километрах в час, метрах в секунду, милях в час и еще много, много в чём.
При решении задачи все составляющие требуется обязательно приводить к одним единицам измерения, т.е. если в задаче говориться, что «Маша гуляла 2 часа, а потом 15 минут делала уроки. Сколько времени она потратила всего? », то нужно выбрать единицы измерения времени, например, часы, тогда условие примет вид «Маша гуляла 2 часа, а потом 0,25 часа делала уроки».

Единицы измерения длины

1 сантиметр = 10 миллиметров

1 дециметр = 10 сантиметров = 100 миллиметров

1 метр = 10 дециметров = 100 сантиметров = 1000 миллиметров

1 километр = 1000 метров

1 миля = 1609, 344 метра

1 морская миля = 1852 метра

Единицы измерения времени:

1 минута = 60 секунд

1 час = 60 минут = 3600 секунд

1 сутки = 24 часа = 1440 минут = 86400секунд

Замечание: Для перевода минут в часы или секунд в минуты рекомендуется представлять в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что 15 минут это четверть циферблата, т. е. 0,25 часа, 20 минут – это треть циферблата, т. е. часа. И вообще, 1 минута это часа.

1. Составление уравнений.

Для решения текстовой задачи требуется перевести слова человеческого языка на математический язык, записать факты, изложенные в условии в виде математических выражений. При решении задачи на движение следует определиться с двумя вещами:

1)Какую составляющую движения брать за переменную

2) Какую составляющую движения использовать для составления уравнений, т. е. какая из характеристик движения или одинакова в двух вариантах перемещения или известно соотношение.

Задача 1.

Маша и Петя живут в одном подъезде. Петя бежит в школу со скоростью, на 15 м/с больше, чем Маша. С какой скоростью бегут в школу дети, если известно, что Петя прибежал на 2 минуты раньше Маши, а Маша потратила на путь 200 секунд.

Решение:

1). Определим единицы измерения. При решении этой задачи будем скорость измерять в метрах в секунду, расстояние в метрах, а время в секундах.

2). Так как известно соотношение скоростей детей, то за переменную обозначим скорость одного из них. Например, скорость Маши.

Пусть х м/с – скорость бега Маши

х + 15 м/с – скорость бега Пети.

Переменную определили, осталось понять, по какой переменной составлять уравнение. Известно, что живут они в одном подъезде и бегут в одну школу, то есть они пробежали одинаковый путь. Для того чтобы вычислить пройденный путь, нужно скорость умножить на время. Не забываем о единицах измерения.

200х метров пробежала Маша.

Известно, что Петя потратил на дорогу на 2 минуты меньше, т. е. на 120 секунд меньше Маши.

200-120 = 80 секунд потратил на путь Петя.

80(х + 15) метров пробежал Петя.

Пройденное расстояние детей одинаково. Составим уравнение.

200х = 80(х + 15)

200х = 80х + 120

120х = 120

х = 1

1 м/с – скорость бега Маши.

16 м/с – скорость бега Пети.

Ответ: скорость бега Маши 1 м/с, скорость бега Пети 16 м/с.

Основные типы задач на движение:

1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),

2) задачи на движение по замкнутой трассе,

3) задачи на движение по воде,

4) задачи на среднюю скорость,

5) задачи на движение протяженных тел.

Рассмотрим более подробно каждый из этих типов задач, выделив, где необходимо, базовые задачи.

Движение навстречу.

Одним из методов решения задач является создание упрощенной модели.

Задача 2. .Рассмотрим два объекта, движущихся навстречу с указанными на рисунке скоростями.Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов:Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 + 10 = 25 метров. Таким образом, объекты сближаются со скоростью, равной сумме их скоростей. Значит, время их встречи равно t = 100/(15 + 10) = 4 (мин).Если расстояние между двумя телами равно s, а их скорости v₁ и v₂, то время t, через которое они встретятся, находится по формулеt = S/(v₁ + v₂ ).

Задача 3.Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение.Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435 - 60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через времяt = 375/(60 + 65) = 3 (ч). Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет 60 · 4 = 240 (км).

Ответ:  240 км.

Движение вдогонку

Задача 4.Рассмотрим два объекта, один из которых догоняет другой, с указанными на рисунке скоростями.Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов:Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 – 10 = 5 метров. Т.е. объекты сближаются со скоростью, равной разности их скоростей. Значит, время, за которое первый объект догонит другой, или время их встречи равноt = 100/(15 - 10) = 20 (мин).Если расстояние между двумя телами равно s, и они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁  v₂) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле t = S/(v₁ - v₂ ).

Задача5.Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение.Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т. е. 0,3 км, находим по формулеt = 0,3/(v + 1,5 - v) = 0,3/1,5 = 0,2 (ч). Следовательно, это время составляет 12 минут.

Ответ: 12 минут

Движение по окружности (замкнутой трассе)

Задача 6.Рассмотрим движение двух точек по окружности длины L в одном направлении при одновременном старте со скоростями v₁ и v₂ (v₁  v₂) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v₁ – v₂, получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку: t = L/(v₁- v₂).Итак, если две точки начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁  v₂), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ - v₂ и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Движение по воде

В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения — вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.

Задача 7.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение.Пусть искомая величина равна 2S.

Составим по условию задачи уравнение ,откуда .

Значит, искомое расстояние равно 616 км.

Ответ: 616 километров

Средняя скорость

Напомним, что средняя скорость вычисляется по формулегде S — путь, пройденный телом, a t — время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяженностью S₁ и S₂, скорости на которых были равны соответственно v₁ и v₂, то где 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

3. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч. быстрее другого. Найдите скорость каждого из поездов, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

4. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1 ч. 30 мин. вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч. раньше него. Найдите скорость мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.

5. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч., на обратный – от А до С – 15 ч. Найдите расстояние от пункта А до С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

6. Первые 432 км автомобиль ехал по шоссе со скоростью 72 км/час, следующие 152 км – со скоростью 75 км/час, а затем 66 км проехал за 1 час. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

7. Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 70 км/час и 80 км/час?

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия.