Решение квадратных уравнений, 8 класс

.

Решение квадратных уравнений

Конспект урока по алгебре

8 класс

Учитель математики Чумаченко С.И.

Урок алгебры в 8 классе

Тема урока. Решение квадратных уравнений

Цели урока : решение квадратных уравнений, выяснение условий наличия корней у квадратного уравнения , установление закономерности расположения графика квадратичной функции , формирование навыков самоконтроля , воспитание уверенности в себе.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Оборудование урока: таблица, карточки с заданиями, шаблон параболы, кодоскоп, компъютер

Ход урока.

1. Организационный момент:

Сегодняшний урок мне хотелось бы начать следующим высказыванием:

Мудрым нужна мудрость, умным -знания, а ученикам –уроки.

А.Энштейн

. "Уравнения- язык алгебры"

Евклид.

Необходимость решения уравнений второй степени была вызвана делением земли и нахождением площади земельных участков прямоугольной формы. В Вавилоне решали уравнения 2000 лет до н.э. Среди клинописных текстов найдены примеры решения уравнений подобные современным. Правило нахождения корней квадратного уравнения впервые сформулировал индийский ученый Брахмагупта. Выведением формулы общего вида занимался Франсуа Виет, в 1591 году он вывел формулы зависимости корней квадратного уравнения от коэффициентов. После трудов А. Жирара (1595-1632),Р. Декарта, И.Ньютона способ решения квадратных уравнений приобрел современный вид.

2. Сообщение темы и целей урока.

Урок наш будет состоять из нескольких этапов:

• Проверим домашнее задание.

• Решим квадратные уравнения и задачу.

• Построим и постараемся выяснить закономерность расположения графиков квадратичных функций в системе координат, в зависимости от знака дискриминанта.

• Рассмотрим интересные приемы решения квадратных уравнений

• Познакомимся с некоторыми историческими фактами(заслушаем сообщение).

• Напишем математический диктант и каждый сам проверит свою работу.

1. Актуализация знаний

2 ученика решают на доске задания из домашней работы.(кодопозитив с верным решением)

"Блиц-опрос"

• --Какие уравнения называются квадратными?

• --Является ли квадратным каждое из следующих уравнений:

5у²+4у-6=0, х²-3х-10=0, х³+ х ²-9=0, (слайд)

7х+ х²=0, 2х-+3=0

• --Какие виды квадратных уравнений вам известны?

• Заполните таблицу, распределив уравнения по видам (кодопозитив)

Уравнение	Полное	Неполное	Приведенное
5х2 +9х+2=0
63x2+x=0
ax2 –1=0
y2 –3у–18=0
(2у-1)²=0

Заполните кроссворд: (кодопозитив)

По горизонтали:

1. Определитель числа корней квадратного уравнения.

2. Квадратные уравнения, в которых с = о или в=0.

По вертикали:

3. Квадратные уравнения, в которых а=1 .

4.Количество действительных корней при Д=0.

5. Количество действительных корней при Д

6. Количество действительных корней при Д0.

7.Этого человека называют отцом алгебры, хотя он был неплохим адвокатом. Ввел буквенные коэффициенты, нашел взаимосвязь корней квадратного уравнения и его коэффициентов.

			-
			-						-
-			-						-
2	-	-	4		-	-	-		-
-									-
1	-	-	-		-	-	-	-	5	-	-	-
-										-		-
-										6		-
3												7

4. Формирование умений и навыков.

А) Решите уравнения и задачу с практическим содержанием:

№525(Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку длина которой в 2 раза больше ширины. А площадь равна 800 м². Найдите размеры площадки.

Б) 1. 2 х² - 98 =0, 5 х²+40 = 0, 5х²-80х=0, х²+9х-10=0. ( Устно) ( слайд)

2. (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 8,5) ; (Х- 5)(Х+16) = 0; 8Х (Х + 0,7) = 0; (у- 2)² = 3у - 8; 
(3с-1)(с+3)+1=с(1+6с) (письменно) (5 учеников у доски)

В) Заполните таблицу и сделайте вывод о количестве корней квадратного уравнения.

(слайд)

Уравнение	D=b² - 4ас	Кол-во корней
х² −2х -3=0	D=
х² - 4х + 4=0	D=
х² −4х +6=0	D=
−х² +2х+3=0	D=
-х² +4х−4=0	D=
-х²+4х-6=0	D=

Г) Ребята в математике понятия, факты, формулы связаны друг с другом. Квадратные уравнения и квадратичные функции это взаимосвязанные понятия. Вы знакомы с понятием "функция у = Х²", умеете строить график этой функции - параболу. Сейчас, обладая полученными знаниями, вы сможете сделать некоторые выводы.

Вам предстоит построить графики предложенных функций, и попытаться найти закономерность в расположении квадратичной функции на координатной плоскости в зависимости от знака дискриминанта.(используем шаблон)

У=х²-2х-3 / 2корня/ у = -х² +2х+3

У= х²-4х+4=0 /1 корень/ у = -х²+4х-4=0

У= х²-4х+6=0 /нет корней/ у = -х²+4х-6=0

Сделайте вывод.

5. Это интересно знать . (слайд)

Для нахождения корней квадратного уравнения существуют нестандартные приемы:

а) прием "перекидывания" старшего коэффициента (слайд)

8х² +2х -3 =0 , у²+2у-24=0, у₁= -6, у₂=4, х₁=-6:8, х₂=4:8. Ответ :-3:4, 1:2.

б) а+в+с=0 , 2014х ² -2017х +3=0, х₁₌1, х₂=3:2014. Ответ: 1,3:2014.

в) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 8,5)

6. Тематическая физминутка: левой рукой в воздухе напиши формулу дискриминанта, а правой – формулы для нахождения корней.

7. Задания для одноклассников, приготовленные учащимся.

№1 Задумайтесь на минуту, решая задачу :сердце нормального человека бьется с частотой 70 ударов в минуту, а курильщика на5-10 ударов больше .Сколько дополнительных ударов вынуждено делает сердце курильщика?.

№2 Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскара ( слайд)

Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая,
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?

Решение:

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – (x/8)².

Составим уравнение:

(x/8)²+12=x;

X²/64-х+12=0

x²-64х+768=0

D=1024

x₁=16, x₂=48

Ответ:16 и 48.

№3 Задача 4. (Задача Бхаскары, Индия, XIIв.)

Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение. Пусть отрезки АВ и АС изображают лотос в двух положениях. Если АD = х – глубина озера, то ВD = 1/2, АС = х+1/2.

Составим уравнение х² + 2² = (х + 1/2)²,

Решим уравнение х² + 2² = х² +2*1/2х + (1/2)², х² + 4 - х² –х -1/4 =0, х=3 ¾.

 Ответ: глубина озера 3 3/4 фута.

Задача3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле h=V₀ t-gt²/2, где V_o(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с². Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t². Получили квадратное уравнение, решим его. 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0, D=16, t₁=2; t₂=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t². Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

8. Математический диктант.(один решает на скрытой доске для организации само и взаимопроверки .Игра "Верю не верю") ( слайд)

1.Дискриминант уравнения 7у²+6у+1 равен….

2. Какое из чисел является корнем уравнения 2а² − 5а+ 3 = 0?

1) −1 2) 1

3. Один из корней уравнения ах² − 4х +12 = 0 равен -6. Чему равно значение а?

1) −1 2) 1

4. Найти разность, между большим и меньшим корнями уравнения

х² − 8х + 20 = 0.

9. Домашнее задание: №584(б),№599,№596(г).Дополнительно составить уравнение и решить способом перекидывания коэффициентов.

10. Итоги урока (рефлексия метод "Микрофон")

.

На уроке я узнал…

На уроке я научился….

На уроке я почувствовал…

Как вы оцените свою работу….(выставление оценок в журнал)