Решение ключевых задач по теме "Теорема Пифагора"

Открытый урок

по теме "Решение ключевых задач по теме теорема Пифагора"

Цели:

- формирование умений и навыков по применению теоремы Пифагора при решении простейших геометрических задач;

- формирование умений и навыков по применению формул площадей фигур при решении задач, умение соотносить формулу и соответствующую ей фигуру, умения комбинировать типовые задачи для решения более сложных задач, формирование навыков решения усложненных задач;

- создание условий для самоконтроля и взаимоконтроля усвоения знаний, воспитание культуры общения, формирование ценностных отношений;

- развитие логического мышления, формирование умений по использованию приемов сравнения, анализа, переноса знаний в новую ситуацию, формирование понимания взаимосвязи данных и искомых задачи, развитие творческих способностей учащихся.

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Устная работа

- Выделите условие и заключение задачи и решите ее.

7

Найти S

8

Найти S

5

ОТВЕТЫ:

32

- Какой теоретический материал вы использовали при решении этих задач?

(Отв: свойства прямоугольных треугольников, теорему Пифагора, формулы площадей треугольника и трапеции)

- Что объединяет все эти задачи?

(Отв: использование теоремы Пифагора)

- Сегодня на уроке будем решать задачи на применение теоремы Пифагора. Итак, начнем.

3. Решение ключевых задач по теме

Задача №1 (по готовому чертежу)

(записи учитель ведет на доске, ученики - в тетради).

Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 17, а основание равно 16. Найдите площадь треугольника АВС

- Что необходимо знать, чтобы найти площадь треугольника?

- Что известно в задаче? Какого элемента не хватает?

- Какой отрезок треугольника удобно рассмотреть в качестве высоты?

- Провели ВН. Какую геометрическую фигуру надо рассмотреть для нахождения длины отрезка ВН?

- Что в треугольнике ВНС известно? Что нужно найти?

- С помощью какого теоретического материала это можно сделать?

РЕШЕНИЕ:

1. Дополнительное построение ВНАС.

2. ВН - высота ΔАВС, зн. ВН - медиана ΔАВС (по свойству высоты р/б треугольника), т.е. АН=НС=8

3. ΔВНС - прямоугольный. По теореме Пифагора

4. S _ΔАВС = = 0,51516 = 120

Ответ: S _ΔАВС =120

Проанализируем задачу:

- Какая задача стояла перед нами? (найти площадь треугольника)

- Что было известно? (основание)

- Какой прием для нахождения площади использовали? (провели высоту, рассмотрели прямоугольный треугольник, воспользовались теоремой Пифагора)

- Решим следующую задачу.

Задача №2 (по готовому чертежу - письменно).

Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна а, а основание равно b. Найдите площадь треугольника АВС.

- Чем эта задача отличается от предыдущей? (отв: стороны заданы буками)

- Проведите рассуждения по решению этой задачи.

РЕШЕНИЕ:

1. Дополнительное построение ВНАС.

2. ВН - высота ΔАВС, зн. ВН - медиана ΔАВС (по свойству высоты р/б треугольника), т.е. АН=НС=

3. ΔВНС - прямоугольный. По теореме Пифагора

4. S _ΔАВС = = 0,5b =

Ответ: S _ΔАВС =

Задача №3.

- Изменим условие задачи и рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной a. Найдите площадь равностороннего треугольника.

- Можно ли связать решение этой задачи с ранее решенными? Почему?

(Отв: связать можно, так как равносторонний треугольник - это частный случай равнобедренного треугольника)

- Что нужно изменить, чтобы получить площадь равностороннего треугольника? (Отв: воспользоваться формулой площади равнобедренного треугольника, заменив b на a)

РЕШЕНИЕ.

S _ΔАВС ==

- Итак, площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле S _ΔАВС

Таким образом, на этом этапе изучения темы мы получили формулу для нахождения площади равностороннего треугольника. В дальнейшем ее можно использовать как факт, как теорему. Сформулируйте ее еще раз.

- Решите устно:

Найти площадь равностороннего треугольника, если сторона равна 5 см; 1,2 см

- Какой еще тип задач можно решать, используя эту формулу?

(Отв: находить сторону равностороннего треугольника по известной площади)

Задача №4 (по готовому чертежу)

(записи учитель ведет на доске, ученики - в тетради)

Найдите площадь трапеции ABCD, если AB и CD - основания, AB = 10, BC = AD = 13 см, CD = 20 см.

- Какая геометрическая фигура задана?

- Что известно? Что необходимо найти?

- Достаточно ли данных, чтобы ответить на вопрос задачи?

- Какое дополнительное построение нужно выполнить в этом случае? (Отв: провести высоту из вершины В)

- На что обращаем внимание? (Отв: одной высоты недостаточно, проведем еще высоту из вершины С)

- Как правило, если речь идет о трапеции, то проводить нужно две высоты.

РЕШЕНИЕ:

1. Дополнительное построение ВН₁АD, CH₂ AD.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВН₁ и CDH₂: ВН₁ = СН₂ (как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными прямыми), АВ = CD (по условию), зн. ΔABH₁= ΔDCH₂ (по катету и гипотенузе), т.е. АН₁ = DH₂.

3. ВН₁ и СН₂ - высоты трапеции, зн. ВН₁Н₂С - прямоугольник, т.е. Н₁Н₂ =ВС =10(по свойству прямоугольника), тогда АН₁ = DH₂ = 5.

4. ΔВН₁А - прямоугольный. По теореме Пифагора

5. S _АВСD = = 0,512(10+20) = 180

Ответ: S _АВСD =180

Проанализируем задачу:

- Какая задача стояла перед нами? (найти площадь трапеции)

- Что было известно? (основания, боковые стороны)

- Какой прием для нахождения площади использовали? (провели высоты, рассмотрели прямоугольный треугольник, воспользовались теоремой Пифагора)

- Задачи с какими геометрическими фигурами рассмотрели? (Отв: треугольник трапеция)

- В каких еще геометрических фигурах можно выделить прямоугольные треугольники? (Отв: параллелограмм, ромб)

Задача №5 (устно)

- Какая геометрическая фигура задана?

- Что известно? Что необходимо найти?

- Достаточно ли данных, чтобы ответить на вопрос задачи?

- Какое дополнительное построение нужно выполнить в этом случае? (Отв: провести диагональ АС)

- Каким свойством обладают диагонали ромба?

- Какую геометрическую фигуру надо рассмотреть для нахождения длины отрезка АС?

- Что в треугольнике АОВ известно? Что нужно найти?

- С помощью какого теоретического материала это можно сделать?

РЕШЕНИЕ:

1. Дополнительное построение АС.

2. ABCD - ромб, AB = AD = 10 (по определению), зн. ΔАВD - равнобедренный

3. АСBD, DO = ОВ (по свойству диагоналей ромба), ΔАВО - прямоугольный, зн. по теореме Пифагора , т.е. АС = 2АО = 16.

4. S _АВСD = = 0,51216 = 96

Ответ: S _АВСD =96

4. Итоги урока

- Что объединяет рассмотренные сегодня на уроке задачи?

(Отв: 1) даны фигуры, площади которых нужно было найти,

2) везде выполняли дополнительные построения,

3) рассматривали прямоугольные треугольники, в которых один элемент был известен, а другой находили из свойств геометрических фигур

4) Использовали теорему Пифагора для нахождения неизвестного элемента)

- В каких геометрических фигурах выполняли дополнительное построение? Сколько высот достаточно провести в каждом случае?

- Какие геометрические фигуры мы не рассмотрели на уроке? Будет ли отличаться идея решение задач в этом случае?

- Какой новый факт вы узнали? Будете ли его использовать в дальнейшем?

ВЫВОД: задачи, рассмотренные нами, дают "ключ" к решению целого ряда задач на нахождение площадей многоугольников. Количество задач на нахождение площадей фигур увеличилось за счет возможности использования теоремы Пифагора.

5. Рефлексия

- Сегодня на уроке я повторил...

- Сегодня на уроке я узнал...

- Сегодня на уроке я научился...

6. Домашнее задание

п.54, 55(вопр.1-10), №493, 490(б), 489(в)

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них –

это теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

1.

В

?

6 см

С

А

8 см

2.

В

8 см

А

?

12 см

С

3.

B

30 0

?

8

C

А

4.

B

?

60 0

C

А

2

5.

B

?

45 0

C

5

А

6.

13 5 0

C

8 см

13 5 0

B

А

?

7.

Найти:

B

4

C

А

D

7

8 .

Найти:

B

C

8

5

Дополнительное построение – после нажатия на управляющую кнопку «Доп.»

D

А

H

32

9

9.

Найти:

B

17

Н

А

C

1 6

9 .

Найти:

C

10

B

13

13

D

H2

А

H1

20

25 .

Дано:

А

Найти:

10

D

B

О

C

Итог урока

• «Сегодня на уроке я повторил…»

• «Сегодня на уроке я узнал…»

• «Сегодня на уроке я научился…»

Спасибо за урок!