Решение задач на оптимизацию

Решение задач на оптимизацию.

Важнейшим видом учебной деятельности при обучении учащихся математике является решение задач. Причем, основное внимание направлено на развитие способности учащихся,  применять полученные в школе знания и умения в жизненных ситуациях. В настоящее время выявлены характерные недочеты математической подготовки школьников. К ним относятся недостаточное усвоение ряда тем, имеющих широкое практическое применение. Именно умение решать большинство из этих практических задач проверяется на ЕГЭ. Как при обучении математики сформировать ключевые компетенции?

Одним из путей формирования ключевых компетентностей является использование на уроках специальных компетентностно-ориентированных задач.

При решении компетентностно-ориентированных задач основное внимание  уделяется  формированию способностей учащихся использовать математические знания в разнообразных ситуациях, требующих для своего решения различных подходов, размышлений и интуиции.

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего,  т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.

Математикам удалось разработать методы решения задач на отыскание наибольшего  и наименьшего значения или, как их еще называют, задач на оптимизацию (от латинского “оптимум” – наилучший).Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результат рассчитывать, он приступает к решению задачи. Фактически  это замена исходной жизненной задачи ее моделью. Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними –  называют моделью задачи.

Чтобы получить ответ, нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.

Человеку часто приходиться решать задачи оптимизации в своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат, сил, средств, материалов получить наилучший результат. Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?

Каких размеров должен быть ящик при заданном расходе материала и чтобы его объем был наибольшим?В каком месте следует построить мост через речку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города,  была кратчайшей?

П.Л. Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме:

• составление математической модели;
• работа с моделью;
• ответ на вопрос задачи.

Цель  урока при изучении данной темы состоит в том, чтобы научить решать задачи на оптимизацию, используя математические модели.

            Учащимся можно предложить ответить на следующие вопросы.

1. Почему завод «Саратовстекло» расположен вблизи железной дороги?
2. Какие мандарины выгоднее покупать: крупные или мелкие, если толщина кожуры у них одинаковая?
3. Какую картошку выгоднее чистить: крупную или мелкую?

Учащимся предлагается памятка.

1. Памятка по решению задач на оптимизацию

I этап. Составление математической модели.

1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину, т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от содержания задачи).
2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую нетрудно выразить  оптимизируемую величину, примите за независимую переменную  и обозначьте ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установите реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.
3. Исходя из условия задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

II этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(х), х Х найдите унаимили унаибв зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью. Записать ответ в терминах предложенной задачи.

Рассмотрим некоторые примеры задач.

Задача 1. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p?

Решение:Первый этап. Составление математической модели

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (р-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0<х  <р;
2. записываем функцию S(x) =x·(р-x) =рx – x2;

Второй этап. Работа с составленной моделью.

находим производную S' (x) = р-2x;

решаем уравнение р -2х = 0,

Итак, надо найти наибольшее значение функции  при,

p-x=p -  Следовательно, прямоугольник – квадрат со стороной  и его площадь равна. Т.е. наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь квадрата.

Третий  этап. Ответ.

Задача 2.Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей?

Решение:Первый этап. Составление математической модели

1. Обозначим буквой у (оптимизируемую величину) – прочность балки;
2. х – ширина балки (независимую переменную), 0 < x < 2R;
3. h2=4R2-x2 – высота балки (выражается по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника);
4. прочность балки у = kxh2 (где коэффициент k – некоторое положительное число) значит, у = kx(4R2 – x2), где х [0; 2R].

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Находим унаиб. Для этого воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего значения функции на отрезке, повторенным в начале урока.

Задача 3.Из круглого бревна радиуса R выпилить прямоугольную балку  так, чтобы количество отходов было наименьшим.

Задачу можно свести к следующей: в круг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади.

Решение:Первый этап. Составление математической модели

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, 0 <  х  <2R ; см – ширина прямоугольника.;
2. Записываем функцию S(x) =x  ,  выражающую площадь прямоугольника.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Находим наибольшее значение функции S(x)  = x  на отрезке [0;2R].

Решаем уравнение  S' (x) =  0,   -   = 0,  4  = 0, откуда    х = R  (значение х =  - R  не удовлетворяет условию задачи).

Вычисляем значения функции S(x) = x   при  х = R   и на концах отрезка [0;2R]. Т.к. S(0) = S(2R) = 0,  а  S(R ) = 2  , то функция принимает наибольшее значение при х = R. Поскольку наибольшее значение функции

S(x) = x  на отрезке [0;2R] достигается во внутренней точке отрезка, то наибольшее ее значение на интервале (0;2R).

 Также достигается в точке х = R. При  этом длина другой стороны прямоугольника равна  = R, т.е. искомым прямоугольником служит квадрат. Наибольшее значение функции S(x) =2

Таким образом, количество отходов будет наименьшим, если в сечении балки будет квадрат.

Третий  этап.Ответ.Количество отходов будет наименьшим, если в сечении балки будет квадрат со стороной  R.

Задачу 3 можно решить и без использования производной.

Из неравенства Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для произвольных положительных чисел,

 ≥ вытекают два важных утверждения.

1. Если сумма произвольных положительных чисел,  равна S, то их произведение  Р =   достигает наибольшего значения, равного при равенстве всех чисел.
2. Если произведение произвольных положительных чисел,  равно Р, то их сумма S = принимает наименьшее значение, равное n, при равенстве всех чисел.

Решение:        Если х и у – стороны прямоугольника, S– площадь прямоугольника, то

S= ху. Т.к. прямоугольник вписан в круг, то  +  = 4.  Следовательно,

S = х.  Заметим, что  Sбудет достигать наибольшего значения тогда, когда будет наибольшим  = ( ). Но сумма множителей  и

постоянна и равна 4, следовательно, наибольшее значение их произведения равно, а наибольшее значениеSравно 2, причем оно достигается, если

 =, т.е.  х = R, но тогда у = R.

Ответ.Количество отходов будет наименьшим, если в сечении балки будет квадрат со стороной  R.

Рассмотрим еще один способ решения задачи 3.

Решение:   Пусть величина угла между диагоналями прямоугольника равна. Тогда площадь прямоугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, т.е.  S(  =  ?2R ?2R  = 2.

Очевидно, что наибольшее значение функции  S( 2   достигается, если 

 = 1, т.е.   =. Значит, прямоугольник является квадратом со стороной  R.

Ответ.  Количество отходов будет наименьшим, если в сечении балки будет квадрат со стороной  R.

Заключение.

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.

 Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.

Список литературы

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 2010.

Егерев В.К., Мордкович А.Г. 100х4.М: Linka-Press, 2000

Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.

Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 2005.

Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.

Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. – М: Наука, 2000.

Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994