Решение задач в теме "Производная функции"

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной: о скорости изменения функции и о скорости движения

Задача 1. На слайде представлен график некоторой функции и касательная в точке. Оценим на сколько круто идет график вверх?

Угол наклона-это угол между касательной и положительным направлением оси ОХ

(Геометрический смысл производной)-конспект, Слайд-12

Производная и есть тангенс угла наклона касательной в данной точке

А что такое производная? Какого её определение в математике?

Задача 2. Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела.

(Средняя скорость)

Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение:

Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .

Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

(Мгновенная скорость)-конспект. В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt , т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.

Можно указать ещё много задач из физики, геометрии, для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.

Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.

Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.

Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.

Этот предел называется производной функции.

А что такое производная?

Определение: Производной функции y = f(x) в данной точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда или

Проанализируем определение производной и составим алгоритм её нахождения.

1. Рассмотрим два значения аргумента x² и ∆x, где ∆x -приращение аргумента.

2. Найдём приращение функции ∆f(x) = f( + ∆x) – f( )

3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента

4. Вычислим предел этого отношения при ∆ x → 0

С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции, т.е. получить таблицу производных, а также доказать правила вычисления производных, которыми в дальнейшем мы и будем пользоваться. Например, найти производную функции f(x) = x² +1 в точке x₀ = -2. Слайд-18-конспект

Ведет беседу, направляя и подсказывая. Записывает необходимое на доске. Выдаёт сформулированный алгоритм нахождения производной функции