Решение неравенств с одной переменной

а) -5а □ - 5b; б) 5а □ 5b; в) a – 4 □ b – 4; г) b + 3 □ a +3.

● Принадлежит ли отрезку [- 7; - 4] число: - 10; - 6,5; - 4; - 3,1?

● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) [-1; 4]; б) (- ∞; 3); в) (2; + ∞).

● Найди ошибку!

а) x ≥ 7 Ответ: (- ∞; 7); б) y 2,5 Ответ: (- ∞; 2,5)

7 2,5

4. Изучение нового материала.

(Формирование новых понятий и способов действий)

Слайд 8.

● Китайский мудрец Сюньцзы сказал «В учении нельзя останавливаться».

● Не остановимся и мы и перейдём к изучению темы «Решение неравенств с одной переменной».

Слайды 9 - 11.

● Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа .

Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

Однако все эти рассуждения древние учёные проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства , употребляемые и поныне.

Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром. 

Скажите мне, какая математика без них?

О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

Неравенства такая штука – без правил не решить!

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении.

Слайды 12 - 13.

● Рассмотрим неравенство 5х – 11 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 5 4 – 11 3; 9 3, при х = 2 получится неравенство 5 2 – 11 3, -1 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х – 11 3. Решениями этого неравенства являются и числа 28; 100; 180 и т. д. Таким образом:

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 3?

● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1

● Чисел, являющихся решением данного неравенства очень много, но мы должны указать все его решения.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Слайд 14.

● Вспомните, уравнения, имеющие одни и те же корни, мы называли равносильными. Понятие равносильности вводится и для неравенств.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными.

Например, неравенства 2х – 6 0 и равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х 3. Неравенства х² + 4 ≤ 0 и |х| + 3 0 также равносильны, так как не имеют решений. Неравенства 3х – 6 ≥ 0 и 2х 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х 4.

● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы.

Слайд 15.

1

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

знаком, т

2

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное

число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится

равносильное ему неравенство.

Слайд 16.

● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся»

● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств.

Слайды 17 - 18 .

Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки: 6х – 3 2х + 4 + х + 5.

Приведём подобные слагаемые: 6х – 3 3х + 9.

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой - без переменной: 6х – 3х 9 + 3.

Приведём подобные слагаемые: 3х 12.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства: х 4.

4 х Ответ: (4; + ∞)

Пример 2. Решим неравенство 2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель - 2 6

дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: 2х – 3х 12.

Приведём подобные слагаемые: - х 12.

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак

неравенства на противоположный: х - 12.

- 12 х Ответ: (- ∞; -12).

Слайд 19.

● В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах b или ах b, где а и b – некоторые числа: 5х ≤ 15, 3х 12, - х 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.