kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Разработка урока геометрии на тему: "Сумма углов треугольника"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Цели урока:

образовательная: повторить открытие Евклида о сумме углов треугольника, организовать усвоение учащимися различных способов доказательства этой теоремы; сформировать умение применять полученные знания для решения типовых и творческих задач;
развивающая: развивать наблюдательность, геометрическую интуицию и глазомер, пространственное воображение, творческие способности и исследовательские навыки учащихся;
воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение работать в соответствии с намеченным планом.

Просмотр содержимого документа
«Разработка урока геометрии на тему: "Сумма углов треугольника"»

Тема урока «Сумма углов треугольника»

Предмет: геометрия

Класс: 7

Цели урока:

образовательная: повторить открытие Евклида о сумме углов треугольника, организовать усвоение учащимися различных способов доказательства этой теоремы; сформировать умение применять полученные знания для решения типовых и творческих задач;
развивающая: развивать наблюдательность, геометрическую интуицию и глазомер, пространственное воображение, творческие способности и исследовательские навыки учащихся;
воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение работать в соответствии с намеченным планом.

Тип урока: урок изучение нового материала.

Оборудование: интерактивная доска, модели треугольников.

План урока

  1. Организационный момент.
    Приветствие.

  2. Теоретическая разминка.

  3. Проверка творческой части домашнего задания.

  4. «Открытие нового знания» (Изучение нового материала) .
    1. Выдвижение гипотезы.
    2. Совместная постановка цели.
    3. Решение подготовительной задачи.
    4. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника:
    - доказательство Прокла;
    - доказательство Евклида;
    5. Сравнение доказательств Прокла и Евклида.
    6. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника в школах Японии.

  5. Минутка отдыха.

  6. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач (закрепление изученного материала).
    1. Решение задач по готовым чертежам.
    2. Решение задач по учебнику №224.
    3. Решение практической задачи

  7. Подведение итогов урока.

  8. Домашнее задание.





Ход урока

  1. Организационный момент. (слайд №1)
    Учитель приветствует ребят и высказывает надежду, что совместная работа на уроке будет проникнута духом высказывания А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии как в поэзии», и предлагает перейти к теоретической разминке.

  2. Теоретическая разминка. (слайд №2,3)
    1. Какой из треугольников №1-№7 остроугольный, прямоугольный, тупоугольный? Почему вы так считаете?
    2. Сформулируйте для каждого из приведенных на слайде предложений обратное утверждение и установите, будет ли оно верным или нет.
    * Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
    * Если три стороны одного треугольника соответственно равным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    * Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
    Учитель: Сформулируйте ещё две теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, и к ним обратные утверждения. Верны ли они?

  3. Проверка творческой части домашнего задания.
    Учитель проводит беседу:
    - Дома 3 творческие группы проводили исследование. В чем заключалось исследование, и какой результат вы получили? Кто хочет рассказать?
    По желанию выступают участники групп:
    I группа. (демонстрируя разноцветные модели) Мы измеряли углы остроугольных треугольников: разностороннего, равностороннего и равнобедренного. Сумма углов получилась…
    II группа. Демонстрируя разноцветные модели прямоугольных разностороннего и равнобедренного треугольников, рассказывают об аналогичном исследовании и полученных результатах. Сумма углов получилась…
    III группа. Демонстрируя разноцветные модели равнобедренного и разностороннего тупоугольных треугольников, также делает свой вывод о сумме углов треугольников.
    Учитель предлагает проанализировать результаты исследования, обобщить и сделать вывод.
    Ученики делают вывод, что сумма углов независимо от вида треугольника у большинства равна 180 градусам, и только у некоторых больше или меньше 180 градусов.

  4. Открытие нового знания. (Изучение нового материала).
    Учитель продолжает беседу:
    1. – Какую гипотезу мы можем выдвинуть по результатам исследования?
    Ученики: Сумма углов треугольника равна 180°.
    Учитель: Да, эта гипотеза имеет право на существование. В каком случае гипотеза становится открытием, ведь у некоторых получились результаты отличные от 180°?
    - Если мы докажем ее истинность.
    2. - Какую цель мы перед собой поставим?
    - Наша цель – доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.
    3. - Замечательно, но прежде чем перейти к доказательству этой теоремы решим задачу №1 (слайд №4).
    Учащиеся по готовому чертежу на слайде №4 оформляют решение в тетради. После чего один из учеников комментирует решение задачи, остальные учащиеся проводят коррекцию, используя интерактивную доску.
    Учитель продолжает беседу, предлагая доказать теорему.
    - Итак, какую теорему мы сейчас докажем?
    - Сумма углов треугольника равна 180°.
    - Что нам дано? Какой факт мы будет доказывать?

(учитель записывает на доске, ученики в тетради).
Дано: ∆ABC
Доказать: A+B+C = 180°
Доказательство:
- Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы доказать теорему?
- По аналогии с решением задачи №1 через вершину B провести прямую параллельную AC.
- Можем ли мы взять линейку и просто «на глазок» через точку B провести прямую, параллельную AC?
Ученики отвечают.
Вне зависимости от ответа ученика, учитель ставит вопрос: «Почему?», и приводит учеников к мысли, что геометрия наука точная, а человеческий глаз способен видеть иллюзии, в чем все недавно убедились, посетив сектор «Оптические Иллюзии» физико-математического эксперементариума. Поэтому искомую прямую нужно построить по законам геометрии.

1. Разделим отрезок BC пополам: BM = MC.
2. Соединим точку
A с точкой M и на продолжении AM отложим отрезок MD = AM. Соединим точку D с точкой B.
3. Рассмотрим ∆
AMC и ∆BMD. Что мы можем сказать об этих треугольниках?
BM = MC, т.к. AM – медиана;
AM = MD по построению;
BMD = AMC как вертикальные.
Следовательно, ∆
AMC = ∆DMB по двум сторонам и углу между ними. Что из этого следует?
4. В равных треугольниках соответственные элементы равны:
MAC = BDM, а они накрест лежащие при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, BD || AC.
Учитель продолжает беседу:
- Итак, мы провели BD || AC. Как вы думаете, какой будет ход доказательства теоремы?
Ученики: «Аналогично решению задачи №1».
- Кто желает доказать?(один ученик выходит к доске, остальные доказывают теорему в т



етрадях, учитель по мере необходимости задает вопросы,
привлекает учеников класса к доказательству, слайд №5)
1. Обозначим углы 1,2,3,4,5.
2. 1 = 4 как накрест лежащие при BD || AC и секущей AB
3. 3 = 5 как накрест лежащие при BD || AC и секущей ВС
4. 4+2+5=180° образуют развёрнутый угол
5. 1+2+3 = 180° т.е А + В + С = 180° ,что и требовалось доказать.
- Молодцы!Это доказательство еще в V веке привёл математик Прокл в комментариях к «Началам» Евклида. Это же доказательство приводится и в наших учебниках. Сам Евклид в первой книге «Начала» доказывает эту теорему по-другому. Посмотрите на чертеж (слайд №6). Используя рисунок, обдумайте доказательство теоремы Евклида. Кто хочет доказать теорему?(Один ученик выходит к доске, остальные доказывают на своих карточках).
Доказательство:


1. СЕ || АВ
2. 2 =5 (как накрест лежащие при АВ || СЕ и секущей ВД)
3. 1=4 (как соответственные при АВ || СЕ и секущей ВД)
4. 3+5+4 = 180° (образуют развёрнутый угол)
5. 3 +2+1 = 180° т.е. А+ В+С= 180°, что и требовалось доказать.
- Давайте подумаем, есть ли принципиальная разница в доказательствах Евклида и Прокла?Какая основная идея лежит в оснве этих доказательств?
- Принципиальной разницы нет, в основе доказательства лежит аксиома о параллельных прямых
- Дома один человек выполнял специальное задание, сейчас он покажет нам, как доказывают теорему о сумме углов треугольника в школах Японии.
Ученик выходит к доске.
- Возьмите модель треугольника, верхний угол сгибаем так, чтобы его вершина коснулась основания треугольника, получаем точку В1. Углы А и С сгибаем таким образом, чтобы точка А и С совпали с точкой В1. Тогда A, B и C образуют развернутый угол, а значит их сумма равна 180°.
Учитель: Кому понравилось это доказательство?

  1. А теперь – минутка отдыха (звучит музыка).

  2. Применение полученных знаний для решения типовых и творческих задач. (Закрепление изученного материала).
    1. Решение задач на закрепление теоремы о сумме углов треугольника по готовым чертежам (устный разбор задач по карточкам с готовыми чертежами на столах учащихся). (слайд 7)






















2. Решение задач по учебнику: №224 (Ученики решают самостоятельно, а один, по желанию, у доски, взаимопроверка)
(В зависимости от хода урока этот пункт может быть дан на выбор с пунктом №3)
3. Решение практической задачи (слайд № 8-9).
Учитель: Четыре семьи получили вместе участок земли в форме правильного треугольника. На этом участке имеется 4 колодца. Как разделить этот участок на 4 участка одинаковые по форме, равные по площади, и, чтобы на каждом из них, был колодец?
- Подумайте, как можно переформулировать условие задачи?
- Какие у кого идеи решения?

Дополнительные вопросы учителя:
- Какой дан треугольник (Равносторонний)
- Какими должны быть 4 треугольника?
(Равными)
- Как разделить участок, чтобы на каждом было по колодцу?
(МN,МР ,PN)
- Где поставить точки М ,
N и Р? ( М, N и Р – середины сторон АВ ,ВС и АС – соответственно)
Учитель: Кто хочет решить задачу у доски? (Доказательство подробно разбирается на доске с участием класса)
Д

В

ано: ∆АВС, АВ = ВС = АС, точки М, N и Р – середины сторон АВ, ВС и АС.
Доказать: ∆АМР = ∆МВN = ∆РМN = ∆РNС
Доказательство:
1

N

М

В

. ∆ABC – равносторонний по условию.
2. Рассмотрим ∆MAP, т.к. M и P – середины

р

С

Р

А

авных сторон AB и AC по условию, то
, значит



3. AM=AP = ∆MAP – равнобедренный,

A=60° по условию, тогда AMP= APM=(180°-60°):2=60°,

значит ∆MAP – равносторонний и AM=AP=MP.
4. Аналогично доказываем, что ∆MBN и ∆NCP - равносторонние, поэтому BM=BN=MN, CN=CP=NP.
5. Получаем, что MP=MN=NP, т.е. ∆PMN – равносторонний.
6. Итак, все стороны равносторонних треугольников ∆MAP, ∆MBN, ∆NCP равны, следовательно, ∆MAP = ∆MBN = ∆NCP = ∆PMN по трем сторонам, что и требовалось доказать.
Учитель: Молодцы! Подведем итог урока.

  1. Итог урока.
    Учитель: Какое великое открытие мы сегодня сделали?
    Ученики отвечают на вопрос учителя.
    Учитель: У кого остались какие-либо сомнения? Спросите.
    В зависимости от запросов учеников, учитель дает пояснения.
    Учитель: Проанализируйте сегодняшний урок. Что вам понравилось? Что бы вы хотели изменить? Учащиеся высказывают свое мнение.

- Оцените свою работу на уроке. Кто почувствовал себя первооткрывателем, ощутил, что стал интеллектуально богаче? У кого все получилось? Кто не смог раскрыть всех своих возможностей на данном уроке? Кто испытывал трудности и почему? Ответьте себе на эти вопросы. Учащиеся проводят рефлексию.

- Какую оценку вы бы поставили себе за работу на уроке? Учащиеся ставят в тетрадях оценку и сравнивают ее с той, которую озвучивает учитель. В случаях расхождения каждый аргументирует свою позицию.

  1. Домашнее задание:
    а) базовая часть – стр. 70 пункт 30, №223(а, в, г) стр. 89, вопрос 1;

б) творческая часть (на карточках)
* Проведите теоретическое исследование и найдите ответ на вопросы:
- могут ли в треугольнике все углы быть острыми, прямыми? Тупыми? Почему?
- если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то каковы два других угла? Почему?
* Проведите поиск других доказательств теоремы (по желанию)
Учитель: Урок окончен, спасибо за работу!



Информационные источники

  1. Е.Е. Семенов – Изучаем геометрию. Москва, Просвещение, 1987.

  2. В.Д. Чистяков – Старинные задачи по элементарной математике. Минск, Высшая школа, 1978.

  3. И.Ф. Шарыгин – Геометрия 7, теория, задачи. Москва, МИРОС, 1995.

  4. Л.С. Атанасян – Геометрия 7. Москва, Просвещение, 2012.

7




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Разработка урока геометрии на тему: "Сумма углов треугольника"

Автор: Куршева Людмила Борисовна

Дата: 25.01.2017

Номер свидетельства: 383774

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(201) "Презентация и разработка урока геометрии "Сумма углов треугольника". 7 класс (системно-деятельностный подход) "
    ["seo_title"] => string(119) "priezientatsiia-i-razrabotka-uroka-ghieomietrii-summa-ughlov-trieughol-nika-7-klass-sistiemno-dieiatiel-nostnyi-podkhod"
    ["file_id"] => string(6) "140635"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1417974911"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(97) "Урок по геометрии "Сумма углов треугольника". 7 класс. "
    ["seo_title"] => string(56) "urok-po-ghieomietrii-summa-ughlov-trieughol-nika-7-klass"
    ["file_id"] => string(6) "130324"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415882057"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(119) "Разработка урока геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника»"
    ["seo_title"] => string(69) "razrabotka_uroka_ghieomietrii_v_7_klassie_summa_ughlov_trieughol_nika"
    ["file_id"] => string(6) "453044"
    ["category_seo"] => string(9) "geometria"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1517128583"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(74) "Урок по теме "Сумма уголов треугольника" "
    ["seo_title"] => string(43) "urok-po-tiemie-summa-ugholov-trieughol-nika"
    ["file_id"] => string(6) "130320"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415881399"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(127) "Разработка урока "Решение практических задач по геометрии в 7 классе" "
    ["seo_title"] => string(79) "razrabotka-uroka-rieshieniie-praktichieskikh-zadach-po-ghieomietrii-v-7-klassie"
    ["file_id"] => string(6) "214826"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1432484717"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства