Разработка урока "Действия над комплексными числам"

Действия над комплексными числам

"Комплексное число –

это тонкое и поразительное средство божественного духа,

почти амфибия между бытием и небытием".

Г. Лейбниц

Цели урока: познакомить учащихся с историей комплексных чисел; формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; 

развивать мыслительную деятельность учащихся; развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала;

воспитывать способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя.

Тип урока: усвоение новых знаний

Оборудование: опорный конспект, презентация

Ход урока

І. Организационный момент

ІІ. Проверка домашней работы

IІІ. Актуализация опорных знаний

ІV. Изучение нового материала

Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁) i.

Пример. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i .

Найти:

а) z₁ + z₂ = …= 7 – 4i; б) z₁ – z₂ = …= – 3 + 10i;

в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² =  10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i

(здесь учтено, что i² = – 1).

Пример. Выполнить действия:

а) (2 + 3i)² = 4 + 2×2×3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)² = 9 – 2×3×5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

в) (5 + 3i)³ = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i² + 27i³;

так как i² = – 1, а i³ = – i, то получим (5 + 3i)³ = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.

Рассмотрим теперь применение формулы
(a + b)(a – b) = a² – b².     (*)

Пример. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5² – (3i)² = 25 – 9i² = 25 + 9 = 34;

б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2² – (5i)² = 4 + 25 = 29;

в) (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2.

- Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример. Выполнить деление:

Решение.

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i;

(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Пример. Решите уравнение:

а) x² – 6x + 13 = 0;     б) 9x² + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b² – 4ac =12² – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:

z₁ = a₁ + b₁i = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = a₂ + b₂i = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

z_1· z₂ = r_{1 ·} r₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)); r_{1 ·} r₂0.

Пример. Найти произведение чисел z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º).

Тогда z₁ · z₂ = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.

2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме

z₁ = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂), причем z₁ ≠ 0, то

= [cos (φ₂ - φ₁) + i sin (φ₂ - φ₁)]

Пример. Найти частное чисел z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º).

Тогда (cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).

V. Формирование умений и навыков

Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

1) (3 + 5i) + (7 – 2i). 2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i). 4) (5 – 4i) + (6 + 2i). 5) (– 5 + 2i) + (5 + 2i). 6) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

Произведите умножение комплексных чисел:

9) (2 + 3i)(5 – 7i). 10) (6 + 4i)(5 + 2i).
15) (6 + 4i)3i. 16) (2 – 3i)(– 5i).

Выполните действия:

17) (3 + 5i)². 18) (2 – 7i)².
22) (3 – 2i)³. 23) (4 + 2i)³.
25-30. Выполните действия:

25) (3 + 2i)(3 – 2i). 27) (1 – 3i)(1 + 3i).
28) (7 – 6i)(7 + 6i). 29) (a + bi)(a – bi).

Решите уравнения:

32) x² – 4x + 13 = 0. 33) x² + 3x + 4 = 0.
VI. Подведение итогов урока. 

«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых  или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин

VII. Домашнее задание