Разработка урока математики «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс

Разработка урока математики

«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

9 класс

Цель урока: формировать представление о арифметической и геометрической прогрессии; познакомить  обучающихся с правилами  арифметической и геометрической прогрессии, формулой  n-го члена арифметической и геометрической прогрессии и формулой  суммы  n –первых членов арифметической и геометрической прогрессий , научить находить среднее арифметическое и использовать его при решении  задач.

Задачи:

- образовательные (формирование познавательных УУД):  

научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии», «формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий и формулы  суммы  n –первых членов арифметической и геометрической прогрессий»,  показать взаимосвязь математики  с другими предметами – история, химия.

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):  

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

- развивающие (формирование регулятивных УУД)

-умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; представлять информацию в табличной форме, формировать коммуникативную компетенцию обучающихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска.

Тип урока:

урок изучения нового материала.

Методы:

информационно – иллюстративный; проблемный диалог; тестовая  работа;

Литература:

1. В. А. Далингер  “Методика  реализации  внутри  предметных

           связей при  обучении   математике”.

     2)   М. И. Сканави   «Сборник  задач  по  математике».

     3)   Энциклопедический  словарь юного математика.

     4)   Энциклопедический  словарь  юного  химика.

     5)    В. Г. Коваленко “Дидактические  игры  на  уроках  математики”.

     6)    П. В. Ройтман “Повышение  вычислительной  культуры учащихся”.

     7)    С. С. Минаева “Вычисления  на  уроках  и  внеклассных  занятиях

             по  математике”.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Постановка целей урока (в ходе актуализации знаний).

3. Введение нового материала.

4. Физпауза.

5. Продолжение изучения нового материала.

6. Отработка основных теоретических вопросов по теме. Решение задач.

7. Домашнее задание.

8. Заключительный этап.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Звучит эпиграф к уроку: «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

(Абу – р – Райхан  ал – Бируни, арабский математик X века).

Постановка целей урока.

Организуется  опрос:

- Что такое арифметическое среднее?

- Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

- Чему равно среднее арифметическое  чисел 2 и 8?                 -   5.

- Что такое геометрическое среднее?

  - Средним геометрическим n положительных чисел называется корень n-ой степени из произведения этих чисел.

- Чему равно среднее геометрическое чисел 2 и 8 ?                 -   4.

III.     Введение нового материала.

   1)  - На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим последовательность чисел.

- На ваше внимание предлагается пять последовательностей.  Чему равен первый член последовательности ?       -2.

-Второй?     -5

-Третий?     -8.

-Пятый член чему равен?      -14.

-Как нашли?                      - Прибавляя 3.  Можно заметить, что каждый член получается прибавлением числа 3..

-А во второй последовательности сколько прибавили?             -1.

-В третьей последовательности?          -(-2).

-Скажите пожалуйста, чем является второй член для первого и третьего?         

-Средним арифметическим.     

Арифметической прогрессией называют последовательность (а_n) , у которой каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на постоянное число.

-Если продолжить эту последовательность, чему будет равен пятый член?       -162.

-Как нашли?         

-Каждый предыдущий член умножается на 3.

-Как находим каждый член в первой последовательности?       -1/2.

-Чем является второй член (относительно первого и третьего) в четвёртой последовательности?      - Средним геометрическим.

-Попробуем дать определение геометрической прогрессии .   – Каждый член получается путём умножения на одно и тоже число. (Учитель вносит поправку).

Геометрической прогрессией называют последовательность (b_n), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число

q ≠ 0.

(Обучающимся предлагается повторить правило  хором). 

  Число q называют знаменателем прогрессии. (Учитель показывает плакат  “q”).

-Чему равен следующий член арифметической и геометрической последовательностей?                          -10;13;16;19;...                                -27;81;243;...

-Молодцы. Способ, задающий эти последовательности , называется рекуррентным (с латинского означает - вернутся назад). Действительно, чтобы найти любой член требуется предыдущий.

Как видим рекуррентный способ для нахождения n-го члена не очень удобен. Значит, нам надо вывести  формулу для n-го члена геометпрогрессии.

        Формула n-го члена геометрической прогрессии : b_n= b₁·q^n-

- С целью закрепления данных формул в тетрадях выполняются следующие задания (Учащиеся в тетрадях записывают число, тему и выполняют задания)

1)   Если    а₁= -2,   d=3, найдите  а₁₀ .        –   25.

2)   Если    b₁=3,   q=2,  найдите b₇  .          –   192. 

   - Правильно.   Пожалуйста, обратите внимание на последовательности.  Что означают точки в конце последовательностей, иногда одна, а иногда три?          

 -Три точки означают, что у последовательности есть продолжение,  а одна точка, что последовательность ограниченная.

- Правильно. Вот мы свами увидели, что последовательности бывают бесконечной и ограниченной. Как вы думаете, можно ли найти сумму всех членов этой прогрессии?       

-Если прогрессии ограниченные, то для того чтобы найти сумму нужно  сложить все члены.   А если прогрессии бесконечные, то в этом случае невозможно.

- Хорошо.  Я хочу привести пример. В жизни  выдающегося немецкого математика, физика, астронома Карла Фридриха Гаусса был один интересный случай.  Когда ему было 9 лет, учитель,  проверяя тетради обучающихся, предложил им вычислить сумму всех натуральных чисел начиная от 1 до 40. Какое было удивление учителя, когда спустя минуту  Гаусс сказал: “Я нашёл ответ”. Другие учащиеся долго не могли вычислить сумму. “Сумма равна 820” – сказал Гаусс. (Учитель показывает портрет К.Ф. Гаусса.)

     (Учитель знакомит обучающихся  со способом Гаусса). 

     S=1+  2+  3+  4+.....+ 39+40

   +

     S=40+39+..................+1+ 2

    2S=41+41+41+..........41+41

    2S=41·40

      S = (41·40)/2=820.   

-Что принял во внимание Гаусс, чтобы вычислить сумму?

- Сумма первого и последнего членов равно сумме второго и предпоследнего. 

-Даётся историческая справка о выдающемся учёном К. Гауссе.

 Вывод:

-  Значит,        S_n=(а₁+а_n)·n/2         Мы с вами вывели формулу для вычисления суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

   IV.   Физпауза.  

 Проводится гимнастика для глаз.  Гимнастика для снятия напряжения глазных мускул. 

   -Смотрим все на рисунки.  Нужно не поворачивая голову, в направлении указателя вести рисунок глазами.

1. Лежащая восьмёрка. 

  2. Вершина горы.       

V.   Продолжение изучения нового материала.

-Я хочу предложить на ваше внимание ещё одну жизненную ситуацию. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: “Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей даёшь 1 коп., во второй день за 100 000 рублей – 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе  выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём”.

Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создаётся проблемная ситуация. Кто выиграл? Кто проиграл?

-Купец выиграл,   ... незнакомец выиграл.

 - Какую последовательность можно составить?     

- Это какая  прогрессия?                       - Геометрическая   прогрессия.

 -  По древней индийской легенде правитель  Шерам приглашает к себе Сету - человека, который придумал игру шахматы и говорит ему:  «Я хочу за прекрасную игру вознаградить тебя. Я очень богат, что спросишь, всё могу дать”.  А Сета улыбаясь, говорит ему: ”Если вы не против,  то на первую клетку шахматной доски положить 1-о зёрнышко пшеницы,  на вторую  - 2,  третью - 4,  четвёртую -  8,   на каждую последующую клетку в 2- раза больше, чем на предыдущую”  Правитель даёт своё согласие и даёт приказ: “Вычислить пшеницу, причитающуюся  Сете и отдать ей».  Проходит день, второй, третий, а пшеница  не выдаётся. Вычисления проводятся день и ночь. Правитель выражается своё недовольство. Наконец, спустя много времени, они закончили свои вычисления, и были ошарашены тем , что у правителя нет столько пшеницы. Если быть точнее, то получим  18 квинтильонов  446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона  709 миллиона  551 тысяч 615. Чтобы вместить столько пшеницы нужен амбар  высотой 4 м,  шириной 10 м, длина, которого в 2 раза больше расстояния от земли до солнца -  300000000 км. Значит, правитель не смог выполнить просьбу Сеты.

 (Учитель с помощью доски выводит формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии для  IqI1 ).

  S_n=(b_n· q-b₁)/(q-1)           (1)          S=b₁(qⁿ-1)/(q-1)    (2)    

  А теперь ответим на вопрос, который был поставлен раньше . Выясним кто выиграл, кто проиграл.  (Учитель совместно с обучающимися вычисляют, сумму 30- ти членов, и делают вывод: купец проиграл, бесплатный сыр бывает только в мышеловке.) 

1. Отработка основных теоретических вопросов по теме. 

   - Ответы на вопросы. 

  -На сегодняшнем уроке с какими новыми понятиями, определениями мы с вами познакомились?  Какие формулы вывели? ( Обучающиеся отвечают на вопросы.)

  -Познакомившись с жизненными ситуациями, пришли к выводу, что нужно знать арифметические и геометрические прогрессии, формулы для вычисления  суммы первых n членов, как арифметической, так и геометрической прогрессий. А теперь выполним тест. Задание. “В один из дней в Англии в  графстве Камберленд проходит сильный ураган.  Ураган вырывает деревья с корнями. После урагана остаются одни овраги, в них  люди находят  чёрное вещество. Если правильно выполните, то получите название этого вещества.  Что это?

Содержание теста. Обучающиеся выполняют тест, в случае если правильно, то получают слово   “графит”,  по нему даётся пояснение: “Графит – это минерал, состоящий из углерода. Используют  его в металлургии, в военной  области (изготавливают графитовые бомбы), в изготовлении электропроводников   и в других  областях. Залежи этого минерала есть на Урале,  Украине, Восточной Сибири, США, Мексики т.д.”)

1.  Домашнее задание. 

   1. Прочитать §7,§8 ;  все формулы записать в тетрадях.

   2. 1 группа - №380, №410.

   3. 2 группа – работа по индивидуальным карточкам.

   4. Подготовить сообщение на тему: “Исторический материал о прогрессиях”  (Ногманова С.)

    VIII.  Заключительный этап.

          1.Рефлекция урока.

          2. Подведение итогов урока. Анализ деятельности обучающихся на уроке. Выставление оценок за урок.