"Рациональные уравнения"

"Рациональные уравнения"

Цели урока:

• организовать деятельность учащихся по формированию алгоритма решения рациональных уравнений различных видов;

• содействовать развитию логического мышления при подборе методов решения, проверке полученных корней уравнения, грамотного оформления заданий;

• подготовить к выпускному экзамену по алгебре за курс основной школы;

• содействовать умению работать в паре, в группе, самостоятельно.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний.

3. Освоение новых знаний и способов деятельности.

4. Первичная проверка понимания.

5. Закрепление материала.

6. Итог урока.

7. Домашнее задание.

8. Рефлексия.

Оборудование: компьютерная аппаратура

1. Организационный момент

2. Сообщение темы и цели урока.

3. Актуализация знаний.

Презентация.

Цель этапа: Актуализировать опорные знания, способы действия, ценностные отношения (слайд 4).

Решению уравнений в школьном курсе математики отводится значительная роль, общие идеи и методы решения рассматриваются, начиная с 7 класса.

Уравнение, левые и правые части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Корнем уравнения (или решением) с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо хполучается верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или показать, что их нет.

При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей.

В результате будет получаться уравнение, равносильное исходному, т. е. уравнение, имеющее такие же корни, и только их.

1. Уравнение вида: А(х) х В(х) = 0, где А(х) и В(х) - многочлены относительно х, называют распадающим уравнением (слайд 5).

Метод решения: А(х) = 0 и В(х) = 0

Часто встречаются ситуации, когда данное уравнение нужно сначала привести к виду А(х) х В(х) = 0. Поэтому полезно вспомнить приемы разложения на множители.

1) Вынесение общего множителя за скобки.

2) Способ группировки.

3) Использование формул сокращенного умножения.

4) Разложение на множители квадратного трехчлена

аx² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂),

где х₁, х₂ - корни трехчлена.

Добавляют искусственные методы:

- представление одного из слагаемых в виде суммы;

- прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей перегруппировки слагаемых.

2.  А(х), В(х) - многочлены относительно х(слайд 6).

Метод решения:

Находим корни А(х)

Проверяют, какие из них обращают в нуль знаменатель В(х) и какие не обращают

Те, которые не обращают знаменатель в нуль и являются корнями уравнения, и других корней уравнение не имеет

3.  (слайд 7).

А(х), В(х), С(х), D(х) - многочлены относительно х

Метод решения:

Переносят все члены уравнения в одну сторону

Используют правило вычитания дробей

Решают уравнение А(х)х В(х) - С(х)хD(х)=0

Отбирают корни, которые не обращают знаменатель С(х)·D(х) в нуль.

Метод ведения новых переменных (слайд 8).

Суть метода очень проста: если уравнение f(х) = 0 удалось преобразовать к виду L(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную у= g(х), решить уравнение L (y)=0, а затем решить совокупность уравнений:

где y₁, y₂, : y_n - корни уравнения L (y)=0

5. Первичная проверка понимания.

Цель: установить правильность и осознанность изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала и провести коррекцию пробелов.

Устные упражнения (слайд 9)

Устное решение уравнений:

1)  /решений нет/

2)  /-5/

3)  /х - любое число, кроме -3/

4)  / х - любое число, кроме 3/

5) a*x = 1 / если а=0, то решений нет; если а0, то х= /

6) а·х=0 /если а=0, то х - любое число; если а0, то х=0/

7) (а²-4)*х = 2 / если а=+2, то решений нет; если а+2, то х = /

8)  / если а0, то решений нет; если а=0, то х - любое число, кроме 0/

9)  / если а=1, то решений нет; если а1, то х=1/

10)  / если а=4 или 1, то решений нет; если а4 и а1 , то х=а/

6. Закрепление материала.

Цель: обеспечить закрепление в памяти учащихся знаний и способов деятельности, которые им необходимы для самостоятельной работы.( слайд 10)

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Ответ: 2, -0,5.

Если ученик справился быстро, то решает уравнения из карточки "Дополнительные задания".

Осуществляем взаимопроверку, используя лист контроля.

Более подробно остановимся на методе введения новых переменных.

№ 22.01(а) - ученик комментирует решение уравнения с места.

№ 22.02 (б) - работа в паре, проверка осуществляется по листу контроля.

 x1, x-1

Пусть , 

t +  - 5 =0

t² + 6 - 5t=0

t=2, t=3

х+1=2(х-1)      х + 1= 3(х -1)

х+1=2х-2         х + 1= 3х -3

х=3                  х=2

Ответ: 2; 3.

Пример 2. Решить уравнение (х-2)*(х+1)*(х+4)*(х+7)=63

Решение:

это уравнение вида (х+а)(х+b)(x+c)(x+d)=A(a+d=b+c).

Раскроем скобки, группируя первый множитель с четвертым, а второй с третьим.

(x² +7х- 2x - 14)( x² + х +4х + 4) =63

(x² +5х - 14)( x² +5х + 4) =63

Введем новую переменную y=x²+5x

Имеем

(y-14)(y+4)=63

y²-10y-119=0

y=17, y=-7

x²+5x=17 x² +5x=-7

x² +5х - 17=0 x² +5х + 7) =0

D=93 D=25-280, корней нет

x=

Ответ: 

Пример 3. Решить уравнение

7t-2(t²-2)-9=0  

7t-2t²+4-9=0 x²-x+1=0 x²-2,5х+1=9

2t²-7t+5=0 D=1-40 D=6,25-4=2,25

D=9 корней нет x=2; x=0,5

; t₁=2,5 t₂=1.

Ответ: 0,5; 2.

Рассмотрим возвратные уравнения.

Возвратными называются алгебраические уравнения четной степени, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от концов многочлена, равны при х в четных степенях, равны или отличаются знаками при х в нечетных степенях, например:

ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0

С помощью подстановок  или 

соответственно, степень уравнения понижается вдвое.

№ 2.50 (а)

2x⁴+5x³+6x²+5x+2=0; x²0,

Пусть , тогда 

2(y²-2)+5y+6=0

2y²-4+5y+6=0

D=25-16=9

y=-0,5; y=-2

Вернемся к замене.

x²+2x+1=0 x² +0,5x+1=0

x=-1 D=2,25-40 - корней нет.

Ответ: -1.

Далее ученики работают самостоятельно.

№ 22. 05 (а) Один ученик решат данное уравнение с обратной стороны доски. Затем осуществляем самопроверку.

7. Итог урока.

8. Домашнее задание.