Методическое пособие по математике по теме «Рациональные уравнения»

ПАМЯТКА

Приемы решения дробных рациональных уравнений

1.

Использование алгоритма решения дробных рациональных уравнений.

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать по следующему алгоритму:

1.  найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, предварительно разложив знаменатели на множители;

2.  умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3.  решить получившееся целое уравнение;

4.  исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

           НОЗ:     2х(2 – х)

4х + х(2 – х) = 8;

х2 – 6х + 8 = 0;

D = b2 – 4ac = (-6)2 - 4·1·8 = 36 – 32 = 4 > 0, уравнение имеет 2 корня;

х = 3 ± 1;              

х1 = 3 – 1;               х2 = 3 + 1;

х1 = 2;                     х2 = 4.

Проверка.

Если х = 2, то 2х(2 – х) = 2·2(2 – 2) = 0, не является корнем уравнения.

Если х = 4, то 2х(2 – х) = 2·4(2 – 4) ≠ 0.

Ответ: 4 (с учетом проверки).

2.

Использование условия равенства дроби нулю для уравнений вида .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: дробь  равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!).

Решение уравнения вида проводится в два этапа:

1.  решить уравнение f(x)=0;

2.  выяснить для каждого корня, обращается ли при найденном значении переменной х знаменатель дроби g(x) в нуль;

3.  если g(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)=0 не является корнем исходного уравнения. 

;

1.     Решим уравнение:

2х2 – 5х + 3 = 1;

D = b2 – 4ac = (-5)2 - 4·2·3 = 25 – 24 = 1 > 0, уравнение имеет 2 корня.

х1 = 1;                  х2 = 1,5.

2.     Выполним  проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если х = 1;  то 9х – 13,5 = 9·1 – 13,5 ≠ 0;

Если х = 1,5; то 9х–13,5= 9·1,5–13,5=13,5-13.5=0, не является корнем уравнения.

Ответ: 1  (с учетом проверки).

3.

Использование основного свойства пропорции для уравнений вида   .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: в пропорции  произведение крайних членов равно произведению ее средних членов. Т.е. ad = bc.

Решение уравнения вида проводится в два этапа:

1.  решить уравнение f(x)·q(x)= g(x)·p(x);

2.  выяснить для каждого корня, обращаются ли при найденном значении переменной х знаменатели дробей g(x) и  q(x) в нуль;

3.  если g(x)=0 или q(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)·q(x)= g(x)·p(x) не является корнем исходного уравнения. 

1.     Решим уравнение:

(х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3);

х2 – 4х – 2х + 8 = х2 + 3х + 2х + 6;

- 6х + 8 – 5х – 6 = 0;

- 11х = -2;

х = -11: (-2);

.

2.     Выполним  проверку (не обращает ли  найденный корень в нуль знаменатели дробей).

Если ;  то х + 2 =  + 2  ≠ 0;

Если х =;  то х - 4 =  - 4  ≠ 0

Ответ:    (с учетом проверки).

4.

Использование метода введения новой переменной.

Дробные рациональные уравнения решаются с помощью введения новой переменной.

Введем новую переменную, обозначив  х2 + 2х – 3  через у. Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у.

Пусть   у = х2 + 2х – 3, тогда   х2 + 2х – 8 = (х2 + 2х – 3) – 5 = у – 5   и уравнение примет вид

 ;

;

;

24у = (15 + 2у)(у – 5);

24у = 15у – 75 + 2у2 - 10у;

24у - 15у + 75 - 2у2 + 10у= 0;

- 2у2 + 19у + 75= 0;

2у2 - 19у -  75= 0;

D = b2 – 4ac = (-19)2 - 4·2·(-75) = 361 + 600 = 961 > 0, уравнение имеет 2 корня;

у1 = - 3;                   у2 = 12,5.

Выполним  проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если у = -3;   то у – 5 = -3 – 5  ≠ 0;

Если у = 12,5;  то у – 5 = 12,5 – 5  ≠ 0.

Т.к. у = х2 + 2х – 3, то получим  уравнения:

х2 + 2х – 3 = -3     и     х2 + 2х – 3 = 12,5.

Решая уравнение   х2 + 2х – 3 = 12,5;  получим:

;           .

 Решая уравнение   х2 + 2х – 3 = -3;  получим:

х3 = -2;           х4 = 0.

Т.о. найдены четыре корня заданного уравнения.