Признаки равенства треугольников

Тема «Треугольники»

Тип урока: Систематизация и обобщение изученного материала.

Цели:

Учебная задача: выделение ведущих понятий темы, установление связей между ними, проверка полученных знаний по теме «Треугольники», повторить, обобщить, систематизировать первоначальные знания.

Диагностируемые цели: в результате урока ученик

знает связи между понятиями темы,

умеет применять теоретические знания при решении устных, письменных и тестовых задач, умеет применять три признака равенства треугольников,

понимает который признак необходимо применить в конкретной задаче.

Методы обучения: репродуктивный метод, эвристическая беседа.

Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: традиционные, презентация.

1. Мотивационно-ориентировочный этап:

Уч-ль: Здравствуйте. Кто напомнит, какую тему мы изучали на протяжении нескольких уроков?

Уч-ся: треугольники.

Уч-ль: правильно. Как вы думаете, чем мы займемся сегодня на уроке?

Уч-ся: повторением? Изучением новой темы?

Уч-ль: Перед новой темой следует закрепить то, что мы уже знаем. Сегодня у нас урок-обобщение, а тема остается та же. Откроем тетради и запишем число, классная работа, тема урока: Треугольники.

Уч-ль: Перечислите, что мы узнали в теме треугольники?

Уч-ся: Периметр, круг, три признака равенства.

Уч-ль: Всё ли мы вспомнили? Удобно ли вспоминать каждый раз изученное нами?

Уч-ся: Неудобно, много всего.

Уч-ль: Тогда может мы как-то систематизируем наши знания?

Уч-ся: Запишем кратко, сделаем таблицу.

Уч-ль: Верно, именно это и является целью нашего сегодняшнего урока: систематизировать и обобщить знания по теме «Треугольники».

1. Содержательный этап:

Уч-ль: Давайте все наши знания занесем в таблицу, чтобы она всегда была перед глазами. У каждого на парте есть заготовка таблицы, возьмем цветную ручку и будем заполнять пропуски.

Уч-ль: Давайте начнем заполнять. Начнем с первого пункта нашей таблицы. Скажите определение треугольника?

Уч-ся: Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Уч-ль: Как называются три точки и соединяющие их стороны?

Уч-ся: Точки – вершины, отрезки – стороны.

Уч-ль: Чем являются BAC,

Уч-ся: Углы данного треугольника -

Уч-ль: Что является периметром треугольника?

Уч-ся: Периметр треугольника – сумма длин трех сторон треугольника.

Уч-ль: А каким будет являться треугольник, если в нем две стороны равны?

Уч-ся: Треугольник называется равнобедренным.

Уч-ль: Как называются равные стороны и третья сторона равнобедренного треугольника?

Уч-ся: Боковые стороны – равные стороны.Третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Уч-ль: Как называются углы

Уч-ся:

Уч-ль: Каким свойством обладают углы при основании?

Уч-ся: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Уч-ль: Чем является ВН:

Уч-ся: ВН – медиана.

Уч-ль: Каким свойством обладает медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике?

Уч-ся: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Уч-ль: Как называется треугольник, в котором все стороны равны?

Уч-ся: Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны.

Уч-ль: Каким свойством обладают углы равностороннего треугольника?

Уч-ся: В равностороннем треугольнике все углы равны.

Уч-ль: Хорошо. Давайте перейдем к следующему пункту таблицы. Скажите определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника?

Уч-ся:

• Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

• Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Уч-ль: Каким свойством обладают медианы, высоты или их продолжения и биссектрисы в любом треугольнике?

Уч-ся: В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Уч-ль: Давайте в первом треугольнике проведем медианы, во втором – биссектрисы, а в третьем – высоты. Какие сложности возникли?

Уч-ся: Провести высоты в третьем треугольнике?

Уч-ль: Из-за чего возникла сложность?

Уч-ся: Треугольник тупоугольный. Для того, чтобы провести высоты AN и ВР

необходимо продолжить стороны ВС и АС соответственно. Высота будет перпендикулярна продолжению этих сторон.

Уч-ль: Молодцы (тому, кто ответит, можно поставить поощрительную оценку). Давайте перейдем к равенству треугольников. Какие мы знаем способы доказательства равенства треугольников?

Уч-ся: Наложение, сравнение 6 пар элементов и признаки равенства треугольников.

Уч-ль: Если два треугольника равны, что мы можем о них сказать?

Уч-ся: Если два треугольника равны, то элементы, т.е. стороны и углы, одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Уч-ль: Очень хорошо. Успеваете заполнять пропуски?

Уч-ся: да.

Уч-ль: Теперь давайте вспомним признаки равенства треугольников, но записывать их не будем. Пронумеруем рисунки соответственно номеру признака, отметим равные элементы и напишет наше сокращение признака. Назовите 1, 2 и 3 признаки равенства?

Уч-ся:

• 1 признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

• 2 признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

• 3 признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Уч-ль: Верно. А какие виды задач мы с вами решали?

Уч-ся: На доказательство и нахождение величин.

Уч-ль: Что мы доказывали и находили?

Уч-ся: Доказывали равенство треугольников, отрезков, углов. Находили величину угла и длину отрезка.

Уч-ль: И последний пункт нашей таблицы – окружность. Скажите определение окружности?

Уч-ся: Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Уч-ль: Как называется данная точка?

Уч-ся: Данная точка называется центром окружности.

Уч-ль: Что является радиусом, хордой и диаметром окружности?

Уч-ся:

• Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.

• Хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки окружности.

• Диаметр окружности – хорда, проходящая через центр окружности.

Уч-ль: Давайте подпишем на рисунке.

Уч-ль: Является ли второй рисунок кругом?

Уч-ся: Нет.

Уч-ль: Почему? Каково определение круга?

Уч-ся: Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Уч-ль: Значит что нужно сделать, чтоб получить круг?

Уч-ся: Заштриховать окружность.

Канва-таблица:

Треугольники Точки А,В,С - АВС - – Отрезки АВ, ВС, АС - АВ = ВС - ABCBCABAC АС - Р = ВН -

Провести Медианы: Биссектрисы: Высоты: АР, ВN, CQ АР, ВN, CQ АР, ВN, CQ О- О- О-

Равенство треугольников

Виды задач Доказать: Найти: 1) 1) 2) 2) 3)

Окружность Окружность Круг

Готовая таблица:

Треугольники Точки А,В,С - вершины АВС - равнобедренный – равносторонний Отрезки АВ, ВС, АС - стороны АВ = ВС – боковые стороныABC=BCA=BAC ABC, BAC, CBA - углы треугольникаАС - основание Р = АВ+ВС+САBAC=ACB ВН-медиана, высота, биссектриса

Провести Медианы: Биссектрисы: Высоты: АР, ВN, CQ АР, ВN, CQ АР, ВN, CQ О-точка пересечения медиан О- точка пересечения биссектрис О- точка пересечения высот

Равенство треугольников Наложение Сравнение 6 пар элементов Признаки равенства

Виды задач Доказать: Найти: 1) Равенство треугольников 1) Величину угла 2) Равенство отрезков 2) Длину отрезка 3) Равенство углов

Окружность Окружность Круг

Уч-ль: Теперь перед нами есть таблица с теорией всей главы, при необходимости мы сможем ей воспользоваться. Давайте решим номер 170 из учебника. Прочитайте условие задачи.

Уч-ся: Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, если АВ=А1В1, 1, АD=A1D1, где АD и A1D1 биссектрисы треугольников.

Уч-ль: (вызывает ученика к доске) Давайте запишем, что нам дано построим чертеж.

Дано:

АВ=А1В1, 1, АD=A1D1,

АD и A1D1-биссектрисы

Доказать: АВС = А1В1С1

Уч-ль: Как мы будем доказывать равенство треугольников?

Уч-ся: с помощью признаков равенства.

Уч-ль: Какой признак можно применить?

Уч-ся: пока никакой.

Уч-ль: Что нужно доказать, чтобы использовать признаки?

Уч-ся: Чтобы использовать 1 признак, нужно доказать, что АС=А1С1. Чтобы использовать 2 признак, нужно доказать, что B=B1.

Уч-ль: Чтобы доказать, что АС=А1С1, что будем рассматривать?

Уч-ся: Треугольники, в которые они входят. Так как равенство треугольников АВС и А1В1С1 необходимо доказать по условию, то остались только АDС и А1D1С1.

Уч-ль: Можем ли мы доказать равенство этих треугольников?

Уч-ся: Недостаточно условий. Значит будем доказывать равенство углов B=B1.

Уч-ль: Какие треугольники будем рассматривать?

Уч-ся: BAD и B1A1D.

Уч-ль: Что мы знаем о них?

Уч-ся: АВ=А1В1, АD=A1D1, D=B1A1D1 (1, АD и A1D1-биссектрисы). Следовательно треугольники равны по первому признаку.

Уч-ль: Что следует из равенства треугольников?

Уч-ся: Что B=B1. BD=B1D1.

Уч-ль: Можем ли теперь доказать равенство данных треугольников?

Уч-ся: Да, мы имеем, что АВ=А1В1, 1, B1 (из 2). Значит АВС = А1В1С1(по второму признаку).

Уч-ль: Молодцы. Давайте оформим доказательство в тетрадях:

Доказательство:

1. 1 D=B1A1D1 (АD и A1D1-биссектрисы)

2. Рассмотрим BAD и B1A1D1:

АВ=А1В1, АD=A1D1, D=B1A1D1 BAD = B1A1D1 (по первому признаку) B1

1. Рассмотрим АВС = А1В1С1:

АВ=А1В1, 1, B1 (из 2) АВС = А1В1С1 (по второму признаку).

Уч-ль: Что в задаче пригодилось применить из новой темы?

Уч-ся: 1 и 2 признак равенства треугольников.

Уч-ль: Что еще?

Уч-ся: биссектрисы.

Уч-ль: Верно. Давайте решим №179. (Если останется время, то в классе.Если не останется, то в домашнее задание). Прочитайте условие задачи.

Уч-ся: На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Pи Q так, что PXB=QXC, где X-середина основания BC. Докажите, что BQ=CP.

Уч-ль: (вызывает ученика к доске) Построим чертеж и запишем дано.

Дано:

АВС - равнобедренный

АВ=АС, ВХ=ХС, PXB=QXC

Доказать: BQ=CP

Доказательство:

1. АВС – равнобедренный В = С

2. Рассмотрим BPXи CQX:

CX=BX, PXB=QXC, BPX= CQX (по второму признаку) CQ=PQ, QX=XP.

1. Рассмотрим BPСи CQВ:

2. CQ=PB, сторона CB – общая, BPС= CQВ (по второму признаку) QB=BC.

Уч-ль: Итак, что мы применили в задаче из новой темы?

Уч-ся: 2 признак равенства треугольников.

Уч-ль: что то еще из новой темы мы применили?

Уч-ся: нет.

1. Рефлексивно – оценочный этап:

Тем, кто активно отвечал на уроке, можно поставить оценку за активность.

Уч-ль: Домашнее задание сегодня будет необычным. Если вы просто хотите получить оценку, то выполните номера 165, 179(если не успели). Если вы хотите дополнительную оценку, выполните домашнее задание с элементами творчества. Вы можете сделать то, что сами хотите, по теме «Треугольники». Например: составить задачу и решить ее, составить кроссворд и так далее.

№165: Отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1, так, что АК=ВК1. Докажите, что: а) ОК=ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1.

Дано:

АВ СD=О, АО=ОВ, СО=ОD,

К АС, К1 ВD, АК=ВК1.

Доказать:

а) ОК=ОК1; б) О КК1.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОС и ВОD

АО=ОВ (по условию)

СО=ОD (по условию)

D( вертикальные)

АОС= ВОD (по двум сторонам и углу между ними)

Тогда

1. Рассмотрим АКО и ВК1О

АК=ВК1 (по условию)

АО=ОВ ( по условию)

АКО= ВК1О (по двум сторонам и углу между ними)

, КО=ОК1 (по определению равных треугольников)

1. АВ-отрезок по условию.

(из 2)

Тогда - вертикальные, значит К и К1 лежат на одной прямой, Точка О КК1.

Уч-ль: Итак, давайте подведем итоги нашего сегодняшнего урока. Какие цели мы ставили в начале урока?

Уч-ся: Систематизировать знания, повторить изученный материал.

Уч-ль: Как можно систематизировать материал для большей наглядности?

Уч-ся: Составить табличку, кратко записать.

Уч-ль: Совершенно верно, мы с вами заполнили пропуски в заготовленной таблице, теперь при необходимости мы можем пользоваться этим материалом. Какие пункты мы рассмотрели в нашей таблице?

Уч-ся: Треугольники, провели медианы, высоты и биссектрисы, повторили равенство треугольников, записали виды задач, вспомнили определение окружности и круга.

Уч-ль: Молодцы. Есть ли у вас какие-то вопросы?

Уч-ся: нет.

Уч-ль: Всем спасибо. До свидания.

4