"Конспект урока второй признак равенства треугольников"

Конспект урока «Второй признак равенства треугольников»

7 класс

Учебник: Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие) — М. : Просвещение, 2000.

Пункт 19.

Учебная задача урока:

Найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих соответственно по равной стороне и двум прилежащим углам;

Закрепить на примере второго признака равенства треугольников, следующие понятия: понятие «теорема», логическую структуру формулировки теоремы, что называется доказательством теоремы, метод доказательства;

Выделить схему доказательства второго признака равенства треугольников;

Выявить отличия в формулировках признаков, провести аналогию между способами доказательства первого и второго признаков;

Установить типы задач, которые можно решать с помощью второго признака.

Ожидаемые результаты урока.

В результате ученик:

Знает формулировку второго признака равенства треугольников;

Знает, что такое «теорема»;

Знает логическое строение теоремы;

Знает, что такое доказательство;

Имеет представление о составление плана доказательства теоремы;

Осознаёт основные идеи доказательства: сведение к определению и приём « наложения» треугольников;

Отличает формулировку второго признака от других теорем и определений, умеет обосновывать ход рассуждения;

Знает последовательность решения типовых задач: выделить пару соответственно равных сторон и две пары соответственно равных углов, прилежащих к этим сторонам - доказать равенство треугольников по признаку УСУ — установить равенство соответствующих углов, сторон;

Умеет выделять равные треугольники, используя определение и два признака равенства треугольников (по готовым чертежам).

Структура урока.

1) Организационный момент — готовность учащихся к уроку.

2) Актуализация знаний определения и первого признака равенства треугольников -фронтальная работа по готовым чертежам. Мотивация введения нового признака — решение конкретно — практической задачи; постановка цели урока.

З) Содержательный этап: формулировка нового признака, составление плана доказательства теоремы, запись доказательства.

4) Этап осознания и осмысления теоремы и её доказательства: работа в парах по выявлению отличий в формулировках признаков, фронтальная работа по выявлению равных треугольников по второму признаку по готовым чертежам, по выделению основных типов задач на применение второго признака.

5) Первичное закрепление второго признака: выделение шагов в решении задач на доказательство равенства треугольников, на вычисление градусной меры углов и нахождение длин отрезков — коллективное обсуждение хода решения и запись решения в тетради.

6) Подведение итогов урока, предъявление домашнего задания.

Методы обучения:

1) По источнику передачи и восприятию информации: словесные (эвристическая беседа); практические: поиск равных треугольников по готовым чертежам, по составлению задач;

2) По логике изложения: дедуктивный;

З) По характеру познавательной деятельности учащихся: частично поисковая при анализе способа решения задачи и выдвижении гипотез по преобразованию взаимного расположения треугольников на рисунках; репродуктивно преобразующая на этапе составления плана доказательства теоремы и при составлении задач по рисункам;

4) По степени управления учебной деятельностью: под руководством учителя через систему целесообразно. подобранных задач;

5) Методы мотивации: создание проблемной ситуации;

б) Методы контроля и самоконтроля: самоконтроль на этапе осознания и осмысления новой теоремы при распознавании пар равных треугольников по второму признаку.

Оборудование урока.

Рисунки а)-е) на доске, треугольный «вырез» для изображения треугольников у учителя и у учащихся; цветные мелки (карандаши у учащихся); рисунки ж), з), и) для этапа осознания и осмысления нового, рисунок к) для первичного закрепления второго признака равенства треугольников.

Ход урока.

Учитель: На прошлых уроках мы с вами учились сравнивать треугольники и выделять среди них равные. Кто помнит какими определениями, теоремами мы для этого пользовались? Поднимите руки, назовите их и прочитайте.

Ученики: Определение: если один треугольник можно совместить наложением с другим треугольником, то такие треугольники называются равными.

Признак (СУС): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: Хорошо. Формулировки вы знаете. Посмотрим как вы их понимаете. На рисунках на доске изображены пары пронумерованных треугольников. Попробуйте выделить равные треугольники, но самым лучшим будет считаться обоснованный ответ.

Итак, рисунок а). Будут ли равны треугольники (1) и (2)? Почему?

Ученики: да, по первому признаку (СУС).

Учитель: Верно, но не торопитесь переходить к

следующему рисунку. Мы ещё не всё выяснили по рисунку а).

Например, если треугольник (1) равен треугольнику (2), то

какие выводы можно сделать?

Ученики: В равных треугольниках против соответственно равных сторон (углов) лежат равные углы (стороны), то есть KМ=PR, K=R, M=P.

Учитель: Правильно. Значит на основе признака СУС какие типы задач мы можем решать?

Ученики: Задачи на доказательство равенства треугольников, равенство сторон и углов.

Учитель: Верно, а если я добавлю условие, что ⁰. Можно ли тогда найти величину какого-либо угла в треугольнике?

Ученики: да, так как R, значит R=37⁰.

Учитель: Молодцы! Следовательно, какой тип задач мы ещё можем решать по признаку СУС?

Ученики: На нахождение градусных мер углов.

Учитель: А если будет известно, что сторона КМ равна 5см. Можно ли будет вычислить ещё какую-то сторону треугольника?

Ученики: да, так как ∆КМО=∆ОРR, то КМ=РR, значит РR=15см.

Учитель: Отлично, теперь выделите ещё один тип задач, которые мы можем решать по первому признаку.

Ученики: Задачи на вычислении сторон.

Учитель: Молодцы! Итак, повторим все выделенные типы задач, которые мы можем решать по признаку СУС.

Ученики: Задачи на доказательство равенства треугольников, сторон, углов, на вычисление сторон, углов.

Учитель: Верно перейдём к рисунку б). Если на рисунке б) равные треугольники?

Ученики: Да, (3)=(4) по признаку СУС.

Учитель: Верно, А что ещё можно использовать, чтобы установить равенство треугольников?

Ученики: Определение равных треугольников.

Учитель: Если мы хотим воспользоваться определением, то какие действия над треугольниками мы должны произвести?

Ученики: Наложение.

Учитель: да. А при каких условиях можно использовать наложение треугольников?

Ученики: Когда есть равные углы и можно быть уверенным в том, что совместятся соответствующие лучи.

Учитель: Правильно. Вернёмся к рисунку б). Учитывая, сказанное выше, скажите, равны ли треугольники (3) и (4) по определению?

Ученики: да, так как при наложении совместятся треугольники.

Учитель: Можем ля мы наложить треугольники? Почему?

Ученики: Можем, так как N, то вершины В и N совместятся, а стороны ВD и ВС наложатся соответственно на лучи НL и NМ.

Учитель: Молодцы. Какие выводы здесь можно сделать?

Ученики: D=L, СD=ML.

Учитель: Верно. Можно ли найти величину угла D. если угол L равен 45⁰?

Ученики: да, угол D равен 45⁰, так как D=L — лежат против равных сторон в равных треугольниках.

Учитель: Правильно, перейдём nеперь к рисунку в). Можно ли по данным рисунка в) определить меру угла С₁. Почему?

Ученики: да, нет. Мы не знаем равны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁.

Учитель: Правы и те и другие.

Интуиция подсказывает, что треугольники равны. Но по этим данным первым признаком мы не можем воспользоваться. Тогда, что можно попробовать использовать для доказательства равенства треугольников (5) и (б)?

Ученики: Определение.

Учитель: Верно. Итак, мы хотим установить равенство треугольников (5) и (б) по определению.

Ещё раз посмотрите на рисунок в) и назовите, какие пары элементов соответственно равны в этих треугольниках?

Ученики: АВ=А₁В₁, ₁, ₁.

Учитель: действительно, в треугольниках выделены сторона и два прилежащих к ней угла. Можно сказать и так: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Как сформулировать задачу, которою нам предстоит решать?

Ученики: выяснить, равны ли треугольники, в которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Учитель: Хорошо. В правой части тетрадного листа сделайте рисунок в), пользуясь «вырезом». С помощью чего будем доказывать равенство треугольников?

Ученики: С помощью определения.

Учитель: По определению какие треугольники называются равными?

Ученики: Которые совпадут при наложении.

Учитель: Как же проверить совпадут ли треугольники при наложении?

Ученики: Нужно наложить треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ и посмотреть совпадут они или нет.

Учитель: Итак, будем использовать приём наложения. Вспомните использовался ля ранее приём наложения? Если да, то где?

Ученики: да, при доказательстве первого признака равенства треугольников.

Учитель: Верно. Мы говорили, что для использования наложения нужны определённые условия: равенство углов. В нашем случае возможно ли использование приёма наложения?

Ученики: да, ₁,₁.

Учитель: Правильно. Итак, условия для использования приёма наложения у нас есть. Тогда, что мы можем сделать?

Ученики: наложить треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁.

Учитель: Вспомните, что при доказательстве первого признака мы накладывали треугольники определённым образом: учитывая условие, что ₁: вершину А совмещали с вершиной А₁, а стороны АВ и АС накладывали соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

В нашем случае каким образом будем накладывать треугольник АВС на треугольник

А₁В₁С₁?

Ученики: Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ с равной ей стороной А₁В₁.

Учитель: давайте отметим расположение вершин С и С₁. Ведь возможно два случая: вершины С и С₁ окажутся: по одну сторону; по разные стороны от прямой А₁В₁.

Но давайте учитывать, что мы используем приём наложения и пользуемся определением. Нужно, чтобы при наложении треугольники полностью совместились, то есть совместились их вершины, их стороны. Тогда сделайте вывод в каком же случае треугольники совместятся полностью?

Ученики: В случае, когда вершины С и С₁ окажутся по одну сторону от прямой А₁В₁.

Учитель: добавим это требование к тому, как мы будем накладывать треугольники. Итак, повторим как мы наложим треугольники.

Ученики: Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ окажутся по одну сторону от прямой А₁В₁.

Учитель: Хорошо, треугольники мы наложили. Теперь поговорим о том, что нам дано. По условию ₁. Какой вывод можно сделать из равенства углов А и А₁ о том, как соотносятся сторона АС и А₁С₁?

Ученики: Так как ₁С₁.

Учитель: Что тогда следует из равенства углов В и В₁?

Ученики: Так как ₁,то сторона ВС наложится на луч В₁С₁.

Учитель: Верно. Посмотрите вершина С - общая точка сторон АС и ВС. И мы получили, что АС наложится на А₁С₁, а сторона ВС наложится на луч В₁С₁. Тогда, какой вывод можно сделать о том, где будет лежать вершина С?

Ученики: Значит, вершина С будет лежать и на луче А₁С₁ и на луче В₁С₁.

Учитель: Правильно. Следовательно, вершина С - является общей точкой лучей А₁С₁ и В₁С₁.

В то же время, какая ещё точка является общей для лучей А₁С₁ и В₁С₁?

Ученики: Точка С₁.

Учитель: действительно, получили, что у лучей А₁С₁ и В₁С₁ есть две общих точки - С и С₁. В каком же отношении оказались вершины С и С1 после наложения треугольников?

Ученики: Вершины С и С₁ совместились.

Учитель: Тогда в каком отношении находятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ после наложения треугольников?

Ученики: Совместятся.

Учитель: Следовательно, в каком отношении находятся ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ после наложения?

Ученики: Они полностью совместятся после наложения.

Учитель: Что же из этого следует?

Ученики: Что треугольники равны по определению.

Учитель: Подведём итог. Что было дано?

Ученики: ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, АВ=А₁В₁, ₁, ₁.

Учитель: Что доказали?

Ученики: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Учитель: Попробуйте сформулировать доказанное предложение о равенстве этих треугольников.

Ученики: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: Решена ли поставленная задача?

Ученики: да.

Учитель: Какие приёмы лежат в основе доказательства?

Ученики: Приём наложения.

Учитель: Верно. Подумайте и обсудите в парах ответ на вопрос: верна ли теорема применительно к рисункам г), д), е). Почему?

Учитель: Верна ли теорема, применительно к рисунку г)?

Ученики: да, так как ∆АВС можно наложить на ∆МNР, потому что есть равные углы и АС=МР.

Учитель: Равны ли треугольники АВС и МNР?

Ученики: да.

Учитель: Правильно. Верна ли теорема применительно к рисунку д)?

Ученики: да.

Учитель: А к рисунку е)?

Ученики: да.

Учитель: Верно. Как вы видите существует много треугольников, имеющих соответственно равные сторону и два прилежащих к ней угла. И почти всегда нам надо будет доказать равенство этих треугольников. Например, чтобы найти в них равные углы или стороны. Как вы думаете для каждой пары треугольников способ доказательства будет один и тот же или различен? Почему?

Ученики: Один и тот же, так как всегда надо доказать равенство стороны и двух элементов.

Учитель: действительно, способ доказательства будет одинаков для всех пар треугольников. Пусть даны разные стороны или углы , как на рисунке г), д), е). Но нас интересует сам факт: наличие стороны и двух прилежащих углов. Так?

Ученики: да.

Учитель: Как же теперь сформулировать цель нашего урока?

Ученики: Найти способ доказательства равенства двух треугольников, имеющих соответственно равные сторону и два прилежащих угла.

Учитель: Сделайте в левой части тетрадного листа (слева от рисунка в) рисунок д), пользуясь вырезом. Раскрасьте равные стороны синим цветом, а равные углы соответственно зелёны и красным.

Имеем два треугольника АВС и А₁В₁С₁. Запишите, дано и что надо доказать.

Ученики:

дано: ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, АВ=А₁В₁, ₁, ₁. доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Учитель: Попробуем восстановить ход доказательства. С чего надо начинать?

Ученики: Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ окажутся по одну сторону от прямой А₁В₁.

Учитель: Чем отличается запись доказательства от записи в плане?

Ученики: В плане указывается только то, что надо сделать, и не проводятся обоснования выполненных действий.

Учитель: Как же записать выполненный шаг доказательства в плане?

Ученики: Наложить треугольники так, чтобы: а) совместились вершины тех углов, которые равны по условию, б) совместились стороны, которые равны по условию, в) вершины, лежащие против равных по условию сторон, оказались по одну сторону.

Учитель: Запишем первый пункт плана в тетрадь. Кто помнит, как рассуждать дальше?

Ученики: Из того, что ₁, делаем вывод, что сторона АС наложится на луч А₁С₁. А из того, что ₁ следует, что ВС наложится на луч В₁С₁.

Учитель: Запишите кратко этот шаг доказательства в пункте 2 плана.

Ученик: пункт 2. Наложить стороны одного треугольника на лучи, содержащие стороны другого треугольника.

Учитель: Что мы установили затем?

Ученики: Что вершина С совместится с вершиной С₁.

Учитель: Запишем 3 пункт плана.

Ученики: пункт 3. Установить какие вершины треугольников совпадут при наложении.

Учитель: Какой вывод следует из этого? Как записать в плане этот шаг доказательства?

Ученики: Что стороны АС и А₁С₁ и ВС и В₁С₁ совместятся.

Пункт 4. Установить совместимость сторон при наложении треугольников.

Учитель: Какой вывод можем сделать о треугольниках?

Ученики: Треугольники полностью совместились, значит, они равны.

Учитель: Почему?

Ученики: По определению.

Учитель: Запишем последний пункт плана.

Ученики Пункт 5. сделать вывод о равенстве треугольников по определению.

Учитель: Итак, мы рассмотрели треугольники, у которых равны стороны и два прилежащих к ней угла. Мы доказали, что такие треугольники равны. Для установления равенства этих треугольников, чем мы воспользовались?

Ученики: Приёмом наложения, определением.

Учитель: Верно, и чтобы каждый раз при этих условиях не выполнять переход к определению, имеет смысл сформулировать новую теорему, по которой можно признавать новые треугольники. Но прежде чем её сформулировать давайте вспомним, что такое «теорема».

Ученики: «теорема» - это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Учитель: Правильно. Ребята, а сформулированное нами утверждение будет являться теоремой и если будет то почему?

Ученики: Да сформулированное нами утверждение будет являться теоремой, так как его справедливость мы устанавливали путём рассуждений, опираясь на определение равных треугольников.

Учитель: Всё верно. Теперь давайте сформулируем, доказанную нами теорему.

Ученики. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: Выделите условие и заключение этой теоремы. Эту теорему называют вторым признакам равенства треугольников. Почему её называют признаком?

Ученики: Условие: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Заключение: такие треугольники равны.

Потому что с её помощью можно признать равные треугольники.

Учитель: А какие условия будете проверять?

Ученики: Равенство стороны и двух прилежащих углов в одном треугольнике и другом.

Учитель: Проверим, как вы поняли формулировку этой теоремы. Обратимся к рисункам ж), з), и), к). Равны ли треугольники на этих рисунках?

Ученики: На рисунке ж) нет.

Учитель: Почему, ведь есть же равные стороны и два равных угла.

Ученики: Углы С и Р не прилежащие к сторонам АВ и ДЕ.

Ученики: На рисунке з) нет, равных сторон.

Ученики. На рисунке и) да по второму признаку.

Учитель. А если я уберу условие что S =

Ученики. Нет.

Учитель. Хорошо, оставлю это условие, но уберу, что Q = F. Тогда равны ли треугольник?

Ученики. да — по второму признаку.

Учитель. Какие выводы мы можем сделать из равенства этих треугольников?

Ученики. Q = F, QР = FS, FЕ = QR.

Учитель. Как видите, мы сами можем получить равенство углов Q и F, поэтому такое условие называют лишним.

Ученики. На рисунке к) ∆АВД = ∆ВДС по второму признаку.

Учитель. Какие выводы можно сделать из равенства этих

треугольников.

Ученики: АВ=СВ, АД=ДС,

Учитель. Хорошо, добавим к рисунку к) такие условия:⁰, ⁰. Какие ещё выводы можно сделать? Почему?

Ученики. По условию ⁰. Можно найти угол В. ⁰ + 25⁰ = 50⁰.

⁰.

Учитель. Чем является луч ВД для

Ученики. Биссектрисой.

Учитель. Молодцы. А если я добавлю условие: АД = З см. Какие выводы можно сделать?

Ученики. ДС = АД — лежат вы равных треугольниках против равных углов. Значит, ДС = З см.

Учитель. Верно. Попытайтесь сформулировать по рисунку к) различные задачи, пользуясь полученными выводами.

Ученики. Задача 1.

дано: ∆АВД, ∆СВД, ДВ общая,

Доказать: ∆АВД = ∆СВД.

Задача 2.

дано: ∆АВД, ∆СВД, ДВ общая,

Задача З.

дало: ∆АВД, ∆СВД, ДВ общая,

Когда ученики сформулируют задачи, учитель должен обсудить с ними план решения этих задач.

К задаче 1:

Учитель. Из чего мы сделаем вывод что треугольники равны.

Ученики. ∆АВД = ∆СВД по второму признаку, так как АД — общая сторона, по условию.

Учитель. Запишем план решения задачи один.

Ученики. 1. Из дано выделить условие по которому можно применит второй признак.

К задаче 2.

Учитель. Из чего можно сделать вывод о равенстве углов?

Ученики. Из равенства треугольников.

Учитель. А равенство треугольников мы можем установить по задаче 1, то есть как?

Ученики. ∆АВД = ∆СВД по второму признаку, следовательно,

Учитель. Запишем план решения по задаче 2.

Ученики. 1. Установить равенство треугольников. 2. Сделать вывод о равенстве углов, лежащих в равных треугольниках против равных сторон.

К задаче З.

Учитель. Можно сразу составить план: 1 .Установить равенство двух треугольников по второму признаку. 2. Сделать вывод о равенстве сторон, лежащих в равных треугольниках против равных углов.

Учитель. Итак, повторим, в чём же суть второго признака равенства треугольников.

Ученики. Он позволяет установить равенство двух треугольников, имеющих по равной стороне и по двум равным прилежащим к этой стороне углам.

Учитель. Попробуйте сделать Вывод из решённых задач о том, для чего можно использовать второй признак.

Ученики, а) для доказательства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. б) для доказательства равенства углов и сторон. в) для вычисления градусных мер углов. г) для нахождения длин отрезков.

Учитель. Вернёмся к доказательству признака. Опираясь на план доказательства, перечислите те определения, теоремы, приёмы, которыми мы пользовались для доказательства второго признака.

Ученики. Определение равных треугольников, прием наложения.

Учитель. Подумайте несколько секунд и обсудите в парах следующие вопросы: а) Чем отличается формулировка первого и второго признаков, б) сравните способы их доказательства, в) почему использовали именно этот прием доказательства.

Ученики. а) Различными парами соответственно равных элементов, б) способ доказательства один и тот же, приём наложения, сводили к определению, в) так как были равные углы и были уверены, что луч А₁С₁ пойдёт по лучу АС, а луч В₁С₁ — по ВС.

Учитель. Молодцы! Подведем итоги урока итак, как можно установить равенство треугольников?

Ученики. Воспользоваться определением или одним из двух признаков.

Учитель. Какие задачи можно решать с помощью второго признака?

Ученики. а), б), в), г. (см. выше).

Учитель. Какую роль в усвоении новой темы играет составленный нами план доказательства? Зачем он нужен?

Ученики. План отражает основные этапы доказательства. Составление план позволяет учиться кратко формулировать выполняемые действия. Зная план доказательства, можно восстановить и само доказательство.

Учитель. Формулировку нового признака мы повторили несколько раз, но этого бывает недостаточно, чтобы её запомнить. Поэтому дома надо выучить формулировку этой теоремы и научится её проговаривать в процессе решения задачи №121.

Важным является и умение доказывать теорему. Поэтому дома, пользуясь учебником и составленным на уроке планом, попытайтесь доказать второй признак так чтобы суметь пересказать доказательство на следующем уроке.