Признаки делимости

28

Введение ……………………………………………………………3

1. Из истории математики о делимости чисел.………………………..……4

   1. Что такое простые составные числа………………….............5

   2. «Решето» Эратосфена…………………………………………..6

   3. Деление чисел на классы пифагорейцами…………………..7

   4. Вклад в изучение признаков делимости чисел Блеза Паскаля…………………………………………………………..9

2. Признаки делимости……………………………………………………...10

2.1 Признаки делимости на число 2…………………………….11

2.2 Признаки делимости на число 3..………………………..…11

2.3 Признаки делимости на число 4…………………………….13

2.4 Признаки делимости на число 5………………………….…13

2.5 Признаки делимости на число 6……………………………14

2.6 Признаки делимости на число 7……………………………14

2.7 Признаки делимости на число 8……………………………15

2.8 Признаки делимости на число 9……………………………15

2.9 Признаки делимости на число 10…………………………..15

2.10 Признаки делимости на число 11…………………………..16

2.11 Признаки делимости на число 12…………………………..16

2.12 Признаки делимости на число 13…………………………..16

2.13 Признаки делимости на число 14…………………………..17

2.14 Признаки делимости на число 15…………………………..17

2.15 Признаки делимости на число 17…………………………..17

2.16 Признаки делимости на число 18…………………………..18

2.17 Признаки делимости на число 19…………………………..18

2.18 Признаки делимости на число 20…………………………..18

2.19 Признаки делимости на число 21…………………………..18

2.20 Признаки делимости на число 22…………………………..19

2.21 Признаки делимости на число 23…………………………..19

2.22 Признаки делимости на число 24…………………………..19

2.23 Признаки делимости на число 25…………………………..20

1. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач………………………........22

Заключение……………………………………………………………..……25

Выводы………………………………………………………………..........26

Список используемой литературы…..…………………………………….27

Приложение…………………………………………………………………28

Введение

При решении некоторых заданий я столкнулся с проблемой делимости многозначных чисел. Поиск делителя многозначного числа занимает много времени по двум причинам: во-первых действие деление затратно по времени само по себе, во-вторых делители подбираются наугад. Возникает вопрос: Как выяснить не выполняя деления, делится ли число на заданное? Какие существуют признаки делимости?

Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел?

1.Актуальность темы:

Признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

2. Цели исследовательской работы:

1. Расширить знания по теме "Признаки делимости натуральных чисел" и научиться применять из на практике.

Как выяснить не выполняя деления, делится ли число на 2,4,5?

3.Задачи:

Изучить историю математики о делимости чисел.

Выяснить, какие признаки делимости существуют.

Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

4. Объект исследования: признаки делимости чисел.

Гипотеза: признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

1. Из истории математики о делимости чисел

Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

ЭРАТОСФЕН (около 275–194 до н.э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.

1.1 Что такое простые, составные числа

Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка.

Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.   Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя.

Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами.

Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 - составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т.д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.

1. «Решето» Эратосфена¹

В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N. Пусть мы хотим разыскать все простые числа, меньше 60. Запишем их в виде таблицы, зачеркнем единицу, которую математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам, а Эратосфен считал 1 простым числом. И первое из оставшихся чисел будет простым. Это- число 2. Теперь вычеркнем все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Это можно сделать просто вычеркиванием половины столбцов таблицы. Потом берем первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число - простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, теперь у нас остается – число 7 и вычеркиваем все числа, делящиеся на 7. и т.д. Числа, которые уцелели после всех вычеркиваний, и являются простыми. Действительно, числа 8,9, и 10 уже вычеркнуты; если число, больше 10, но меньше 60, раскладывается на два множителя, то хотя бы один из них меньше 10, а все числа уже вычеркнуты. Оставшиеся числа: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".

1. Деление чисел на классы пифагорейцами

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.

Выделялись классы:

Совершенные числа.²

У простых чисел всего два делителя- само число и единица, у чсила 6 делителями будут 1,2,3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа, то в этом случае снова получаем

6=1+2+3.

Есть ли еще такие числа? Есть. Например число 28.

28=1+2+4+7+14

Справа выписаны все делители этого числа, отделенные от него самого.

число равное сумме своих собственных делителей, исключая само числе древнегреческие математики называли совершенными числами.

дружественные числа³

Пифагор говорил: « Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284».

Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу. Действительно:

284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110;

220=1+2+4+71+142);

В настоящее время известно 1100 пар дружественных числе, найденных в том числе арабским ученым Ибн аль-Банны годы жизни 1256-1321 гг. (17 296 и 18 4160), а еще раньше математик Ибн Курра (836-901) Рене Декартом (1596-1650).

Фигурные числа ⁴

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три… Ксли класть их в два ряда, чтобы получились прямоугольники, мы обнаружим, что получается все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только числа простые нельзя.

А что если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камушков: два в нижнем ряду, один в верхнем, в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд появится еще одна ложбинка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если считать, что один камень- это тоже треугольник, то получится такая последовательность числе:

1,1+2=3, 1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15.

Числа 1,3,6,10,15… называют « треугольными».

«Квадратные числа» получаются при выкладывании из камушков квадратов. 1,4,9,16,25. Если выложим квадратики, то получим? Первый – один ряд из одного камушка, второй- это два ряда, каждый из двух камушков: 2*2=4; третий-три ряда по три камушка: 3*3=9. Четвертый- 4 ряда по 4 камня: 4*4=16. Неспроста про числа 2*2, 3*3,4*4 говорят: «два в квадрате», «три в квадрате», «четыре в квадрате».

1. Вклад в изучение признаков делимости чисел Блеза Паскаля

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.

Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

1. Признаки делимости чисел ⁵

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

2.1 Признак делимости на 2

На 2 (два) делятся все числа, у которых последней цифрой является 0 (ноль), 2 (два), 4 (четыре), 6 (шесть), 8 (восемь). Другими словами, если число оканчивается на ноль, два, четыре, шесть, восемь, то оно делится на два.

Например: числа 120 (сто двадцать), 52 (пятьдесят два), 274 (двести семьдесят четыре), 16 (шестнадцать), 2 098 (две тысячи девяносто восемь) делятся на 2 (два).

Числа 101 (сто один), 13 (тринадцать), 7 565 (семь тысяч пятьсот шестьдесят пять), 7 (семь), 19 (девятнадцать) не делятся на 2 (два), поскольку при делении этих чисел в остатке остается одна 1 (единица).

Если число делится на 2 (два), то его называют четным числом. Если же число не делится на 2 (два), то такое число называют нечетным. Все четные числа оканчиваются на одну из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все нечетные числа оканчиваются цифрой 1, 3, 5, 7, 9. Понятие четные и нечетные числа - одно из основных понятий математики. Примером применения четных и нечетных чисел в повседневной жизни могут служить расписания движения поездов, когда поезда отправляются только по четным или только по нечетным числам.

Вывод: Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.

2.2 Признак делимости на 3

На 3 (три) делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3 (три).

Число 159 (сто пятьдесят девять) делится на 3 (три), поскольку сумма его цифр

1 + 5 + 9 = 15

(пятнадцать) делится на 3 (три)

15 : 3 = 5

и дает в результате 5 (пять). Если разделить на 3 (три) взятое нами число

159 : 3 = 53

получится пятьдесят три.

Признак делимости на 3 (три) распространяется и на сумму цифр любого числа.

Проверим делимость на 3 числа 1 234 567 890 (один триллион двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят тысяч восемьсот девяносто). Находим сумму цифр этого числа

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45

Еще раз находим сумму цифр для числа 45 (сорок пять):

4 + 5 = 9

Число 9 (девять)делится на 3 и дает в результате число 3. Следовательно, число 1 234 567 890 делится на 3:

1 234 567 890 : 3 = 411 522 630

в результате получится четыреста одиннадцать миллионов пятьсот двадцать две тысячи шестьсот тридцать.

Рассмотрим еще один пример. Проверим делимость на 3 числа 29 443 680 100 259 (двадцать девять триллионов четыреста сорок три миллиарда шестьсот восемьдесят миллионов сто тысяч двести пятьдесят девять). Находим сумму цифр:

2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 9 = 53

Теперь находим сумму цифр числа 53 (пятьдесят три):

5 + 3 = 8

Число 8 не делится на число 3, следовательно число 29 443 680 100 259 не может быть поделено на число 3 без остатка:

29 443 680 100 259 : 3 = 9 814 560 033 419 и 2 в остатке

(девять триллионов восемьсот четырнадцать миллиардов пятьсот шестьдесят миллионов тридцать три тысячи четыреста девятнадцать и два в остатке).

Вывод: Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

2.3 Признак делимости на 4

На 4 (четыре) делятся числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 (четыре).

Пример: 724 делится на 4, т.к. 24 делится на 4.

Вывод Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.

2.4 Признак делимости на 5

Признаки делимости целых чисел: на 5 (пять) делятся числа, которые оканчиваются цифровой 0 (нуль) или 5 (пять). Число 590 (пятьсот девяносто) делится на 5 (пять), поскольку оно оканчивается на цифру 0 (ноль):

590 : 5 = 118

в результате деления получается сто восемнадцать.

Число 1 375 (тысяча триста семьдесят пять) так же делится на 5 (пять), так как оно оканчивается цифрой 5 (пять):

1 375 : 5 = 275

в математическом результате деления частное составит двести семьдесят пять.

Вывод: Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

2.5 Признак делимости на 6

На 6 (шесть) делятся числа, если одновременно соблюдаются признаки делимости на 2 (два) и на 3 (три). Другими словами, на 6 делятся все четные числа, сумма цифр которых делится на 3 (три).

Например, число 948 (девятьсот сорок восемь) делится на 6 (шесть), поскольку оно является четным и сумма его цифр делится на 3 (три):

9 + 4 + 8 = 21

Снова находим сумму цифр числа 21 (двадцать один):

2 + 1 = 3

В математике деление взятого нами числа 948 (девятьсот сорок восемь) на 6 (шесть) можно записать так:

948 : 6 = 158

в результате получается число сто пятьдесят восемь.

Вывод: Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.

2.6 Признак делимости на 7 ⁶

На 7 (семь) делятся числа, у которых разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7 (семь).

Для начала рассмотрим число 14 (четырнадцать). В этом числе 1 (один) десяток и 4 (четыре) единицы. Проверим его делимость по математическим правилам, соблюдая порядок выполнения математических действий:

1 - 4 х 2 = 1 - 8 = -7

Число -7 (минус семь) делится на 7 (семь) и дает в результате -1 (минус единицу). Следовательно, число 14 (четырнадцать) так же делится на 7 (семь):

14 : 7 = 2

в результате получается два.

Теперь рассмотрим делимость числа 21 (двадцать один). Здесь мы имеем 2 (два) десятка и 1 (одну) единицу. Проверяем делимость этого числа на 7 (семь): 2 - 1 х 2 = 2 - 2 = 0

Число 0 (нуль) делится не только на 7 (семь), но и на все числа, и дает в результате 0 (нуль). Таким образом, число 21 (двадцать один) делится на 7 (семь):

21 : 7 = 3

частное равняется трем.

Вывод: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.

2.7 Признак делимости на 8

Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

125·8=1000; 242·8=1936; 512·8=4096; 600·8=4800;

Пример: 6136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Вывод: Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

2.8 Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример: 6102 делится на 9, т.к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.

2.9 Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Пример: 720 делится на 10.

2.10 Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Пример: 100397 делится на 11, т.к. .

1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:15235 делится на 11, т.к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.

2.11 Признак делимости на 12

Признак 1 : число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Пример: 720 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4.

Признак 2 : число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 6.

П р и м е р: 840 делится на 12, т.к. число делится и на 2, и на 6.

2.12 Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда:

- когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84+ 5*4 = 104 и 10+4*4=26.

- когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39.

2.13 Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример: 420 делится на 14, т.к. число делится и на 2, и на 7.

2.14 Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример: 420 делится на 15, т.к. число делится и на 2, и на 5.

2.15 Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17).

Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике.

Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17

например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15, поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17.

2.16 Признак делимости на 18

Признак 1 : число делится на 18 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 9.

Пример: 432 делится на 18, т.к. число делится и на 2, и на 9.

Признак 2 : число делится на 18 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 6.

П р и м е р : 954 делится на 18, т.к. число делится и на 3, и на 6.

2.17 Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример: 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

2.18 Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример: 640 делится на 20, т.к. 40 делится на 20.

2.19 Признак делимости на 21

Число делится на 21 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 7.

Пример: 231 делится на 21, т.к. число делится и на 3, и на 7.

1. Признак делимости на 22

Число делится на 22 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 11.

Пример: 352 делится на 22, т.к. число делится и на 2, и на 11.

2.21 Признак делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Пример: 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Пример: 391 делится на 23, так как делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Пример: 391 делится на 23, так как делится на 23.

2.22 Признак делимости на 24

Признак 1: число делится на 24 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 8.

Пример: 8136 делится на 24, т.к. число делится и на 3, и на 8.

Признак 2: число делится на 24 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 4, и на 6.

П р и м е р: 9324 делится на 24, т.к. число делится и на 4, и на 6.

2.23 Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 175делится на 25, т.к. 75 делится на 25.

Для удобства пользования, признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 представлены в таблице. Кроме этих признаков делимости чисел, существуют признаки делимости и на другие числа. Примеры проверки делимости целых чисел с применением правил, приведенных в таблице делимости чисел, находятся под таблицей делимости чисел.

Признаки делимости чисел.

делитель	Признак
2	Оканчивается одной из цифр: 0,2,4,6,8
3	Сумма цифр делится на 3
4	Две последние цифры нули или образуют число делящееся на 4
5	Последняя цифра 0 или 5
6	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 2 и 3
7	Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7
8	Три последние цифры 0 или образуют число делящееся на 8
9	Сумма цифр делится на 9
10	Последняя цифра 0
11	Модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
12	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 3 и 4.
13	Сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
14	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 2 и 7.
15	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 3 и 5.
17	Разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17.
18	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 2 и 9
19	Число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
20	Последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
21	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 3 и 7.
22	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 2 и 11.
23	Число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
24	Одновременно наблюдаются признаки делимости на 3 и 8.
25	Две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

3. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение.

3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2.

Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение.

Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.

Ответ: 17.

Задача № 3

Определить

Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:

7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3 (15 : 3=5 ).

Задача № 4

Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:

4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3 (24 : 3=8 ).

Задача № 5

Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр:

3+ 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка (17 : 3=523 ).

Задача № 6

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

Решение.

Используем признак делимости на 11.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 7

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Решение

Только на 7.

Ответ 167, 257, 347, 527.

Задача № 8

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 9

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 10.

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Решение

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2доллара, и у него останется 498 долларов.

Заключение

При разработке данной темы, я выяснил, что При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления.

Собранный и систематизированный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, На уроках математики можно использовать его при изучении данной темы. Рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят улучшить знания по математике.

Выводы исследования

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания можно использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий

Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

В реальной жизни тоже используют признаки делимости. Например, в банковском деле, также можно применять знания при денежных расчетах в магазине.

Список используемой литературы

1. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»

2. Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989

3. Я.И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»

4. Б.А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам» 7. 5. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — (Популярные лекции по математике).

6. А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова.,Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. Москва 1996, АСТ.

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/3

8. htpp: // www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm  

Приложение

1. Задано число 42. Напишите все его делители.

2. Задано число 45. Напишите все его делители.

3. Задано число 64. Напишите все его делители.

4. Заданы числа: 2, 3, 5, 12, 18, 20, 22. Выберите делители числа 640.

5. Заданы числа: 1, 6, 8, 10, 16, 20. Выберите делители числа 320.

6. Выпишите все числа от 1 до 99, которые кратны 3 и 6.

9. Выпишите четыре числа, которые кратны числу 35.

10. Выделите простые и составные числа: 81, 16, 160, 310, 191, 345.

11. Задано число 47. Напишите все его делители.

12. Заданы числа: 345; 5395; 59510; 3639; 6390; 594; 495; 5689.

- Выпишите числа, которые делятся на 2.

- Выпишите числа, которые делятся на 3.

- Выпишите числа, которые делятся на 5.

13. Разложите следующие числа на простые множители: а) 30; 46; 82; 96; 240;

б) 239; 125; 324; 515; 693;

в) 4982; 3495; 5866; 9384.

1 Детская энциклопедия «Я познаю мир» Математика стр. 79

2 Детская энциклопедия « Я познаю мир» Математика стр.50.

3 Детская энциклопедия « Я познаю мир» Математика Стр. 52

4 Детская энциклопедия « Я познаю мир» Математика Стр. 42.

5 Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд.

6 Детская энциклопедия « Я познаю мир» Математика стр. 89.