"Признаки возрастания и убывания функции"

Урок по теме «Признаки возрастания и убывания функции»

является пятым уроком раздела «Производная». При изучении данного раздела закрепляются знания учащихся о производной, показывают широкий спектр применения производной.

Урок относится к урокам обобщения и систематизации знаний и способов деятельности.

Цель данного урока: совершенствование умений нахождения производных, показать широкий спектр применения производной; формирование умений по применению знаний и способов действий, изменённых в новых учебных ситуациях; развитие подсознательной активности учащихся; навыков самостоятельной поисковой работы; формирование у учащихся понятий о научной организации труда; умений по рецензированию собственных ответов и ответов одноклассников.

Предлагаемый урок – урок-поиск, где главная роль отводится исследованию на основе сравнения и анализа изучаемого материала. Такой подход стимулирует умственную работу школьников.

Урок овладения новыми знаниями самостоятельно, предполагает формирование специальных математических навыков и применение их в комплексе при выполнении различных задач.

Урок отмечает научность, доступность и посильность изучаемого материала. Рационально и эффективно распределено время урока, оптимальна смена видов деятельности: устный счет предназначен актуализировать знания, необходимые для выполнения следующих заданий, и обеспечить подготовку к решению задач, сочетание которых основано на принципе градации - от простых примеров к сложным заданиям.

На уроке предполагается, наряду с фронтальной, организация взаимоопроса и индивидуальной работ.

Комплекс вышеперечисленных методических средств, приемов, уровень сложности предлагаемых заданий рассчитан на школьников как освоивших обязательные стандарты знаний, так и для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«"Признаки возрастания и убывания функции" »

Тема: Признаки возрастания и убывания функции.

Учитель математики: Уркумбаева Гульнар Муханбетжановна

КГУ «Береговая средняя школа отдела образования акимата Тарановского района»

Образование высшее, стаж 15 лет, категория – первая.

111703 Костанайская область

Тарановский район

с. Береговое

улица Комсомольская 25

Рабочий телефон – 87143628518, beregovay10@.rambler.ru,

сотовый 87777597645

Класс: 10

Девиз урока «Просто знать - ещё не всё, знания нужно использовать»

Гете

Цели урока:

общеобразовательные:

Совершенствование умений нахождения производных; ввести признак возрастания, убывания функции и показать его применение при решении заданий;
Закрепить и углубить знания учащихся о производной;

3) Показать широкий спектр применения производной;

4) Формирование умений по применению знаний и способов действий изменённых в

новых учебных ситуациях;

развивающие:

развитие подсознательной активности учащихся;
развитие навыков самостоятельной поисковой работы.

воспитательные:

формирование у учащихся понятий о научной организации труда;
формирование умений по рецензированию собственных ответов и ответов одноклассников.

Тип урока: урок совершенствования, усвоения и закрепления знаний.

Формы учебной работы:

индивидуальная;
индивидуально-коллективная (групповая, парная).

Оборудование:

компьютер, презентация;
рабочая карта урока;
оценочный лист.

Вопросы, подлежащие обсуждению на уроке:

Признаки возрастания и убывания функции;
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции с помощью производной.

План урока

Организационный момент.
Постановка цели.
Повторение опорных знаний (диктант с проверкой).
Обобщение и систематизация знаний.
Творческое применение знаний, умений и навыков (самостоятельная работа).
Рефлексия.
Домашнее задание.
Подведение итогов.

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие. (слайд 1)

Здравствуйте! Я очень рада всех вас видеть, надеюсь, что это взаимно. И в доказательство этого, давайте улыбнёмся друг другу и начнём урок.

Отгадайте ключевое слово урока (слайд 2)

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй,… ;
4) Обозначается штрихом.

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

Фронтальный опрос учащихся. (слайд 3).

( работа в парах, с последующей взаимопроверкой).

а) Дать понятие приращения аргумента.

Ответ: Разность значений аргумента в точке х.

б) Сформулируйте определение функции в точке;

Ответ: Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

в) В чём состоит механический смысл производной?

Ответ: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀x'(t). = (t)

г) В чём состоит геометрический смысл производной?

Ответ: значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). k = tg = f '(x₀).

2) Решение заданий. (слайд 4)

Установить соответствие между функциями и соответствующими им производными. (Учащиеся записывают в тетрадь ответ в виде пары, где на первом месте стоит цифра-номер функции, а на втором – буква соответствующая этой функции производная)

f(x)	f´(x)
1. y= хⁿ	A. y´= C
2. y= cos x	B. y´= cos x
3. y= sin x	C. y´= -(1/x²)
4. y= 1/x	D. y´= nx^n-1
5. y= Cx	E. y´= -sin x

Ответ: 1 – D, 2 – Е, 3 – В, 4 – С, 5 – А. (слайд 5)

Учащиеся самостоятельно проверяют правильность своих решений и выставляют оценку в свой оценочный лист.

3. Математическая разминка. (слайд 6)

Учащиеся выполняют задания. Ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква». Записывают только буквы, из которых получаются фамилии учёных.

Задания: найдите y'(x) или y'(x₀).

I вариант II вариант

y = 5x² + 4, x₀= 6 Н 1. y = 0,5x² – 6x + 1/5 Л
y = 15cosx + 3 Ь 2. y = 11 + 8sinx Е
y = -0,5x² + 6x + 17 Ю 3. y = 2√x + 4x, x₀ = 9 Й
y = 1/x + 2√x Т 4. y = 4/x – √x Б
y = 2x + cosx О 5. y = 7,9 + 2x², x₀ = 0 Н
y = 60x + 4,8 Н 6. y = sinx – cosx, x₀ = 0 И
y = 3,5x² – 12, x₀ = 1/7 И 7. y = cosx + 2sinx, x₀ = 0 Ц

Ответы:

Б: -4/х² -1/(2√х)

И: 1

Л: х – 6

О: 2 – sinх

Ц: 2

Ю: -x + 6

Е: 8соsх

Й: 4,3

Н: 60

Т: -1/х² + 1/√х

Ь: -15sinx

4. Историческая справка.

(Краткий рассказ двух учащихся о жизни этих ученых и их вкладе в изучение математического анализа (учащиеся сами находят информацию, работая с дополнительной литературой и другими информационными ресурсами)).

Вывод: Эти учёные одновременно разработали основы математического анализа; если Ньютон исходил из задач механики, то Лейбниц – из геометрических задач.

(слайд 7) Весь мир его узнал по изданным трудам,

Был даже край родной с ним вынужден считаться,

Уроки мудрости давал он мудрецам,

Он был мудрее их: умел он сомневаться.

Вольтер «Надпись к портрету Лейбница»

Готфрид Лейбниц Исаак Ньютон

(1646 – 1716) (1643 – 1727)

5. Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций). (слайды 8-9)

Изучение нового материала.

Работа в группе: (создать критерии: аккуратность, математическая речь, научность….). (слайды 10,11,12)

1.Определите шаги последовательного решения, рассмотрев пример:

Пример. f (x)=3х²-12х

1. D (y): определена при любом х

2. f '(x)=( 3х²-12х) '=6х-12

3. f '(x) 0

6х-12 0

6х 12

х 2

f '(x) - + х

f (x) 2

Ответ: функция возрастает (-∞;2]

функция убывает: [2;+∞)

График: f (x)=3х²-12х

у



0	2	4
			х

2.Составь и усвой алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Найти область определения функции;
Найти производную функции;
Решить неравенство f '(x) 0 или f '(x)
Используя утверждения теоремы, найти промежутки возрастания и убывания функции.

3.Вспомни изученную информацию, и заполни пропуски в решении.

Пример: Найдем промежутки возрастания и убывания функции f (x)=(1/3)х³-4х+2

1. D (y): определена при любом х

2. f '(x)=(( 1/3)х³-4х+2) '=

3. f '(x) 0

х²-4 0

(х-2)(х+2) 0

х₁=____; х₂=____

+ - +

f '(x) х

f (x) -2 2

Ответ: функция возрастает:

функция убывает:

4. Сделайте вывод:

Вывод:

Достаточный признак возрастания функции: Если f '(x) 0 в каждой точке интервала У, то функция f возрастает на У.
Достаточный признак убывания функции: Если f '(x) f убывает на У.

6.Руководствуясь алгоритмом нахождения промежутков возрастания и убывания функции решите задания из учебника / у доски/.

1 группа № 258,

2 группа №261.

7 .Самостоятельная работа

Карточка №1.

Найдите силу, действующую на тело массой 7 кг, движущееся по закону s(t) = 4t² – 5t + 3 в момент времени t = 2с.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2х³-3х²-12х-1

Карточка №2.

Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q = 3t² + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t =3.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)= 3х³-3х²+х-6

Карточка №3.

Точка движется прямолинейно по закону х(t) =5t³+3. Найдите скорость движения при t=4(время измеряется в секундах, координата в метрах).

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

f(x)= 3х³-6х²+4х-7

Карточка №4.

Точка движется прямолинейно по закону х(t) =4t²-15t⁴. Найдите скорость движения при t=2 (время измеряется в секундах, координата в метрах).

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

f(x)= х³-7х²+16х-7

8.Дополнительная работа

1) f(x) = 2x – 3
2) f(x) = 3x⁴ – 7x³ + 2x² + р
3) f(x) = x³ + v2
4) f(x) = (3 – 4x)²
5) f(x) = (х3 –2x)²
6) f(x) = (1 + 2х)(1 – 2х)
7) f(x) = 2 sinx
8) f(x) = –1/3 cos (3x + р/4)
9) f(x) = ctg (2 – 5x)
10) f(x) = 2x³ – 3sin3x

1) f'(x) = 12x³ – 21x² + 4x
2) f'(x) = – 8(3 – 4x)
3) f'(x) = – 8x
4) f'(x) = 2
5) f'(x) = 2(3x² – 2) (x³ – 2x)
6) f'(x) = sin (3x + р/4)
7) f'(x) = 5/ sin²(2 – 5x)
8) f'(x) = 6x² – 9cos 3x
9) f(x) = 2 cosx
10) f'(x) = 3x²

РЕФЛЕКСИЯ

Продолжите фразу:

«Сегодня на уроке я узнала…»

«Сегодня на уроке я научилась…»

«Сегодня на уроке я повторила…»

«Сегодня на уроке я закрепила…»

Что мне понравилось на уроке?

Какие проблемы испытывала на уроке?

Итог урока и оценивание учащихся.

Д/з: §17 № 263

Приложение №1

Технологическая карта для учащихся:

1.Теория

а) дать понятие приращения аргумента.

б) сформулируйте определение функции в точке;

в) в чём состоит механический смысл производной?

г) в чём состоит геометрический смысл производной?

1
Итого «Оценка»
-___; 2-___; 3-___; 4-____; итого____

1-___; 2-___; 3-___; 4-____; итого____

1-___; 2-___; 3-___; 4-____; итого____

1-___; 2-___; 3-___; 4-____; итого____

2.Установите соответствие:

f(x)

f´(x)

1. y= хⁿ

A. y´= C

2. y= cos x

B. y´= cos x

3. y= sin x

C. y´= -(1/x²)

4. y= 1/x

D. y´= nx^n-1

5. y= Cx

E. y´= -sin x

Итого «Оценка»

Ответ: 1 –___, 2 –___, 3 –___, 4 – ___, 5 – ____.

/за каждый правильный ответ 1 балл/

Математическая разминка./Выполняется в тетрадях/

I вариант II вариант

1.y = 5x² + 4, x₀= 6 1. y = 0,5x² – 6x + 1/5

2. y = 15cosx + 3 2. y = 11 + 8sinx

3. y = -0,5x² + 6x + 17 3. y = 2√x + 4x, x₀ = 9

4. y = 1/x + 2√x 4. y = 4/x – √x

5. y = 2x + cosx 5. y = 7,9 + 2x², x₀ = 0

6. y = 60x + 4,8 6. y = sinx – cosx, x₀ = 0

7.y = 3,5x² – 12, x₀ = 1/7 7. y = cosx + 2sinx, x₀ = 0

Ответы:

Б: -4/х² -1/(2√х)

Е: 8соsх

И: 1

Й: 4,3

Л: х – 6

Н: 60

О: 2 – sinх

Т: -1/х² + 1/√х

Ц: 2

Ь: -15sinx

Ю: -x + 6

Ключевые слова

1 вариант

2 вариант

2. . Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций).

Самостоятельная работа:

Карточка №1.

Найдите силу, действующую на тело массой 7 кг, движущееся по закону s(t) = 4t² – 5t + 3 в момент времени t = 2с.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2х³-3х²-12х-1

Карточка №2.

Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q = 3t² + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t =3.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)= 3х³-3х²+х-6

Карточка №3.

Точка движется прямолинейно по закону х(t) =5t³+3. Найдите скорость движения при t=4(время измеряется в секундах, координата в метрах).

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)= 3х³-6х²+4х-7

Карточка №4.

Точка движется прямолинейно по закону х(t) =4t²-15t⁴. Найдите скорость движения при t=2 (время измеряется в секундах, координата в метрах).

Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x)= х³-7х²+16х-7

Приложение №2

Работа в группе: (создать критерии) /аккуратность, математическая речь, правильность…./.

1.Определите шаги последовательного решения, рассмотрев пример:

Пример. f (x)=3х²-12х

у

0

2

4

х

1. D (y): определена при любом х

2. f '(x)=( 3х²-12х) '=6х-12

3. f '(x) 0

6х-12 0

6х-12 0

6х 12

х 2

4.

f '(x) - +

х

f (x) 2

График: f (x)=3х²-12х

Ответ: функция возрастает (-∞;2]

функция убывает: [2;+∞)

2.Составь и усвой алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

4)

3.Вспомни изученную информацию, и заполни пропуски в решении.

Пример: Найдем промежутки возрастания и убывания функции f (x)=(1/3)х³-4х+2

1. D (y): определена при любом х

2. f '(x)=(( 1/3)х³-4х+2) '=

3. f '(x) 0

х²-4 0

(х-2)(х ) 0

х- _ 0; х+2 0

х₁=____; х₂=____

+ - +

f '(x) х

f (x) -2 2

Ответ: функция возрастает:

функция убывает:

4. Сделайте вывод:

Вывод:

1.