конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции".
Конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции".
Урок по алгебре и началам анализа по теме:
"Признаки возрастания и убывания функции".
Цели урока: Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
Воспитание культуры труда общения, навыков самоконтроля, взаимоконтроля и взаимопомощи; формирование познавательного интереса.
Задачи урока:
Образовательная:
организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;
Развивающая:содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;
Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки знаний.
Учащиеся должны :
знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Достаточное условие возрастания и убывания функции, алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.
уметь: находить промежутки монотонности, по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции
Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона и слова Ломоносова:
“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила”.
“Примеры учат больше, чем теория”.
Наша основная цель сегодня на уроке узнать, как связан график функции с графиком ее производной и научиться решать задачи двух видов:
по графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;
по схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции.
Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности.
Итак, запишем тему сегодняшнего урока:
Признаки возрастания и убывания функции.
2. Небольшой исторический экскурс.
Историческая справка. (сообщения двух учащихся).
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.
Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. …Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».
Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ?, ?.
Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии» - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.
К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.
Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
3. Решение тренировочных упражнений ( слайд 10).
4. Изучение новой темы : Признаки возрастания и убывания функции.Слайды (11-18)
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f'(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Порядок нахождения промежутков монотонности:
Найти область определения функции.
Найти первую производную функции.
Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.
Найти промежутки монотонности функций.
Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.
Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .
Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.
1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x).
3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки. 7. Записать ответ.
Закрепление нового материала. (слайды 19-23)
А)Найдите соответствие:
Слушаю – забываю.
Смотрю – запоминаю.
Делаю – понимаю. ( Конфуций )
Б) Я хочу решить у доски: f(х)= х²-6х+5
В) Я хочу решить самостоятельно: f(х)= х³-х²-х-2
Г)Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.
а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9; б) у = 3 х² — 5х + 4.
Д) Двое учащихся работают у доски.
а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40 б) у = х4 - 2 х³
7.Самостоятельная работа ( по группам ) (слайд 24)
Группа А № 258 (г) Группа В № 261(б) Группа С № 263 (а)
8. Творческое задание (Слайд 25)
Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.
Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.
К высотам познанья!
За кручей обрыв!
Дороги орлам незнакомы.
Пройдет человек лишь,
Но прежде открыв
Природы и чисел законы.
Искателей истин судьба нелегка,
Но тень их достанет в веках облака.
И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.
На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению?
Спасибо за урок. Всего вам доброго.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции". »
Қостанай қаласының академиялық лицейі
Академический лицей города Костанай
Открытый урок
по алгебре и началам анализа
в 10 классе по теме:
«Признаки возрастания и убывания функции».
Выполнила: учитель математики Лебедь И.П.
г.Костанай 2014.
Урок по алгебре и началам анализа по теме:
"Признаки возрастания и убывания функции".
Цели урока: Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
Воспитание культуры труда общения, навыков самоконтроля, взаимоконтроля и взаимопомощи; формирование познавательного интереса.
Задачи урока:
Образовательная:
организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;
Развивающая:
содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;
Воспитательные:
формировать логическое, системное мышление;
формировать ответственность, организованность;
способствовать укреплению здоровья.
Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки знаний.
Учащиеся должны :
знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Достаточное условие возрастания и убывания функции, алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.
уметь: находить промежутки монотонности, по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции
Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона и слова Ломоносова:
“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила”.
“Примеры учат больше, чем теория”.
Наша основная цель сегодня на уроке узнать, как связан график функции с графиком ее производной и научиться решать задачи двух видов:
по графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;
по схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции.
Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности.
Итак, запишем тему сегодняшнего урока:
Признаки возрастания и убывания функции.
2. Небольшой исторический экскурс.
Историческая справка. (сообщения двух учащихся).
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.
Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. …Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».
Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ẋ, ẏ.
Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии» - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.
К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.
Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
3. Решение тренировочных упражнений ( слайд 10).
4. Изучение новой темы : Признаки возрастания и убывания функции.Слайды (11-18)
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f'(x) 0, то функция в этом интервале возрастает. Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x)
Порядок нахождения промежутков монотонности:
Найти область определения функции.
Найти первую производную функции.
Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.
Найти промежутки монотонности функций.
Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.
Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .
Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.
1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x).
3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки. 7. Записать ответ.
Закрепление нового материала. (слайды 19-23)
А)Найдите соответствие:
Слушаю – забываю.
Смотрю – запоминаю.
Делаю – понимаю. ( Конфуций )
Б) Я хочу решить у доски: f(х)= х²-6х+5
В) Я хочу решить самостоятельно: f(х)= х³-х²-х-2
Г)Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.
а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9; б) у = 3 х² — 5х + 4.
Д) Двое учащихся работают у доски.
а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40б) у = х4 - 2 х³
7.Самостоятельная работа ( по группам ) (слайд 24)
Группа А № 258 (г) Группа В № 261(б) Группа С № 263 (а)
8. Творческое задание (Слайд 25)
Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.
Я – функция сложная, это известно, Ещё расскажу, если вам интересно, Что точку разрыва и корень имею, И есть интервал, где расти не посмею. Во всём остальном положительна, право, И это, конечно, не ради забавы. Для чисел больших я стремлюсь к единице. Найдите меня среди прочих в таблице.
Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.
К высотам познанья!
За кручей обрыв!
Дороги орлам незнакомы.
Пройдет человек лишь,
Но прежде открыв
Природы и чисел законы.
Искателей истин судьба нелегка,
Но тень их достанет в веках облака.
И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.
На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению?
