kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции".

Нажмите, чтобы узнать подробности

                                  Урок по алгебре и началам  анализа по теме:

                                  "Признаки возрастания и убывания функции".

Цели урока: Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитание культуры труда общения, навыков самоконтроля, взаимоконтроля и взаимопомощи; формирование познавательного интереса.

Задачи урока:

Образовательная:

организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;

Развивающая:содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;

Воспитательные:формировать логическое, системное мышление;

формировать ответственность, организованность;способствовать укреплению здоровья.

Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки  знаний.

Учащиеся должны :

знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Достаточное  условие возрастания и убывания функции, алгоритм нахождения  возрастания и убывания функции.

уметь: находить промежутки монотонности, по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции

Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер, презентация к уроку, учебник « Алгебра» 10 класс. А.Е.Абылкасымова.

Ход урока:

1. Организационный момент .

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций.

Откройте тетради, запишите число, классная работа. ( слайд 1-9)

Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона и слова Ломоносова:

             “При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила”.

                                                  “Примеры учат больше, чем теория”.

Наша основная цель сегодня на уроке  узнать, как связан график функции с графиком ее производной и научиться решать задачи двух видов:

по графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

по схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции.

Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока:

Признаки возрастания и убывания функции.

2. Небольшой исторический экскурс.

                 Историческая справка. (сообщения двух учащихся).

В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.

Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. …Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».

Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми  каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ?, ?.

Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии»  - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.

К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.

  Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

 

3. Решение тренировочных  упражнений  ( слайд 10).

4.  Изучение новой темы : Признаки возрастания и убывания функции. Слайды (11-18)

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.    
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Порядок нахождения промежутков монотонности:

  • Найти область определения функции.
  • Найти первую производную функции.
  • Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.
  • Найти промежутки монотонности функций.
  • Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .

Рассмотрим несколько примеров  исследования функции на возрастание и убывание.

1. Найти Д(f).      2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Применить признаки.  7. Записать ответ.

Закрепление нового материала. (слайды 19-23)

А)Найдите соответствие:

Слушаю – забываю.

Смотрю – запоминаю.

Делаю – понимаю.         ( Конфуций )                                    

 Б)  Я хочу решить у доски:            f(х)= х²-6х+5

В) Я хочу решить самостоятельно:  f(х)= х³-х²-х-2

Г)Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;     б) у = 3 х² — 5х + 4.

Д) Двое учащихся  работают у доски.  

 а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40    б) у =  х4  -  2 х³

 

7.Самостоятельная работа ( по группам ) (слайд 24)

Группа  А    № 258 (г)      Группа  В    № 261(б)     Группа  С    № 263 (а)

8.  Творческое задание      (Слайд 25)

Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

 

 

 

 9. Домашнее задание :   п19,   №261(а,в,г)   № 263(б)   (слайд 26)

10 .Рефлексия и итог урока.  (Слайд 27-30)

Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.

К высотам познанья!

За кручей обрыв!

Дороги орлам незнакомы.

Пройдет человек лишь,

Но прежде открыв

Природы и чисел законы.

Искателей истин судьба нелегка,

Но тень их достанет в веках облака.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.

На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению? 

Спасибо за урок. Всего вам доброго. 

Просмотр содержимого документа
«конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции". »

Қостанай қаласының академиялық лицейі

Академический лицей города Костанай









Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме:


«Признаки возрастания и убывания функции».



Выполнила: учитель математики Лебедь И.П.

г.Костанай 2014.

Урок по алгебре и началам анализа по теме:

"Признаки возрастания и убывания функции".

Цели урока: Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитание культуры труда общения, навыков самоконтроля, взаимоконтроля и взаимопомощи; формирование познавательного интереса.

Задачи урока:

Образовательная:

организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;

Развивающая:

содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;

Воспитательные:

формировать логическое, системное мышление;

формировать ответственность, организованность;

способствовать укреплению здоровья.

Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки знаний.

Учащиеся должны :

знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Достаточное условие возрастания и убывания функции, алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.

уметь: находить промежутки монотонности, по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции

Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер, презентация к уроку, учебник « Алгебра» 10 класс. А.Е.Абылкасымова.

Ход урока:

1. Организационный момент .

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций.

Откройте тетради, запишите число, классная работа. ( слайд 1-9)

Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ньютона и слова Ломоносова:

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила”.

Примеры учат больше, чем теория”.

Наша основная цель сегодня на уроке узнать, как связан график функции с графиком ее производной и научиться решать задачи двух видов:

по графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

по схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции.

Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности.


Итак, запишем тему сегодняшнего урока:

Признаки возрастания и убывания функции.

2. Небольшой исторический экскурс.

Историческая справка. (сообщения двух учащихся).

В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.

Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. …Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».

Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ẋ, ẏ.

Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии» - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.

К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.

Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.


3. Решение тренировочных упражнений ( слайд 10).

4. Изучение новой темы : Признаки возрастания и убывания функции. Слайды (11-18)

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) 0,  то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x)

Порядок нахождения промежутков монотонности:

  • Найти область определения функции.

  • Найти первую производную функции.

  • Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

  • Найти промежутки монотонности функций.

  • Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .

Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.

1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Применить признаки. 7. Записать ответ.



Закрепление нового материала. (слайды 19-23)

А)Найдите соответствие:

Слушаю – забываю.

Смотрю – запоминаю.

Делаю – понимаю. ( Конфуций )

Б) Я хочу решить у доски: f(х)= х²-6х+5

В) Я хочу решить самостоятельно: f(х)= х³-х²-х-2

Г)Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9; б) у = 3 х² — 5х + 4.

Д) Двое учащихся работают у доски.

а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40 б) у = х4 - 2 х³


7.Самостоятельная работа ( по группам ) (слайд 24)

Группа А № 258 (г) Группа В № 261(б) Группа С № 263 (а)


8. Творческое задание (Слайд 25)

Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
















9. Домашнее задание : п19, №261(а,в,г) № 263(б) (слайд 26)

10 .Рефлексия и итог урока. (Слайд 27-30)

Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.

К высотам познанья!

За кручей обрыв!

Дороги орлам незнакомы.

Пройдет человек лишь,

Но прежде открыв

Природы и чисел законы.

Искателей истин судьба нелегка,

Но тень их достанет в веках облака.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.

На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению?

Спасибо за урок. Всего вам доброго.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
конспект урока математики по теме "Признаки возрастания и убывания функции".

Автор: Лебедь Ирина Петровна

Дата: 04.10.2014

Номер свидетельства: 116382

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства