Применение обратных тригонометрических функций

Таранова И.А.--учитель

математики, высшей категории,

МОУ СОШ №2 г. Гулькевичи.

Урок разноуровневого повторения по теме:

« Применение обратных тригонометрических функций».

Цель урока. Обобщить знания учащихся по темам «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа» и «Решение простейших тригонометрических уравнений». Отработать решение простейших тригонометрических уравнений. Организовать работу учащихся по указанным темам уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

I этап урока- организационный (1 минута)

Учитель сообщает тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться тот материал, который находится на партах.

II этап урока

Повторение теоретического материала по темам «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа» и «Решение простейших тригонометрических уравнений» (7 минут)

1.Математический диктант (устно) (слайды-1) по графикам.

2.Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Дайте определение арксинуса числа а».

Учащиеся дают определение.

Определение. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка

, синус которого равен а.

Учитель: «Сформулируйте свойство нечетности».

Учащиеся: arcsin (-а)=-arcsin а.

Учитель обращается к учащимся с вопросом : «Дайте определение арккосинуса числа а и сформулируйте свойство четности».

Учащиеся дают определение.

Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка
,косинус которого равен а.

ar ccos (-а)=π-arccos а.

Учитель обращается к учащимся с вопросом : «Дайте определение арктангенса числа и сформулируйте свойство нечетности».

Учащиеся дают определение.

Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (), тангенс которого равен а.

arctg (-а)=-arctg а.

Учитель обращается к учащимся с вопросом : «Дайте определение арктангенса числа а и сформулируйте свойство четности».

Учащиеся дают определение.

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен а.

arcctg (-а)=π-arcctg а.

Комментарии. После этого учитель вывешивает на доску таблицу ( слайд 2).

arcsin а	Если ≤1, то arcsinа=t 	arcsin (-а)=-arcsin а.
arсcos а	Если ≤1, то arccos а=t 	ar ccos (-а)=π-arccos а.
arctg а	arctg а=t 	arctg (-а)=-arctg а.
arcctg а	arcctg а=t 	arcctg (-а)=π-arcctg а.

№1.Вычислить значения обратных тригонометрических величин (слайд 3).

а)arcsin	б)arccos	в)arctg	г)arcctg
д)2arcsin1	е)-3arccos0	ж)arctg1	з)-4arcctg0
и)arcsin(-)	к)arccos(- )	л)arctg(- 1)	м)arcctg(- )
н)arcsin(cos)	о)arccos (sin )	п) arctg(cos π)	р)arcctg( sin)

Далее учитель просить перечислить формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

Учащиеся формулируют:

Если ≤1, то уравнение sin t=а имеет решение t=arcsinа + πn, n € Ζ.

Частные случаи решения тригонометрических уравнений:

1.sin t=1, то t= +2 πn, n € Ζ

2.sin t=- 1, то t=- +2 πn, n € Ζ

3.sin t=0 ,то t= πn, n € Ζ

Если ≤1, то уравнение cos t=а имеет решение t=arccos а+2 πn, n € Ζ.

Частные случаи решения тригонометрических уравнений:

1.cos t=1, то t=2 πn, n € Ζ.

2.cos t=- 1, то t=π+2 πn, n € Ζ

3.cos t=0 ,то t= +πn, n € Ζ

Уравнение tg t=а имеет решения t=arctg а + πn, n € Ζ.

Уравнение ctg t=а имеет решение t=arcctg а + πn, n € Ζ

Возможный вариант таблицы: (слайд 4)

Если ≤1, то уравнение sin t=а имеет решение t=arcsinа + πn, n € Ζ
sin t=1, то t= +2 πn, n € Ζ	sin t=- 1, то t=- +2 πn, n € Ζ	sin t=0 ,то t= πn, n € Ζ
Если ≤1, то уравнение cos t=а имеет решение t=arccos а+2 πn, n € Ζ
cos t=1, то t=2 πn, n € Ζ.	cos t=- 1, то t=π+2 πn, n € Ζ	cos t=0 ,то t= +πn, n € Ζ
Уравнение tg t=а имеет решения t=arctg а + πn, n € Ζ.
Уравнение ctg t=а имеет решение t=arcctg а + πn, n € Ζ

IIIэтап (30 минут).Разноуровневая работа учащихся.

Учащиеся разбиты на группы по уровню сформированных знаний. Каждая группа выполняет свой вид работы.

Сильная группа (красная карточка №1,№2)-выполняют по вариантам самостоятельную работу (в тетрадях для с/р).

Средняя группа (зеленые карточки№1,№2)-выполняют по вариантам тесты(в экзаменационных бланках).

Слабая группа( желтые карточки) –работают у доски и в рабочих тетрадях с учителем.

Красная карточка№1(с/р) Красная карточка№2(с/р)

Решите уравнения. Решите уравнения.

1. 3tg х- =0. 1. 2cos х+ =0.

2. cos ( +х)- sin( π –х)=1. 2.2х -2х=1.

3. 2 sin3х cos3х=0. 3. sin(2π-х)-cos ( +х)=- 1.

4. 3х + tg х=0. 4. 2х - tg х=0.

5. 5.

Зеленая карт.№1(тесты) Зеленая карт.№2(тесты)

Решите уравнения.

1. sin( х +)=0. 1. cos ( -х)=0.

1)+ πn, n € Ζ; 2) +2 πn, n € Ζ; 1)+ πn, n € Ζ; 2) 2 πn, n € Ζ;

3) 2 πn, n € Ζ; 4)π+2 πn, n € Ζ; 3) πn, n € Ζ; 4) π+2 πn, n € Ζ;

2. 2cos =1. 2. 2sinх = - .

1)+ 2 πn, n € Ζ; 2)+ 2 πn, n € Ζ; 1)+ πn, n € Ζ; 2)+ πn,

3)+ 2 πn, n € Ζ; 4)+ 4πn, n € Ζ; 3)+2 πn, n € Ζ; 4)+ 2 πn, n € Ζ;

3. tg =1. 3. ctg 2х =0.

1) + πn, n € Ζ; 2)π + 4πn, n € Ζ; 1)+ πn, n € Ζ; 2) π+2 πn, n € Ζ;

3) π + 2πn, n € Ζ; 4) 4πn, n € Ζ; 3) + πn, n € Ζ; 4) , n € Ζ;

4. sin 5х= - . 4. cos 3х =- .

1) + , n € Ζ; 2) + , n € Ζ; 1) + , n € Ζ; 2) + ,n€Ζ 3) , n € Ζ; 4)+ 2 πn,

3) + , n € Ζ; 4) + πn, n € Ζ;

5. cos х-х =х. 5. sin х -х =х.

1)+2 πn, n € Ζ; 2) 2 πn, n € Ζ; 1)+2 πn, n € Ζ; 2) 2 πn, n € Ζ;

3) πn, n € Ζ; 4)+ πn, n € Ζ; 3) πn, n € Ζ; 4)+ πn, n € Ζ;

Ответы. Зеленая карточка № 1.

№1	№2	№3	№4	№5
1	4	2	1	2

Ответы. Зеленая карточка № 2.

№1	№2	№3	№4	№5
3	2	3	2	1

Затем физминутка (слайды №5 об осени) (учащиеся в это время пересаживаются на другой вид работы).

Сильная группа (красная карточка №3,№4)-выполняют по вариантам тесты (в экзаменационных бланках).

Средняя группа (зеленые карточки) - работают у доски и в рабочих тетрадях с учителем.

Слабая группа ( желтые карточки №1,№2)-выполняют по вариантам самостоятельную работу(в тетрадях для с/р).

Красная карточка №3(тесты) Красная карточка№4(тесты)

Решите уравнения.

1. х - х = - . 1. 2sinх cosх =.

1) πn, n € Ζ; 2)+2 πn, n € Ζ; 1) + πn, n € Ζ; 2) +, n € Ζ;

3) +2 πn, n € Ζ; 4) + πn, n € Ζ; 3) +πn, n € Ζ; 4) +2 πn, n € Ζ;

2.cos( π +х) = sin . 2.х - х = 1.

1) + πn, n € Ζ; 2)2 πn, n € Ζ; 1)πn, n € Ζ; 2) +πn, n € Ζ;

3) π+2 πn, n € Ζ; 4)+πn, n € Ζ; +2 πn, n € Ζ; 3) +2 πn, n € Ζ; 4) + , n € Ζ;

3. cos х-х =х. 3. sin х -х =х.

1)+2 πn, n € Ζ; 2) 2 πn, n € Ζ; 1)+2 πn, n € Ζ; 2) 2 πn, n € Ζ;

3) πn, n € Ζ; 4)+ πn, n € Ζ; 3) πn, n € Ζ; 4)+ πn, n € Ζ;

4. 2sin + =0. 4. 2 sin + =0.

1)+3 πn, n € Ζ; 2)π+6 πn, n € Ζ; 1) +2n, n € Ζ; 2) +2 πn, n € Ζ;

3) +6 πn, n € Ζ; 4)π+3πn, n € Ζ; 3) + πn, n € Ζ; 4) +2n, n € Ζ;

5. tg х + =0. 5. ctgх + =0.

1) +πn, n € Ζ; 2)- +πn, n € Ζ; 1) +πn, n € Ζ; 2) +πn, n € Ζ;

3) +2 πn, n € Ζ; 4) -π+2 πn, n € Ζ; 3)4) +2 πn, n € Ζ.

Ответы. Красная карточка № 3.

№1	№2	№3	№4	№5
4	3	2	4	2

Ответы. Красная карточка № 4.

№1	№2	№3	№4	№5
2	1	1	4	3

Желтая карточка №1(с/р). Желтая карточка №2(с/р).

Решите уравнения.

1. sinх =. 1. sinх =.

2.tg 4х =. 2.ctg5х =1.

3.cos х =- . 3.cosх = - .

4. cos =0. 4. cos = 1.

5. ctg( х- )= 1. 5.tg(х + ) = 1.

Затем опять физминутка (слайды №6 о зиме) (учащиеся в это время пересаживаются на другой вид работы).

Сильная группа (красная карточка) - работают у доски и в рабочих тетрадях с учителем.

Средняя группа (зеленые карточки №3,№4)- выполняют по вариантам самостоятельную работу (в тетрадях для с/р).

Слабая группа (желтые карточки №3,№4)- выполняют по вариантам тесты (в экзаменационных бланках).

Зеленая карточка №3(с/р) Зеленая карточка №4 (с/р)

1. 3tg х - =0. 1. 2cos х + =0.

2.4cos 6х = - 2. 2.3tg 4х = -.

3. cos ( -х)- sin( π +х)=1. 3. sin(2π-х)-cos ( +х)=- 1.

4. 2 sin 3х cos 3х=0. 4. 2х -2х=1.

5. sin ( - ) = 1. 5. sin (2х - ) + 1 = 0.

Желтая карточка №3(тесты) Желтая карточка №4(тесты)

1.cos х = . 1.sin х = .

1) +πn, n € Ζ; 2) + πn, n € Ζ; 1) + πn, n € Ζ; 2) + πn, n € Ζ;

3) +πn, n € Ζ; 4) +2πn, n € Ζ; 3)+ πn, n € Ζ; 4) + 2πn, n € Ζ;

2.ctg х = . 2.ctg х =1.

1) + πn, n € Ζ; 2) +πn, n € Ζ; 1) + πn, n € Ζ; 2) + πn, n € Ζ;

3) +2πn, n € Ζ; 4) + πn, n € Ζ; 3) + πn, n € Ζ; 4) + 2πn, n € Ζ;

3.cos х + = 0. 3.sin = 0.

1) +2πn, n € Ζ; 2)- + 2πn, n € Ζ; 1) +πn, n € Ζ; 2)+ πn, n € Ζ

3)- +2πn, n € Ζ; 4) +πn, n € Ζ; 3)- + 2πn, n € Ζ 4)+ πn, n € Ζ

4.tg 2 х = . 4.ctg 3х = .

1) + πn, n € Ζ; 2) +0,5πn, n € Ζ; 1) + , n € Ζ ; 2) + πn, n € Ζ;

3) + πn, n € Ζ; 4) +0,5πn, n € Ζ; 3)+ , n € Ζ ; 4) +πn, n € Ζ;

5.2sin х =1. 5.2 cos х =1.

1) +2πn, n € Ζ; 2) +πn, n € Ζ; 1) +2πn, n € Ζ; 2) +2πn, n € Ζ;

3) +2πn, n € Ζ; 4) +πn, n € Ζ; 3)+ 2πn, n € Ζ; 4)+ πn, n € Ζ;

Ответы. Желтая карточка №3:

№1	№2	№3	№4	№5
4	1	1	2	2

Ответы. Желтая карточка №4:

№1	№2	№3	№4	№5
3	2	2	1	3

Задания для всех групп для работы с учителем.

Для слабой группы.

1.sin х = . 6.cos х = -

2.сos х = 7.tg х = - 1.

3.tg х=1. 8.cos х – 2 = 0.

4.ctg х = - 1. 9.sin 2х = - 1.

5.sin х = - 10.cos 3х =0.

Для средней группы.

1.Укажите ближайший к нулю корень уравнения: 2 sin х = 1.

1. sin2 х = 1.

3.cos =0.

4.tg х + 2 =0.

5.tg ( - 3х )= 1.

6.Найдите наименьший положительный корень уравнения в градусах: sin( π –х) -cos ( +х) =- 1.

7. ctg (х -)= .

8.3х -3х=.

9.tg ( 3х + ) = 1.

10.sin 5πх – 1,5 = 0.

Для сильной группы.

1.ctg( - )= 0. 4.2 sin4х cos4х = 0.

5.2cossin (х - ) = - .

2.3tg - = 0. 6. sin( π –х) -cos ( +х) =.

3. – 2 cos ( - х) =

7.

8. 2х - tg х=0.

9.Укажите ближайший к π корень уравнения: sin х = .

10.Найти решения уравнения tg = на отрезке .

IV этап урока ( 2 минуты)

Подведение итогов урока, домашнее задание.

Комментарии. Учитель комментирует выставленные на уроке оценки. В качестве домашнего задания учащиеся получают:

1.Теоретическая часть - повторить обратные тригонометрические величины, формулы корней тригонометрических уравнений.

2.Практическая часть - учащиеся получают индивидуальную карточку, согласно уровню сложности.