«Применение метода координат к решению задач»

Этап урока, цель

Содержание и ход урока

I Этап: организационный

Цель. Подготовить учащихся к работе на уроке, создать комфортную атмосферу для их деятельности.

- Доброе утро. Рада вас видеть и работать с вами. Как всегда желаю вам хорошего настроения, успехов во всех ваших добрых и полезных делах.

Дежурные, пожалуйста, подайте информацию об отсутствующих на листочке.

Откройте тетради, запишите число. Урок начнем красивыми стихами известного поэта Ф. Тютчева:

Небесный свод, горящий славой,
Таинственно глядит из глубины,
И мы плывем, пылающею бездной
Со всех сторон окружены.

- О чем идет речь?

- О звездах в пространстве.

- Конечно, о звездах. А как выглядят для нас звезды, если наблюдать за ними с земли?

- Это точки, имеющие свое местоположение в пространстве.

- Другими словами, точка задана координатами.

И в нашем случае, с одной стороны – геометрия с ее фигурами и телами, а с другой – алгебраические вычисления. Как это все соединить воедино? А поможет решить эту проблему метод известного французского математика и философа Рене Декарта, который позволяет решать геометрические задачи алгебраическим способом.

II. Целеполагание.

Цель. Подготовить учащихся к содержанию урока, раскрывая его цели.

Поэтому, тема урока: «Применение метода координат в пространстве к решению задач».

В прошлом году для нахождения угла между прямой и плоскостью, между прямыми, между плоскостями, для нахождения расстояния между объектами мы использовали геометрические определения. Сегодня, используя уже полученные теоретические знания по теме: «Метод координат в пространстве», мы постараемся закрепить на уроке, а также применить их на более высоком уровне к решению задач части С 2.

Задачи на нахождение геометрических элементов – один из самый сложных разделов школьного курса математики, а сборник для подготовки к ЕГЭ содержит задачи, с начиная с части «В». Данное противоречие порождает проблему:

Как в сложившейся ситуации успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике?

- Материал урока пригодится вам как на итоговой государственной аттестации в школе, так и при дальнейшем вашем обучении в ВУЗе. Поэтому работать нам придется сообща, помогая друг другу, выслушивая друг друга, а также учитывать мнение каждого. Всё это требует от вас выдержки, терпения и уважения.

- Вы не задумывались, почему маленькие дети часто ломают игрушки? Они их не ломают, они пытаются выяснить: почему едет машинка, и почему кукла говорит «мама». Они пытаются понять: как все устроено. Вот и нам сегодня предстоит ответить на проблемный вопрос: как применить метод координат к решению геометрических задач. Чтобы до конца понять и осмыслить задачу, нужно разобраться в том, как она устроена. Для этого необходимо освоить технологию составления данных задач.

III. Актуализация опорных знаний. Работа с доской. Проверка дом. задания.

1. Установить правильность и осознанность освоения учащимися материала урока.

2. Закрепить полученные на предыдущих уроках ЗУН посредством выполнения заданий на доске.

Начнем нашу работу с проверки домашнего задания.

а) решение задачи (у доски) – карточка № 1 - 1 человек

б) математический диктант (остальные)

«Найди пару»

Взаимопроверка – по вариантам

Этап проверки и закрепления ЗУН.

Цель:

Отработать при решении задач формулы нахождения уравнения плоскости и расстояния от точки до плоскости

Лежит ли точка М(0;4;-2) на плоскости, проходящей через точки:

Предложите варианты решения данной задачи

• написать, используя формулу нахождения уравнения плоскости, уравнения плоскости

• а) подставить координаты точки М в полученное уравнение

б)использовать формулу нахождения расстояния от точки до плоскости

Работа ведется в группах:

(SAD): x-y+z - √2/2= 0 – группа № 1 и № 3

(BA₁C₁): x+y+z-2=0 группа № 1 и № 2

(BA₁D₁): x-y-z-=0 группа № 3 и № 4

Этап совершенствования ЗУН.

Цель:

Применить полученные знания к более сложным задачам

А можно ли алгоритм решения задачи применить для решения более сложной задачи?

Задача № 1

АВСDA₁В₁С₁D₁ - куб с ребром, равным 1. Найти расстояние от Р до плоскости (ВА₁D₁)

(Разобрать данную задачу устно, предложив оформление задачи на дом).

Задача № 2

Используя условия задачи «карточка № 1» (из домашнего задания), найдем

а) угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины AS и ВС.

б) угол между прямыми МК и SB.

-Проблема?! Давайте постараемся решить ее, разбив на несколько этапов. Ваши варианты.

• можно ввести прямоугольную систему координат, начала отсчета которой будет совпадать с центром основания пирамиды, точка В будет лежать на оси Ох, а ось Оу пройдет параллельно стороне АС, OS будет лежать на оси Оz;

• введем координаты точек A, B,C,S;

• вычислим координаты точек М, K, используя формулы середины отрезка;

• применяя формулы нахождения угла между плоскостью и прямой, а также угла между прямыми, можно ответить на поставленные в задаче вопросы.

Решение задачи (оформление)

- Решая задачу на нахождение угла между прямой и плоскостью, первоначально получаем синус угла. Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что в задачах такого типа, решая геометрическим способом, вычисляют тангенс угла. Ответ получается более красивый.

Какие тригонометрические формулы помогут нам ответить на поставленный вопрос?

• основное тригонометрическое тождество

• определение тангенса угла через отношения синуса угла к косинуса угла.

Ответ. (ABC)^M K = arctg 21/40

SB^M K = = arccos29/√2049

Молодцы! Вы очень хорошо поработали. И перед следующим этапом урока мы сделаем зарядку для глаз, выполнив упражнение «Стрельба глазами»: мальчики стреляют в девочек, а девочки в мальчиков. При этом можно поворачиваться в разные стороны. Постарайтесь попасть не менее 10 раз.

Задача № 3

В правильной четырехугольной пирамиде SABCД с основанием АВСД, все ребра которого равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно ВД.

Разбор алгоритма решения задачи № 3

- Подумайте и ответьте на следующие вопросы (работа в группах)

1)Как рациональнее ввести прямоугольную систему координат в задаче?

• начало отсчета провести через точку пересечения диагоналей, А будет лежать на оси Оx, В - на оси Оу, S - на оси Oz.

2) через какие точки пройдет плоскость, проходящая через точку А, перпендикулярно ВД?

• (SAD)

3) Как задается уравнение плоскости, если она проходит через точки, в которых одна из соответствующих координат равна 0?

• например, если плоскость проходит через точки, абсциссы которых равны нулю, то Х=0 – искомое уравнение плоскости

• если плоскость проходит через точки, ординаты которых равны нулю, то У=0 – искомое уравнение плоскости

• если плоскость проходит через точки, аппликаты которых равны нулю, то Z=0 – искомое уравнение плоскости

3) Дайте полный алгоритм решения задачи.

• введем прямоугольную систему координат, тогда точки S, A, B,C,D будут иметь координаты:

S(0;0;√2/2), А(√2/2; 0; 0), В(0; √2/2; 0), С(- √2/2; 0;0), Д (0; - √2/2; 0)

Уравнение плоскости(SAD) уже вычислили в начале урока:

(SAD): x-y+z - √2/2= 0

• так как плоскость(SAС) проходит через точки, ординаты которых равны 0, то у=0 – искомое уравнение плоскости (SAС)

• =вычислим по формуле

cos (SAС)^ (SAD)= 1/√3;

• sin (SAС)^ (SAD)= √1- cos² (SAС)^ (SAD)

Ответ. sin (SAС)^ (SAD)= √2/3

Информация о домашнем задании и подведении итогов. (3 мин)

Цель. Определить домашнее задание. Дать общую характеристику работы класса. Показать степень успешности в овладении содержанием урока. Оценить деятельность учащихся на уроке.

-Наш урок подошел к завершению. Пришло время записать домашнее задание и подвести итоги.

Домашнее задание. № 1, №2, №6. (приложение 2)

- Над какой темой мы работали на уроке?

• применение метода координат к решению задач.

( таблицу заполняет руководитель группы, опрашивая участников)

Оценка деятельности учащихся

А сейчас расслабьтесь. После такого плодотворного урока, вспомните что-нибудь приятное и представьте, что вам подарили шикарный подарок! С такой приятной улыбкой мы заканчиваем урок.

Всем спасибо. Всего хорошего!