Применение метода координат к решению задач

Геометрия в 11 классе
Ковтун В.В.учитель математики
Московский район Санкт-Петербург

Тема урока: Применение метода координат к решению задач

Цель урока: - познакомить учащихся с новым методом решения геометрических задач; - научить применять теоретические знания на практике; - вырабатывать умения применять метод координат при решении задач; - закрепить полученные знания.

Задачи урока:

- развивать логическое и пространственное мышление. - развивать мыслительные процессы, способствующие нахождению правильного решения; - формировать навыки аргументированной речи

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Тип урока: урок изучения нового материала с применением информационных технологий. Этапы урока.

1.Организационный момент.

2.Проверка выполнения домашнего задания.

3.Проверка усвоения ранее изученного теоретического материала.

4.Закрепление знаний.

5.Самостоятельная работа.

6.Подведение итогов.

7.Рефлексия.

8. Домашнее задание. Комментарии.

Организационный момент.

Приветствие, объявление темы и целей урока.

- Сегодня на уроке мы рассмотрим и научимся применять новый способ решения геометрических задач. Решим задачи при помощи метода координат, будем совершенствовать навыки решения задач, проведем небольшую самостоятельную работу. Проверка выполнения домашнего задания. Проверка письменного домашнего задания.

Дома учащиеся должны были решить задачи №450 и №451 (а, б), выучить теоретические положения пунктов 50, 51, 52 и решить одну задачу на повторение.

Письменное задание проверяем у доски. В это время производится теоретический опрос.

1.Теоретический опрос.

а) Дать определение скалярного произведения векторов.

б) Что собой характеризует скалярное произведение векторов. Ответ: Скалярное произведение характеризует затраченную работу по перемещению данного объекта. в) Привести примеры. Ответ: Движение яхты галсами против ветра. Картина Ильи Ефимовича Репина «Бурлаки на волге». На доске мы видим движение яхты под парусом. Явно видно, что направление ветра и направление движения отличаются. Соответственно работа, затрачиваемая, на перемещение яхты и её скорость будут меньше. Если бы ветер был попутный, то есть направление ветра совпадало бы с направление движения, то угол между направлениями равнялся нулю, а косинус нуля равен единице тогда бы работа и скорость были бы максимальные. Аналогичные рассуждения приводим в комментариях к картине Ильи Ефимовича Репина «Бурлаки на волге». Мы видим, что направление движения баржи и направление силы, которую прикладывают бурлаки, отличается на некоторый угол.

г) Определить координаты точек А, В, С, Д, Е,F на рис.1, если ОВ=5,ОF=7, ОС=3. Дать пояснения.

Предполагаемый ответ: Точки С, В , F лежат на осях координат, следовательно две координаты каждой точки равны нулю. С(0;0;3)- точка лежит на оси аппликат, значит абсцисса и ордината равны нулю. В(0;5;0), F(7;0;0). Точки Е, Д, М лежат в плоскостях СОВ, СОF, ВОF и являются серединами диагоналей прямоугольников, следовательно одна из координат будет равна нулю. Находим координаты середины отрезков, которые равны полусумме соответствующих координат его концов. Е(0; 2,5; 1,5) - точка лежит в плоскости

Z O Y, значит абсцисса равна нулю. Д(3,5; 2,5; 0), М (3; 0;1,5)

д) Как найти координаты вектора. (Найти координаты векторов ОА и FЕ). Ответ координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца. А координаты произвольного вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Следовательно, координаты вектора - - . ОА {7;5;3}, а координаты вектора FE {-7;2,5 ;1,5},

е) Как найти длину отрезка. (Найти длину АВ). Ответ по формуле нахождения расстояния между двумя точками.

АВ² =(0-7)² +(5-5)² +(0-3)² = АВ=

ж) Как найти угол между прямыми. (Найти угол между прямыми ВС и ВF). Ответ: необходимо ввести направляющие векторы заданных прямых, найти их координаты и подставить в формулу , где а₁,а₂,а₃- абсцисса, ордината и аппликата направляющего вектора а, в₁.в₂,в₃ - абсцисса, ордината и аппликата направляющего вектора в. Найдём координаты векторов ВС и ВF. - - . ВС {0;-5;3}, BF {7;-5;0}, подставим в формулу cos α =

cos α = = α=аrccos

е) Как найти координаты середины отрезка. Ответ: координаты середины отрезка находятся по формуле: z=

Дома необходимо было решить задачу: В прямоугольном параллелепипеде А-Д₁ , АД=1, ДС=3, высота равна . Найти угол между прямыми В₁ Д и АВ. (рис2)

Предполагаемое решение: прямые В₁ Д и АВ - скрещивающиеся. Что бы найти угол между скрещивающимися прямыми необходимо через выбранную точку плоскости провести прямые параллельные данным скрещивающимся прямым (или выбрать точку на одной из прямых и провести прямую параллельную другой прямой). Так как прямые АВ и СД параллельны, следовательно, угол СДВ ₁ является искомым. (рис3) Рассмотрим треугольник СДВ₁ , он прямоугольный (СД ^ СВ по теореме о 3-х перпендикулярах, Т.К. СД ^ ВС = СД ^СВ₁ ) = cos α = , Д В²₁ = СД² +СВ²₁ +ДВ²_{1. = Д} В²₁ = 12, ДВ₁= , cos α = , cos α = , cos α = = α=30⁰

=

А теперь мы решим данную задачу при помощи метода координат. Для этого расположим параллелепипед в прямоугольной системе координат таким образом, что бы точка В совпадала с началом координат, а рёбра АВ, ВС и ВВ₁ лежали на осях ОХ, ОY и ОZ соответственно (рис4). Найдём координаты точек В_1, Д, А, В.

В₁ (0;0; Д(3;1;0), А(3;0;0) , В(0;0;0) . Найдём координаты векторов В₁ Д и АВ.

- - . В₁ Д {3;1;-}, АВ {-3;0;0}. Подставляем в формулу полученные значения.

cos α = cos α = cos α = , α=150⁰ . Так как за угол между скрещивающимися прямыми мы берём наименьший, следовательно,

искомый угол равен 30⁰.

Запишем алгоритм

1. Располагаем геометрическую фигуру в прямоугольной системе координат

2. Находим координаты соответствующих точек (исходя из условия задачи)

3. Вводим векторы

4. Находим координаты соответствующих векторов

5. По формулам вычисляем или длину отрезка или косинус угла.

Самостоятельная работа

Проводится в 2-х вариантах на отдельных листочках. Учащиеся записывают только решение задач. Затем осуществляется самопроверка работы. Рисунки и решения представлены на интерактивной доске.

I вариант: В основании пирамиды DАВС лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В и катетами равными 4 и 8 см. Ребро DВ перпендикулярно основанию и равно 10 см. Точка М середина АС. Найти угол между прямыми DМ и АВ.

2 вариант: В основании пирамиды КМNE лежит прямоугольный треугольник МNE с прямым углом Е и катетами 2 и 4 см. Ребро КЕ перпендикулярно основанию и равно 8 см. Точка В середина ребра КМ. Найти угол между прямыми ВN и ЕМ.

2 вариант

1. Расположим пирамиду в системе координат таким образом, что бы вершина прямого угла треугольника совпадала с началом координат.

2. Так как ребро КЕ перпендикулярно основанию, а Е-прямой угол, следовательно, точка К будет лежать на оси ОZ, а вершины М и N на осях ОХ и ОY

3. Определяем координаты вершин К (0;0;8), М(0;4;0), Е(2;0;0)

4.По формуле находим координаты точки В, В(0;2;4)

5.Находим координаты векторов ВN и ЕМ. - - . ВN {2;-2;-4}, ЕМ{0;4;0}.

6. Подставляем в формулу полученные значения.

cos α = cos α = cos α = , α=п- arccos

7.Ответ: угол между прямыми ВN и ЕМ равен п - arccos

1 вариант

1. Расположим пирамиду в системе координат таким образом, что бы вершина прямого угла треугольника совпадала с началом координат.

2. Так как ребро DB перпендикулярно основанию, а B-прямой угол, следовательно, точка D будет лежать на оси ОZ, а вершины A и C на осях ОХ и ОY

3. Определяем координаты вершин D (0;0;10), C(0;4;0), A(8;0;0)

4.По формуле находим координаты точки M, M(4;2;0)

5.Находим координаты векторов DM и BA. - - . DM {4; 2;-10}, BA{8;0;0}.

6. Подставляем в формулу полученные значения.

cos α = cos α = cos α = , α= arccos

7.Ответ: угол между прямыми DM и AB равен arccos

Подведение итогов.

Краткая характеристика урока. Выставление оценок.

Рефлексия.

Что нового вы узнали на уроке?

Что произвело впечатление?

Какие эмоции и что их вызвало?

Пожелания, претензии.

Домашнее задание.

Инструктаж по выполнению домашнего задания.

№467 (а), №471.

Откройте учебники и прочитайте домашние задачи.

Ответить на вопросы учащихся.

На этом на урок окончен. До свидания.