Преобразование графиков тригонометрических функций

Учитель: Руцынская Наталья Викторовна

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Класс: 10

Учебник: «Алгебра, 10-11» авторы: А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др., 2003г.

Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций»

Тип урока: урок формирования новых знаний

Форма урока: урок-практикум с использованием ИКТ.

Цель: формирование практических умений и навыков при построении и преобразовании графиков функций на основе ранее изученных функций y=sinx и y=cosx; обеспечить максимальную наглядность изучения данной темы использования компьютерных технологий на уроках математики.

Задачи:

Образовательные: использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функций в конкретных ситуациях, изучить виды изменений графиков функций при преобразованиях (в зависимости от коэффициентов); применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления; показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики; расширение и углубление знаний учащихся по данной теме; формировать навыки создание условий для самостоятельной и творческой работы учащихся.

Развивающие: продолжать развивать логическое мышление и пространственное воображение, умение применять полученные знания на практике, при решении задач, навыки творческого подхода к решению задач; применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями тригонометрических функций; развивать познавательный интерес учащихся, умение анализировать, сравнивать, выделять главное, приводить примеры.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, к изучаемой теме, обеспечить устойчивую мотивационную среду; прививать культуру поведения на уроке, способствовать формированию у учащихся ответственного отношения к учению; продолжать воспитывать у учащихся коммуникативные навыки, внимание, аккуратность (при оформлении заданий) и эстетичность (при работе со слайдами).

Методическая: показать технологию проведения урока - практикума с использованием ИКТ.

Технологии:

• технология интерактивного обучения;

• проблемно-исследовательская;

• информационно - коммуникационная.

Методы и приёмы обучения:

• методы словесной передачи и слухового восприятия информации (пр. беседа);

• методы наглядной передачи и зрительного восприятия информации (приёмы: наблюдение, демонстрация);

• метод передачи информации с помощью практической деятельности;

• частично - поисковые и исследовательские методы (практическая деятельность в парах);

• метод стимулирования и мотивации (приёмы: сообщение дополнительных сведений, исторических фактов, создание ситуации взаимопомощи);

• методы контроля и самоконтроля (приёмы: фронтальный опрос, практическая и самостоятельная работа).

Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная

Урок выполняет следующие функции:

• расширение кругозора учащихся, сообщение новых сведений по данной теме;

• использование межпредметных связей.

Оборудование: компьютерный класс, локальная сеть, мультимедийный проектор, презентация, выполненная в приложении Microsoft Office PowerPoint 2007, компьютерная программа для построения графиков функций Trigon, рабочие листы двух видов: с теоритической частью (правила построения и преобразования графиков функций) и с практической частью (дифференцированная практическая работа).

Место урока в теме, разделе: тема «Преобразование графиков тригонометрических функций» включена в главу «Тригонометрические функции». На изучение темы отводится 10 ч., данный урок 5-й.

План урока:

1. Организационный момент. Целеполагание и мотивация.

2. Актуализация имеющихся знаний и умений.

3. Объяснение нового материала.

4. Практическая исследовательская работа на компьютерах в программе для построения графиков тригонометрических функций Trigon .

5. Итог урока.

Ход урока

Пристальное, глубокое изучение

природы есть источник самых

плодотворных открытий математики.

Жан Батист Жозеф Фурье

(сл.2 )

1. Организационный момент. Целеполагание и мотивация.

2. Актуализация имеющихся знаний и умений.

Мы изучили тему «Графики тригонометрических функций y=cosx, y=sinx.

Слово «синус» произошло от латинского sinus («перегиб»), которое, в свою очередь, происходит от арабского слова «джива» («тетива лука»). Слово «косинус» – сокращение словосочетания complementi sinus («синус дополнения»), объясняющего тот факт, что cosα равен синусу угла, дополняющего угол α до _, т.е. cosα = sin(_). Латинское слово tangens переводится как «касательная» («касательная к окружности»).

(сл.3 )

Давайте вспомним основные свойства данных функций y=cosx, y=sinx.

(ФО. На слайде изображены графики функций y=cosx, y=sinx. Учащиеся отвечают на вопросы, поставленные учителем).

(сл.4,5,6 )

1. Объяснение нового материала.

Постановка проблемного вопроса.

Сгруппируйте функции на группы по какому-нибудь признаку:

y = cos(x + 2);

y = cos2x;

y = sin2x;

y = sinx + 2;

y = 1/3sinx;

y = 4 – cosx;

y = sin(x – 5);

y = 2cos(4x-8);

y = cos1/3x;

y = cosx + 0,5;

y = – 3cosx;

y = 2sinx;

Группы можно сформировать следующим образом:

• по изменению аргумента: y = cos(x + 2); y = cos2x; y = sin2x; y = sin(x – 5); y = cos1/3x;

• по изменению функции: y = sinx + 2; y = 1/3sinx; y = 4 – cosx; y = cosx + 0,5;

y = – 3cosx; y = 2sinx;

• по изменению и аргумента и функции: y = 2cos(4x-8).

(Для исследовательской работы класс разделен на пары. Каждой паре выдается две карточки с заданиями.

1 задание исследовательской работы

«Виды преобразований графиков функций»

У всех на столах находятся карточки с таблицей (Прил. 1), которую вы должны заполнить: вписать виды преобразований графиков функций, вписать формулы задающие каждое преобразование, указать в системе координат направления движения при преобразовании.

(Учитель объясняет тему урока, а учащиеся заполняют карточки)

(сл.7-23 )

4. Практическая, исследовательская работа на компьютерах с элементами самопроверки.

2 задание: Постройте с помощью программы Trigon графики функций, исследуйте данные функции и укажите их свойства.

(Задания в Прил. 2 для 1 и 2 вариантов)

5. Итог урока

На основе полученных результатов сделать соответствующие выводы о преобразованиях графиков тригонометрических функций y = cosx и y = sinx на координатной плоскости в зависимости от изменения значения аргумента и значения функции.

3

Ф.И. учащегося ______________________________________

Класс ____________

Ф.И. учащегося ______________________________________

Класс ____________

Ф.И. учащихся _____________________________________

_____________________________________

Класс ____________

I вариант

Ф.И. учащихся _____________________________________

_____________________________________

Класс ____________

II вариант

ПРОЕКТ УРОКА

МВСОШ при ФГУ ИК -3

Учитель математики Руцынская Наталья Викторовна

Преобразования графиков тригонометрических функций y=sinx и y=cosx

Подготовила учитель математики

I категории

Н.В. Руцынская

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики. Жан Батист Жозеф Фурье

«Синус»

(от латинского sinus - «перегиб», которое, в свою очередь, происходит от арабского слова «джива» - «тетива лука» )

«Косинус»

(сокращение словосочетания complementi sinus - «синус дополнения»)

«Тангенс»

(от латинского tangens - «касательная», «касательная к окружности»)

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке

p

y = = cosx

y = sinx

y = sin(x+ )

2

p  3,14

y

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

2

2

0

2

2

2

2

x

-1

4

Свойства функции y= sin(x)

y

1

x

-1

4

Свойства функции y=cos(x)

y

1

x

-1

4

Виды преобразований графиков функций y = sinx и y = cosx:

• Параллельный перенос вдоль оси Oy; Параллельный перенос вдоль оси Ox; Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Oy; Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Ox; Пример построения графика сложной функции.
• Параллельный перенос вдоль оси Oy;
• Параллельный перенос вдоль оси Ox;
• Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Oy;
• Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Ox;
• Пример построения графика сложной функции.

4

Логуновой Л.В. - учитель математики МОУ "Курлекская СОШ"

4

1. Параллельный перенос вдоль оси Oy

Для построения графика функции y=f(x)+b, где b - const надо:

• если b  0, то перенести график функции y=f(x) параллельно на b отрезков вверх вдоль оси Oy ;
• если b  0, то перенести график функции y=f(x) параллельно на b отрезков вниз вдоль оси Oy .

4

0 y=f(x) 0 x b 4 4" width="640"

y

y=f(x)+b

b0

y=f(x)

0

x

b

4

4

Построить график функций:

y

y=cosx

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

1

1,5

-2π

-π

2π

π

2

2

0

2

2

2

2

x

2

-1

y=f(x)+b

10

2. Параллельный перенос вдоль оси Ox

Для построения графика функции y=f(x-a) надо:

• если a  0, то перенести график функции y=f(x) вправо на а отрезков вдоль оси Ox ;
• если a  0, то перенести график функции y=f(x) влево на а отрезков вдоль оси Ox .

10

y

y=f(x - а)

а  0

y=f(x)

0

x

а  0

10

Построить график функции:

y=f(x-a)

3)

2)

p - три клетки

1)

y

1

1

p

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

2

x

2

2

0

2

2

2

2

-1

13

Построить графики функций:

p - три клетки

y

=

cos

y

x

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

2

2

0

2

2

2

2

x

p

5 p

3

6

-1

14

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке:

y

4

=

y

sin

x

3

p

+

y

=

x

sin(

)

4

2

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

x

2

0

2

2

2

2

2

-1

-2

-3

-4

15

3. Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Oy

Для построения графика функции y=k  f(x) надо:

• если k  0, то растянуть график функции y=f(x) в k раз вдоль оси Oy ;
• если 0  k  1, то сжать график функции y=f(x) в k раз вдоль оси Oy .

15

=

y

1,5 cos x

y

1

O

I I I I I I I

x

-1

17

17

y

1

=

cos

y

x

2

1

O

I I I I I I I

x

-1

Как быстро сделать цветные формулы описано в ресурсе «Меню команд. Диалоговые панели».

18

18

y

x

-1

1

I I I I I I I

O

=

3,5 cos x

y

=

y

2 cos x

y= cos x

19

19

y

=

y

2 cos x

1

O

I I I I I I I

x

-1

=

0,5 cos x

y

20

20

4. Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси Ox

Для построения графика функции y=f(x/k) надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси Ox.

20

=

y

cos 2 x

y

1

O

I I I I I I I

x

-1

Как быстро сделать цветные формулы описано в ресурсе «Меню команд. Диалоговые панели».

22

22

y

=

y

cos 4 x

1

O

I I I I I I I

x

-1

23

23

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = cosx :

а) на отрезке

p - шесть клеток

y наиб.

y

1

p

- p

3p

2π

π

2

2

0

2

x

p

6

y наим.

-1

Ответ.

24

Назовите функции, графики которых

изображены на рисунке:

y

4

y=cosx+2

3

y= cos x

2

+2

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

x

2

0

2

2

2

2

2

-1

-2

-3

-4

25

Назовите функции, графики которых изображены на рисунке:

y

4

3

2

2p

y

cos(

x

+

=

)+3

3

1

p

- p

5p

- 3p

3p

- 5p

-2π

-π

2π

π

x

2

0

2

2

2

2

2

-1

x

y

cos

=

-2

-3

-4

26

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = cosx:

а) на отрезке

в) на луче

p - шесть клеток

y наиб.

y

1

- p

p

3p

2π

π

2

2

0

2

x

y наим.

p

3 p

2 p

2 p

p

p

3

3

6

6

3

3

-1

Ответ.

27

Практическая работа

• Задания выполняются в программе Trigon ;
• Максимальная оценка 5 баллов.

27

Постройте график функции и определите D(f), E(f) и T:

1 вариант

2 вариант

1. у = - 4cos x

1. у =7cos х

1) [-1; 1] 2) [ -4; 0]

1) (-∞; ∞) 2) [ 0; 7]

3) [-1; 1] 4) [-7; 7]

3) [-4; 4] 4) (-∞; ∞)

2. у =cos 2x

1) [-1/2; 1/2] 2) [ 0; 2]

3) [-2; 2] 4) [-1; 1]

2. y = 9sin х

1) [-1; 1] 2) [ 8;10]

3) [-9; 9] 4) [0; 9]

3. y = 7sin2 x

1) [-7; 7] 2) (-∞; ∞)

3) [-3,5; 3,5] 4) [- 2/7; 2/7]

3. y = sin x – 2

1) [ -3; -1] 2) (-∞; ∞)

3) [-1; 1] 4) [-3; 0]

4. y = - 1/5sin 2x

1) [-1; 1] 2) [ -2/5; 2/5]

3) [-1/5; 1/5] 4) (-1; 1)

4. y = 3sin x/2 – 4

1) [-1,5; 1,5] 2) [ -3; 3]

3) (-3; 3) 4) [-1; 1]

5. y = 3sin x +2

5. у = cos x + 3

1) [ -3; 5] 2) [2; 5]

1) [ 0; 4] 2) [-1; 1]

3) [ -1; 5] 4) [-3; 3]

3) [ 2; 4] 4) [0; 3]

27

Проверьте результат:

2 вариант

1 вариант

1. у = - 4cos x

1. у =7cos х

1) (-∞; ∞) 2) [ 0; 7]

1) [-1; 1] 2) [ -4; 0]

3) [-1; 1] 4) [-7; 7]

3) [-4; 4] 4) (-∞; ∞)

2. у = cos 2x

1) [-1/2; 1/2] 2) [ 0; 2]

3) [-2; 2] 4) [-1; 1]

2. y = 9sin х

1) [-1; 1] 2) [ 8;10]

3) [-9; 9] 4) [0; 9]

3. y = 7sin2 x

1) [-7; 7] 2) (-∞; ∞)

3) [-3,5; 3,5] 4) [- 2/7; 2/7]

3. y = sin x – 2

1) [ -3; -1] 2) (-∞; ∞)

3) [-1; 1] 4) [-3; 0]

4. y = - 1/5sin 2x

1) [-1; 1] 2) [ -2/5; 2/5]

3) [-1/5; 1/5] 4) (-1; 1)

4. y = 3sin x/2 – 4

1) [-1,5; 1,5] 2) [ -3; 3]

3) (-3; 3) 4) [-7; -1]

5. y = 3sin x +2

5. у = cos x + 3

1) [ -3; 5] 2) [2; 5]

1) [ 0; 4] 2) [-1; 1]

3) [ -1; 5] 4) [-3; 3]

3) [ 2; 4] 4) [0; 3]

27