Приближенное значение величины

Практическое занятие № 1

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Цель: Определение абсолютной и относительной погрешностей, применение правила округления и записи приближенных чисел.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Одним из самых основных понятий в математике является число.

Натуральные числа:  .

Целые числа:  .

Рациональные числа: Q = { m/n, где m – целое число, а n – натуральное}. 
Рациональные числа - это бесконечные периодические десятичные дроби.

Иррациональные числа – это числа, не представимые в виде обыкновенной дроби, т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби. Например: π = 3,1416…, е = 2,7182…;   =1,4142…

Все эти числа называют действительными числами – R.

    Определение модуля числа:  .

    Основное свойство дроби:  .
    Основное свойство пропорции:  .

    Определение процента: 1% - это 1/100 часть числа.

Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

Величина е_х, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число для которого справедливо неравенство

Число называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности е_х этого числа.

Неравенство позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ_Х= 5,2, ВГ_Х = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ_Х и ВГ_Х,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки е_х к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

Формула позволяет при необходимости выражать абсо­лютную погрешность через относительную:

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Образцы решения

Пример 1: Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10^-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

Пример 2: Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14| по формуле связи получаем таким образом

Задание: Найти относительную погрешность приближения числа.

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Разобрать решенные примеры по теме.

3. Оформить решение задач в тетради.

Вариант 1

1. Найти абсолютную погрешность приближения числа 3,9 числом 4.

2. Записать оценку величины n в виде двойного неравенства, если n = 0,385 0,001.

3. Округлить число 734,256 до десятых.

4. Найти относительную погрешность приближения числа числом 0,14.

5. Записать число 0,00018 в стандартном виде.

6. Найти значение выражения ( 2,5 ^. 10³ ) : ( 5 ^. 10 ^{– 2} )

Вариант 1

1.Найти абсолютную погрешность приближения числа 7,4 числом 7.

2. Записать оценку величины n в виде двойного неравенства, если n = 2,34 0,01.

3. Округлить число 5641,8563 до сотен.

4. Найти относительную погрешность приближения числа числом 0,7.

5. Записать число 3,6 ^. 10 ^{– 5} в виде десятичной дроби.

6. Найти значение выражения (1,6 ^. 10 ^{- 5} ) ^. ( 4 ^. 10 ² ).

Отчет по практическому занятию оформляется в рабочей тетради и содержит название практического занятия, тему, формулировки задач, решения задач.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задачи решены верно.

Оценка «4» -все задачи решены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задачи решены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - задачи не решены.