Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений

Практическое занятие №2

Решение примеров по теме «Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной)»

Цель: Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений.

Продолжительность занятия: 2 часа

Краткая теория

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = , где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = a - x= Δ a = x Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = =

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше, которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ = h

Пример.

x - Δ – Нижняя граница (Н.Г.)

x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)

Приближенные числа, как и точные, записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.

Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Пример. x = 3,7412 0,002

Определить верные и сомнительные цифры.

В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432

Н.Г. = 3,7412 - 0,002 = 3,7392

Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.

Замечания.

1) В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7

2)Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.

x = 0,301 0,001

В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300 x = 0,30

3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583; 38,57; 38,507; 29,830

Правило округления чисел:

Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.

Пример. 5,739 (с точностью до 0,01) 5,74

3, 53 (с точностью до целых) 4

30253 (с точностью до 1000) 30000

Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения.

Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.

ω = ; ω% =

Для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.

Пример. Сравнить точность двух измерений .

d = 4 0,3; H = 600 0,3

ω(d) =

ω(H) =

Второе измерение более точное.

Образцы решения задач:

1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 - 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 - 1280 = 4.

2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 - 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.

3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.

4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?

Здесь, а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на большую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.

5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться формулой δ = Δ/a. Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).

Задание: Решить задачи.

Порядок и методика выполнения заданий:

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Разобрать примеры решения задач по теме.

3. Оформить решение задач в тетради.

Вариант 1

1. Установить число значащих цифр в числе:

а) 649; б) 0,01405; в) 347|51≈ ; г) 24321≈

2. Определить верные и сомнительные цифры чисел

а) а = 85,263 ± 0,0084 б) х = 729,3 ± 1

3. Вычислить значение выражений с оценкой погрешностей, если все числа даны с верными цифрами.

а) 645,27 + 102,234 + 715,645 + 10,2 б) 96,891 – 4,25

4. Округлить число до единиц и найти абсолютную и относительную погрешности 33,3 + 0,426 приближения : 23,263

Вариант 2

1. Установить число значащих цифр в числе:

а) 43,08; б) 0,0298 ; в) 353|617≈ ; г) 25|213 ≈

2. Определить верные и сомнительные цифры чисел

а) х = 14,28 ± 0,05 б) а = 749,3 ± 1

3. Вычислить значение выражений с оценкой погрешностей, если все числа даны с верными цифрами.

а) 12030 + 645,29 + 748,5 + 1625,375 б) ( 0,17 + 0,2445 ) · 0, 56

4. Округлить число до единиц и найти абсолютную и относительную погрешности 1,424 Приближения: 0,892

Отчет по практическому занятию оформляется в рабочей тетради и содержит название практического занятия, тему, формулировки задач, решения задач.

Критерии оценивания

Оценка «5» - все задачи решены верно.

Оценка «4» -все задачи решены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.

Оценка «3» - все задачи решены, но допущены существенные ошибки и неточности.

Оценка «2» - задачи не решены.