"Правильные многогранники"

дисциплина: геометрия

План урока № 13-14

Тема урока: Правильные многогранники. Тела Архимеда. Тела Кеплера-Пуансо.

Цели:

Обучающая: ввести понятие правильных многогранников, выяснить, сколько их существует, каковы их названия, и где они применяются.

Развивающая: развивать пространственное воображение у учащихся.

Воспитательная: всесторонне способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: урок – изложение нового материала, практическое решение задач.

Оборудование: компьютерный класс; модели пяти правильных многогранников; химические формулы природных кристаллов, имеющих форму правильных многогранников; карточки с вопросами практической части; развертки многогранников.

Межпредметные связи: история, алгебра, химия.

Структура урока:

1. Организационный момент (вступительное слово учителя 3-5 мин).

2. Проверка домашнего задания (5 мин).

3. Изложение нового материала (работа с презентацией, объяснение материала учителем (40 мин)

4. Закрепление новых знаний (заполнить карту учащегося). (12 мин)

5. Самостоятельная практическая работа (23 мин)

6. Подведение итогов урока (3 мин).

7. Задание на дом (2 мин).

ХОД УРОКА (см. презентацию)

Слайд 1: (вступительное слово учителя)

- Добрый день, ребята! Я хочу пригласить Вас в удивительно- сказочный мир под названием “Мир многогранников".

Слайд 2:

- Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, познакомимся с некоторыми видами многогранников, в частности, с правильными многогранниками; нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Перед тем как мы перейдем к новой теме, проверим домашнее задание. На дом вам был задан №6 стр. 9.

Слайд 3:

Итак, я приглашаю вас в “Мир многогранников”.

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. С какими классами многогранников мы уже знакомы?

Слайд 4:

…Вспомнить понятие выпуклого многоугольника, по аналогии дать понятие выпуклого многогранника.

Слайд 5:

Мы начинаем знакомство с правильных плоских и пространственных фигур. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне), гексагон – шестиугольник (ячейка пчелиных сот сверху) и т.д.

Каждый из вас знаком с простейшими пространственными математическими фигурами, или многогранниками. По-гречески они оканчиваются на “эдр”. Тетраэдр напоминает пирамиду или треугольный пакет для молока или майонеза; куб, или гексаэдр – это известный всем с раннего детства кубик и т.д.

Слайды 6 – 9: текст по слайду

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами. В идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому было нетрудно, тем более, что эти формы имеют природные кристаллы, например: форму куба имеет монокристалл поваренной соли (NaCl), форму октаэдра – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO₄)₂*12H₂O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS) и т.д.

Перед вами пять моделей правильных многогранников. Заполните, пожалуйста, таблицу в вашей рабочей карте (см. Приложение 2). Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В – Р + Г = 2 . Давайте проверим правильность заполнения вами таблицы и выполнение данной формулы.

Слайды 10-11: текст по слайду

Слайд 12: (учащиеся вслух проговаривают названия правильных многогранников)

Слайд 13-14:

Следующий вид многогранников – тела Архимеда. Чем же они отличаются от Платоновых тел? (Грани – правильные многоугольники нескольких типов)

Слайд 15:

Итак, Архимедовых тел 13, кроме тела на рисунке в центре. Чем же этот многогранник “хуже” остальных архимедовых тел? Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. Многогранник на рисунке в центре этим свойством не обладает. Древние греки обладали высокоразвитым чувством гармонии и не удивительно, что этот многогранник не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысячелетий он находился в “тени” и был “изобретен” в середине нашего столетия независимо несколькими математиками в разных странах. В нашей литературе этот многогранник часто называют телом Ашкинузе, по имени советского математика, который первым обратил на него внимание.

Слайды 16-17: текст по слайду

Слайд 18:

Очень интересную информацию о многогранниках можно найти в книге Магнуса Веннинджера “Модели многогранников”. Там же есть развертки многих тел.

С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции – шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека. Где же еще применяются многогранники? (Домашнее задание – применение многогранников в нашей жизни).

Слайды 19-20: просматриваются учащимися.

Слайд 21: Спасибо за внимание! Работа с презентацией завершена, и вам предстоит перейти к практической части нашего урока. Не забудьте заполнить вашу рабочую карту (приложение 2).

Самостоятельная работа: (приложение 3)

1 вариант

1. Сколько граней и ребер имеют куб? Сколько ребер сходятся у него в одной вершине?

2. Какими фигурами могут быть грани правильных многогранников?

3. Может ли в одной вершине правильного многогранника сходиться два, три ребра?

4. Может ли гранью правильного многогранника быть треугольник, четырех­угольник?

5. Можно ли считать правильную четырехугольную пирамиду правильным многогранником?

6. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 отсекают плоскостью тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

7. Из каких двух четырехугольных пирамид можно составить октаэдр?

8. Может ли сечением правильного октаэдра быть: а) шестиугольник; б) девя­тиугольник?

9. Является ли правильным многогранник, вершины которого - центры всех граней: а) тетраэдра; б) октаэдра?

10. Из одной вершины куба проведены три диагонали граней, их концы соединены отрезками. Докажите, что пирамида, ребрами которой служат построенные 6 отрезков, является тетраэдром?

11. Постройте развертку октаэдра, ребро которого 2 см.

12. Изготовьте макеты правильных многогранников с помощью их разверток.

2 вариант.

1. Сколько граней и ребер имеют тетраэдр? Сколько ребер сходятся у него в одной вершине?

2. Какими фигурами могут быть грани правильных многогранников?

3. Может ли в одной вершине правильного многогранника сходиться четыре, пять ребер?

4. Может ли гранью правильного многогранника быть четырех­угольник, пятиугольник?

5. Можно ли считать правильную четырехугольную пирамиду правильным многогранником?

6. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 отсекают плоскостью тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

7. Из каких двух четырехугольных пирамид можно составить октаэдр?

8. Может ли сечением додекаэдра быть: а) шестиугольник; б) девя­тиугольник?

9. Является ли правильным многогранник, вершины которого - центры всех граней: а) куба; б) тетраэдра?

10. Из одной вершины куба проведены три диагонали граней, их концы соединены отрезками. Докажите, что пирамида, ребрами которой служат построенные 6 отрезков, является тетраэдром?

11. Постройте развертку тетраэдра, ребро которого 2 см.

12. Изготовьте макеты правильных многогранников с помощью их разверток.

Учащимся предлагается просмотреть развёртки различных многогранников (приложение 4).

Домашнее задание:

учащиеся могут изготовить или самостоятельно выполнить выкройку одной из моделей звёздчатых многогранников (срок выполнения задания – 1 неделя).