Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников. Задачи урока:
1. Формирование пространственных представлений учащихся.
2. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных многогранников.
3. Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий.
Прогнозируемый результат
1. Знать определение правильных выпуклых многогранников.
2. Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел.
3. Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников.
4. Знать теорему Эйлера (без доказательства).
5. Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.
План урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников (практическая работа по изготовлению правильных многогранников)
4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона (со-
общение учащегося).
5. Кубок Кеплера (сообщение учащегося).
6. Формула Эйлера (исследовательская работа класса).
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока на тему "Правильные многогранники" »
Урок по теме: «Правильные многогранники».
Тип урока: изучение нового материала.
Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников. Задачи урока: 1. Формирование пространственных представлений учащихся. 2. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных многогранников. 3. Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий.
Прогнозируемый результат
1. Знать определение правильных выпуклых многогранников.
2. Уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел.
3. Уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников.
4. Знать теорему Эйлера (без доказательства).
5. Уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.
План урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников (практическая работа по изготовлению правильных многогранников)
4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона (со-
общение учащегося).
5. Кубок Кеплера (сообщение учащегося).
6. Формула Эйлера (исследовательская работа класса).
1. Учебник. Геометрия, 10-11 классы. 2. Модели правильных и полуправильных многогранников, развертки правильных и полуправильных многогранников. 3. Таблицы, изображение «Космический кубок» Кеплера (модели Солнечной системы) 4. Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.
5. Презентация к уроку.
Эпиграф
«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л. Кэролл (Слайд 2)
Ход урока
Организационный момент.
Актуализация знаний.
Учитель: На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы − это многогранники и выпуклые многогранники.
Нами уже использовались словосочетания «правильные призмы» и «правильные пирамиды». Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? И какие виды правильных многогранников существуют вы сегодня узнаете.
Изучение нового материала. Практическая работа ( работа в парах)
Перед вами лежат раскладки многогранников. Необходимо их склеить.
Итак, вы получили многогранники. Давайте подумаем, почему они называются правильными?
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их
гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники
(квадраты) и правильные пятиугольники. (Слайд 3)
ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. (Слайд 4) ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов) ( Слайд 5) ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников. (Слайд 6) ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников. (Слайд 7) ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.( Слайд 8)
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
Учитель: О том, как использовали правильные многогранники в своих научных
фантазиях учёные, нам расскажут …
Сообщение «Правильные многогранников философской картине мира Платона»
( Слайд 10)
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» − огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлен вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества − твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Учитель. А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII
вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).
Сообщение «Кубок Кеплера» ( Слайд11)
Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому ( рис) времени планетами Солнечной системы.
Модель Солнечной Согласно этому предположению, в сферу системы И. Кеплера орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера ор-
биты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы (рис.) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но наконец нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Учитель. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы бредовых, не может существовать наука.
Учитель: Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда. Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. ( Слайд 12) Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо.( Слайд 13)
А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.
Исследовательская работа «Формула Эйлера».
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько уних граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1 Таблица 1
Правильный многогранник
Число граней
Число вершин
Число ребер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
Таблица 2
Правильный многогранник
Сумма граней и вершин
Число ребер
Тетраэдр
4+4=8
6
Куб
6+8=14
12
Октаэдр
8+6=14
12
Додекаэдр
12+20=32
30
Икосаэдр
20+12=32
30
Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ≠ 12, 12 + 2 ≠ 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно.
Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов(см. табл. № 2). Вот теперь закономерности может не заметить только «слепой». Сформулируем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», т.е. Г + В = Р + 2.
Итак, мы вместе «открыли» формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.( Слайд 14)
Учитель :Учёными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы.
Послушаем сообщение … «Естественные многогранники».
В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Даже необработанный алмаз отчетливо передает форму октаэдра. После шлифовки камень точно соответствует геометрической форме октаэдра.
Шпинель тоже имеет форму октаэдра. Свое название камень получил от латинского "sp'inella" -маленький шип.
Куб - монокристалл объединяет в себе кристаллы поваренной соли NaCl, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока
Кристалл пирита (сернистого колчедана FeS) имеет форму додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита достигают нескольких сантиметров. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS).
Бор – имеет форму икосаэдра. В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
В микромире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов.Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода С60 (рис.) - "кирпичики" наноэлектроники и сверхпроводников.
В природе встречаются объекты, обладающие симметрией икосаэдра. Например, вирусы. Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации.
Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов. Так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.
Бактериофаги (греч. phagos — пожиратель; буквально — пожиратели бактерий) - бактериальные вирусы, вызывающие разрушение бактерий и других микроорганизмов.
Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками.
Скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) поформе напоминает икосаэдр .
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех
многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Элементарной ячейкой воды являются тетраэдры.
Учитель: Правильные многогранники настолько красивы и гармоничны, что им, как и два тысячелетия назад, так и в нынешнее время ставят памятники, посвящают картины, воплощают в архитектуре и других видах искусства.
8. Сообщение «Многогранники в архитектуре»
Архитекторы с древних времен применяли элементы многогранников в создании своих творений. В современно мире этот подход выделяет здания среди тысяч других.
Визитная карточка Республики Беларусь - новое здание Национальной библиотеки в Минске. Проект нового здания был разработан еще в конце 80-х годов прошлого века и в 1989 году стал победителем на всесоюзном конкурсе. Однако воплотить его в жизнь удалось лишь спустя более чем 15 лет.
Новое здание Национальной библиотеки Беларуси было открыто 16 июня 2006 года. В церемонии открытия принимал участие Президент страны Александр Лукашенко, который и получил читательский билет №1. Здание имеет форму многогранника - ромбокубооктаэдр высотой 73,6 м (23 этажа) и весом 115 000 тонн (не считая книг), в народе его сравнивают с формой алмаза. Площадь застройки составляет 19,5 тыс. м², общая площадь здания — 113,7 тыс. м², в том числе книгохранилища — 54,9 тыс. м², строительный объем здания – 420,6 тыс. м³, в том числе фондохранилища – 200,6 тыс. м³. Созданию индивидуального образа Национальной библиотеки содействует и художественно-декоративное оформление здания. Главный вход выполнен в виде страниц раскрытой книги с художественными изображениями на тему развития мировой и славянской письменности, а перед фасадом воздвигнут памятник первому книгопечатнику Беларуси – Франциску Скорине. Библиотека – одна из самых крупных в мире не только по габаритам, но и по количеству книг. На 23 этажах разместились 20 читальных залов, книжные хранилища, которые обслуживаются примерно 1500 компьютерами. В фондах библиотеки насчитывается около 14 млн. экземпляров книг. Есть среди них и очень редкие издания (примерно 70 тысяч) ― старопечатные книги, рукописи, датированные XIV и XV веками. Периодика составляет около 3 млн. журналов, газет, изданных недавно и на протяжении всего прошлого века. Библиотечные фонды имеют и около полутора миллионов зарубежных изданий, более 122 тысяч документов на микроносителях. Ежедневно здесь могут обслуживаться не менее 3 тысяч читателей. Национальная библиотека Беларуси входит в ТОП-50 самых «необычных зданий мира».
В 2011 году состоялось открытие нового Дворца бракосочетаний «Багт кошги» (туркм. Bagt köşgi). У «Дворца счастья» необычный архитектурный облик.11-этажное здание общей площадью более 38 тысяч квадратных метров представляет собой трехступенчатое сооружение, каждая сторона которого имеет вид восьмиконечной звезды. Куб, возвышающийся на больших колоннах, образует его верхнюю ступень и вбирает в себя шар диаметром 32 метра – символическую планету Земля с изображением карты Туркменистана. Четыре входа в здание символизируют четыре стороны света. Дворец обрамлен фонтанами, сверкающими в солнечных лучах мириадами бриллиантовых брызг, а вечером, освещенных яркой цветной подсветкой.
В столице Туркменистана - Ашхабад - есть еще одна достопримечательность, которая вошла в Книгу рекордов Гиннесса - новый Центр телерадиовещания «Туркменистан», а вернее, его главная архитектурная особенность – огромная звезда Огуз хана, которая отныне считается самым большим в мире архитектурным изображением звезды. Это подтверждено соответствующим международным Сертификатом, доставленным в туркменскую столицу официальным представителем компании «Всемирные рекорды Гиннесса» Амандой Мокен.
В городе BAGNO STEINFURT (Германия) поставлен памятник правильным многогранникам.
Учитель. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются
не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания
природной гармонии.
9. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Подходит к концу урок, подведём итоги.
— С какими новыми геометрическими телами
мы сегодня познакомились?
— Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?
- Какой материал был наиболее интересен?
Сообщение «Правильные многогранников в философской картине мира Платона»
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» − огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлен вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества − твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.( вселенная). Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Сообщение «Кубок Кеплера» ( Слайд11)
Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому ( рис) времени планетами Солнечной системы.
Модель Солнечной Согласно этому предположению, в сферу системы И. Кеплера орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера ор-
биты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы (рис.) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но наконец нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Сообщение «Естественные многогранники»
В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Даже необработанный алмаз отчетливо передает форму октаэдра. После шлифовки камень точно соответствует геометрической форме октаэдра.
Шпинель тоже имеет форму октаэдра. Свое название камень получил от латинского "sp'inella" -маленький шип.
Куб - монокристалл объединяет в себе кристаллы поваренной соли NaCl, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока
Кристалл пирита (сернистого колчедана FeS) имеет форму додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита достигают нескольких сантиметров. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS).
Бор – имеет форму икосаэдра. В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Сообщение «Естественные многогранники»
В микромире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов. Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода С60 (рис.) - "кирпичики" наноэлектроники и сверхпроводников.
В природе встречаются объекты, обладающие симметрией икосаэдра. Например, вирусы. Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации.
Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов. Так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.
Бактериофаги (греч. phagos — пожиратель; буквально — пожиратели бактерий) - бактериальные вирусы, вызывающие разрушение бактерий и других микроорганизмов.
Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками.
Скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) поформе напоминает икосаэдр .
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех
многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
