Открытый урок "Решение тригонометрических уравнений!

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

"Лозовская средняя общеобразовательная школа Верхнемамонского муниципального района Воронежской области"

Открытый урок на тему:

(Элективный курс "Избранные вопросы математики")

Подготовила и провела

в 11 классе

учитель математики

Волобуева М.В.

2015г.

Цели урока:

• Обучающие:

  • обобщение  и систематизация знаний и способов действий;

  • проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;

  • обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;

  • повторить основные теоретические сведения по тригонометрии;

  • повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений;

  • рассмотреть примеры заданий С1 ЕГЭ.

• Развивающие:

  • развитие самостоятельности, внимательности;

  • формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;

  • развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении решений;

  • развитие наглядно-действенного творческого воображения;

• Воспитательные:

  • формирование культуры математической речи;

  • содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности;

  • воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся.

Тип урока: урок-практикум.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения:

• частично-поисковый,

• тестовая проверка уровня знаний,

• системные обобщения,

• самопроверка,

• самооценка,

• самоконтроль,

• работа по опорным схемам.

Оборудование:

• интерактивная доска,

• мультимедийный проектор,

• компьютер,

• бланки для записи ответов,

• таблицы,

• блоки тригонометрических уравнений.

К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Структура урока:

1. Организационный момент. (1-2 мин.)

2. Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. (10-12 мин.)

3. Динамическая пауза. (1-2 мин.)

4. Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. (25-30 мин.)

5. Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению. (3-5 мин.)

Ход урока:

Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?
(Тригонометрия)

«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций

Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать ЕГЭ и продолжить свое образование в Вузах.

Тема нашего урока "Решение тригонометрических уравнений".

Сегодня мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений и разберем часть примеров из открытого банка заданий ЕГЭ.

И ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая производила анализ ошибок по ЕГЭ.

Итак, начнем с устной разминки:

1 задание

1. Какие основные тригонометрические функции вы знаете?

Иоганн БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их в своих математических работах.

1. Основное тригонометрическое тождество

2. Sin, tg, Cos, Sinπ

3. Восстановите формулы

Применим данные формулы для решения заданий типа В3 и В7 из открытого банка заданий ЕГЭ

(самостоятельно с последующим обсуждением и проверкой)

2 задание

Найдите значение выражения:

3 задание

А теперь нам предстоит вспомнить формулы для решения тригонометрических уравнений, а также частные случаи:

Основной прием решения любого уравнения - это приведение его к равносильному, более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения сводится к решению простейших уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg х= a. При переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения уравнений и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений. Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов к решению тригонометрических уравнений.

4 задание

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

(±) (-1^k)

(πk) (πk)

5 задание

Решение уравнений с взаимопроверкой:

1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = -/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =

После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий.

Ответ:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = +2π/9 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ

Динамическая пауза.

Самомассаж (по системе М.С. Норбекова)

Аутомануальный комплекс (массаж)

Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую сторону.
• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.

Массаж ушных раковин

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Потягивание ушных раковин сверху вниз.
• Потягивание ушных раковин снизу вверх.
• Потягивание ушных раковин назад.
• • Потягивание ушных раковин в стороны.
• Круговые движения по часовой стрелке.
• Круговые движения против часовой стрелке.
Разогреть ушные раковины, чтобы они «горели» с умеренной силой.

Гимнастика для глаз

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
• Упражнение на аккомодацию.
• Положить ладони на закрытые глаза, сделать резкий глубокий вдох через нос, затем выполняем медленный выдох через рот, через 20-30 секунд убираем ладони и открываем глаза.

Упражнения для шейного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Скольжение подбородком по грудине вниз.
• «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.
• Наклоны головы вправо-влево.
• «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.
• «Сова»: поворот головы вправо-влево.
• «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.

Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполняем 6 – 8 раз.
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
• «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника.
• Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Если вы знаете свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с решением не будет никаких трудностей.

Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны?

• Решение уравнений методом разложения на множители.

• Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.

• Решение однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах.

1) Решить уравнение: 2 sin x · cos 5x – cos 5x = 0.

Решение:

сos5 x (2sin x – 1) = 0 ,

1) sin x = 1/2 , 2) cos 5x = 0 ,

х = (-1)^kπ/6 +πk, k Є Z. х = π/10 + πn/5, nЄZ

2) Решить уравнение: 2 cos²x + 3 sin x = 0.
Решение:

т. к. cos²x = 1 - sin²x,

2(1 - sin²x) - 3 sin x = 0,

2 sin²x - 3 sin x - 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)^k arcsin(-1/2)+πk

x = (-1)^k+1π/6 +πk, k Є Z.

3) Решение однородных уравнений первой и второй степени.

Однородными называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 - первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.

Решить уравнение: sin x - cos x = 0. 

Решение: sin x - cos x = 0, разделим обе части уравнения на  cos x

tg x - = 0

tg x =

х = π/3 + πn, nЄZ

Выберите среди данных уравнений однородное

уравнение первой степени и решите его:

1. сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;

3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.

cos x – 3sin x = 0 Ответ: arctg + πn, nZ

1 уровень

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1.8 cos²x – 6 cos x – 5 = 0.

2. sin²x + sinx = 0.
3. sinx – cosx = 0.

4. sinx + cosx = .

2 уровень

Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений.

На этом основаны решения заданий ЕГЭ типа С1

а)

б)

Подведем итог урока.

Мне хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым знаниям.

Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.

Решите уравнения:

1. 5sin²x + 6cosx - 6 = 0

2. 2tg²x + 3tgx - 2 = 0

3. 4sin²x - 1 = 0

4. cos²x + cosx·sinx = 0

5. tg x + 3 = 3/cos²x

6. sin2x + sin²x = 4cos²x

Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?

Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

11 класс

Элективный курс «Избранные вопросы математики»

Тригонометрия

« Три пути ведут к знанию: путь размышления –

это путь самый благородный, путь подражания –

это путь самый легкий, и путь опыта –

это путь самый горький»

Конфуций

«Решение тригонометрических уравнений»

Иоганн Бернулли

(1667—1748)

Леонард Эйлер

(1707-1783)

Восстановите формулы

Sin2α

2Cos 2 α - 1

Сos ( π - α)

1 + tg 2 α

tgα·ctgα

1 - Сos 2 α

Найдите значение выражения:

1)

2)

3)

4)

5)

Формулы тригонометрических уравнений

t=

t=

tgt= а

t=

Частные случаи

Sin t = 0

t = -π/2 +2πn, nЄZ

t = πn, nЄZ

Sin t = -1

Sin t = 1

t = π/2 +2πn, nЄZ

Cos t = 1

t = 2πn, nЄZ

Cos t = -1

t = π/2 +πn, nЄZ

Cos t = 0

t = π+2πn, nЄZ

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

Решите уравнения:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = + 2π/9 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ

1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = -1/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =1

Аутомануальный комплекс (самомассаж)

Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую сторону.

• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.

Упражнения для шейного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.

• Скольжение подбородком по грудине вниз. • «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад; вправо-влево. • «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок. • «Сова»: поворот головы вправо-влево. • «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.

Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.

• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову назад. • «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. • Поднимание и опускание плеч вверх и вниз. • Круговые движения плечами вперёд и назад. • «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника. • Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево

«Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно» .

Альберт Эйнштейн

(1879-1955)

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение уравнений методом разложения на множители.

Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.

Решение однородных уравнений первой и второй степени. (Уравнение называется однородным относительно  sin   и  cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin   и cos   одного и того же угла.)

Решите уравнения

1) 2 sin x · cos 5 x – cos 5 x = 0

Решите уравнения

2) 2 cos 2 x + 3 sin x = 0

Решите уравнения

3) sin x - cos x = 0 

Выберите среди данных уравнений однородное уравнение первой степени и решите его:

1) сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;

3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.

Самостоятельная работа

1.8 cos 2 x – 6 cos x – 5 = 0

2. sin 2 x + sinx = 0

3. sinx – cosx = 0

4. sinx + cosx =

Решение заданий ЕГЭ типа С1

а ) Решите уравнение.

б ) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку

Домашнее задание

• 5sin 2 x + 6cosx - 6 = 0
• 2tg 2 x + 3tgx - 2 = 0
• 4sin 2 x - 1 = 0
• cos 2 x + cosx·sinx = 0
• tg x + 3 = 3/cos 2 x
• sin2x + sin 2 x = 4cos 2 x

Ян Амос Коменский

(1592 – 1670)

“ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.