Открытый урок "Решение неравенств с одним неизвестным"

Решение неравенств с одним неизвестным

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Основные свойства числовых неравенств», «Сло­жение и умножение неравенств», «Неравенства с одним неизвест­ным», «Линейная функция и ее график», владеть навыками работы с неравенствами с одним неизвестным, знать особенности положи­тельных и отрицательных чисел и манипуляции с ними.

Цели урока: 1) образовательная: закрепление знаний и умений по данной теме; формирование умения свободно решать неравенства с одним неизвестным; 2) воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу; воспитание чувства взаимопомощи и математической культуры; 3) развивающая: развитие логического мышления, кругозора, внимания, умения систематизировать и при­менять полученные знания.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной и са­мостоятельной работы, листы с заданиями (без решений); учебники: Алгебра: Учеб. для 8 класса общеобразоват. учрежд. / Под ред. Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова, Н.Е. Федорова, М.Ш. Шабунина; А.Г. Мордкович. Алгебра: Учеб. 8 класс. В 2 ч.; Алгебра: Учебн. пособ. для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики / Под ред, И.Я. Виленкина.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

I. Устная работа

1. Умножьте обе части неравенства на указанное число и проком­ментируйте свои действия (учащийся может подтвердить свои дей­ствия приведением правила).

1. 0,5

Решение: выражение 0,5

При дан­ном действии знак неравенства не меняется на противополож­ный, потому что обе части неравенства умножаются на положи­тельное число.

Правило. Если обе части неравенства умножаются на положи­тельное число, то знак неравенства не меняется.

Ответ: 2 2,8.

1. 1/31/4 на -12

Решение: выражение 1/3 ¼ умножается на -12, В результате умножения получается следующее выражение: 4

Правило. Если обе части неравенства умножаются на отрица­тельное число, то знак неравенства меняется на противополож­ный.

Ответ: -4

1. 3k

Решение: выражение Зk k

Ответ : 6k 20.

1. -4d -7 на -3.

Решение: выражение -Ad -7 умножается на —3. В результате умножения получается следующее выражение: 12d 21. При данном действии знак неравенства меняется на противополож­ный, потому что обе части неравенства умножаются на отрица­тельное число. При этом при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.

Правило. Произведение двух отрицательных чисел положи­тельно.

Ответ: 12d 21.

1. Верно ли утверждение?

1. Если х 2 и у 3, то ху 6.

Решение: при умножении неравенств одинакового знака х 2 и у 3, у которых левые и правые части положительны, получает­ся неравенство того же знака ху 6. То есть утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

1. Если х 4, то х+у 0.

Решете: при сложении неравенств одинакового знака х -5 и у 4 получается неравенство того же знака х + у -1. То есть утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

1. Решите неравенство и выберите правильный ответ (учащиеся комментируют свои действия).

1. 5х — 3 2. Варианты ответов: а) (-∞; 1]; б) [1; +∞); в) (-∞;—1);

г) (1;+ ∞).

Решение: 5х - 3 2. Если перенести из одной части неравенства в другую любое число, то знак неравенства не меняется,

5х2+ 3; 5x5

Если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не меняется. х 1.

Значит, решением неравенства является промежуток (1; +∞).

Ответ: г) (1; +∞).

1. -4 -2х 10. Варианты ответов: а) (-5; 2); б) [-5; 2); в) [-5; 2]; г) (-5;-2].

Решение: -4 -2х 10. Если обе части неравенства разделить на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противо­положный.

2х -5; -5 х2.

Значит, решением неравенства является отрезок [-5; 2].

Ответ: в) [—5; 2].

1. Запишите выражение, которое получится, если к обеим частям неравенства 2х-7bb+х прибавить число:

1. -х.

Решение: 2х-7bb+х; 2х-7b-хb+х-х, х-7bb.

Ответ: х -7b b.

1. 7b.

Решение: 2x-7bb+x, 2x-7b + 7bb + x + 7 b; 2х 12 b + х. Ответ: 2х b + х.

II. Выполнение заданий

1. (Можно выполнять данное задание по вариантам. Также можно вызвать по одному человеку к доске для проверки.) Докажите, что:

1. Если (х - 2)(х + 3) (x + 2)(х - 3), то x 0.

Доказательство: (x - 2)(х + 3) (х + 2)(х - 3);

Х²-2х + 3х-6х² + 2х – Зх-6;

x² +x-6x²-x-6; x²-x²+x + x -6 + 6; 2x0; x 0.

1. Если (х + 1 )(х - 6) (х + 2)(х - 3), то х

Доказательство: (х + 1 )(х - 6) (х + 2)(х - 3);

х² + х - 6х-6х² + 2х-Зх-6;

х²-5х-6х²-х-6; х²-х²-5х+х-6 + 6; -4х 0; х 0,

1. Решите неравенство. Ответ запишите в виде числового промежутка:

Решение:
2а-7+3(1-а)

2а-7+3-3а

.

Следовательно, решением неравенства является промежуток (-∞; 1 ]. Ответ: (-∞; 1].

1. При каких значениях х верно двойное неравенство

-2З+

Решение: -2З+

-4-3

Ответ:

Найдите целые положительные числа, удовлетворяющие решению неравенства

Решение : ;

x - 2(2 - х) 30; x - 4 + 2x 30; Зх 30 + 4; 3x 34; 11

Данному неравенству удовлетворяют целые положительные числа 1,2... 11.

Ответ: 1,2... 11.

1. Сторона прямоугольного пенала больше 5 см, вторая строка больше первой в 3 раза. Правильно ли, что периметр пенала больше 40 см?

Решение: принимаем одну из сторон пенала за х. По условию зада­чи она должна быть больше 5 см, т. е. получаем неравенство х 5. Другая сторона пенала больше первой в 3 раза, т. е. для нее подходит неравенство Зх 15. Полупериметр прямоугольного пенала в таком случае равен х + Зх 5 + 15. При упрощении данного неравенства получаем следующее: 4х 20.

Следовательно, предположение, выдвинутое в задании, верно.

Ответ: предположение верно.

Ш. Устная работа

1. Найдите наибольшее целое число с, которое удовлетворяет не­равенству:

1. с

Ответ:-1.

1. с

Ответ: 3.

1. с0,2.

Ответ:- 1.

1. Найдите наименьшее целое число п, которое удовлетворяет не­равенству:

1. n 2,05.

Ответ: 3.

1. 5.

Ответ: 5.

1. -2.

Ответ: -2.

1. (Небольшая подготовка для выполнения самостоятельной рабо­ты.) Фронтальный опрос.

• Что является графиком функций у = 3, у= 0, у = Зх, у = -х? (Пря­мые)

• Сколько нужно точек для построения графика? (Достаточно двух точек.)

• Где будет расположен график? (Примерный ответ. Расположе­ние графика функции у = кх зависит от значения углового коэффици­ента. При

k 0 он находится в первой и третьей координатных чет­вертях, при к 0 - во второй и четвертой. Следовательно, график функции у =3x расположен в первой и третьей координатных чет­вертях, а график функции у = -х - во второй и четвертой. График функции у = 3 будет расположен выше оси абсцисс, т. к. 3 0, а гра­фик функции у= 0 с ней совпадает.)

IV. Выполнение заданий

1. При каких значениях z выражение принимает отрицательные значения?

Решение:

Ответ: при z

2)

Решение:

Ответ: при z

1. При каких значениях у сумма дробей меньше значения дроби ?

Решение:

При y -5,5 сумма дробей меньше значения дроби

Ответ: при у -5,5.

1. При каких значениях а разность дробей меньше

или равна

Решение:

При .а -4 разность дробей меньше или равна .

Ответ: при a -4.

1. Решите неравенство:

1) 7(х + 1) + 10 11 -7(2 -х).

Решение: 7(х + 1) + 10 11 - 7(2 - х);

7х + 7 + 10 11 - 14 + 7х;

1х+ 17-3 + 7х;

7х - 7х -3 - 17; 0х -20.

Последнее неравенство 0х -20 является верным при любом значении х, т. к. его левая часть при любом х равна нулю.

Следовательно, любое значение является решением данного неравенства.

Ответ: любое значение.

2) 5(1 -х)-4 7 -5х.

Решение: 5(1 - х) - 4 7 – 5х;

5 – 5х - 4 7 – 5х; -5х +17- 5x;

-5x + 1 7 - 5х; -5х + 5х 7 - 1; 0x 6.

Данное неравенство не имеет решений, т. к. последнее неравен­ство 0x 6 неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

5. Одна сторона треугольника равна 7 см, другая - 10 см. Каким наибольшим числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

Решение: сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны, В противном случае получится не треугольник, а прямая линия. Таким образом, длину третьей стороны треугольника обозначим за х. Следовательно, получится следующее неравенство: х х Значит, длина третьей стороны может быть 16 см.

Ответ: 16 см.

V. Самостоятельная работа

Постройте график функции у = 3 - х. С помощью графика найдите значения х, при которых точки графика лежат;

1. выше оси абсцисс;

2. ниже оси абсцисс;

3. выше прямой у = 1;

4. ниже прямой = 3.

Решение: для построения графика функции у = 3-х составим таб­лицу значений:

X	-2	2
У	5	1

Построим график по заданным координатам:

1. Точки графика лежат выше оси абсцисс при значениях х 3.

2. Точки графика лежат ниже оси абсцисс при значениях х 3.

3. Точки графика лежат выше прямой у = 1 при значениях х 2.

4. Точки графика лежат ниже прямой у ~ 3 при значениях х 0.

Ответы: 1) х 3; 2) х 3; 3) х x2