Определение первообразной функции

Лекция №10

Тема: Первообразная

План:

1. Определение первообразной

2. Основное свойство первообразной

3. Три правила нахождения первообразных

1. Определение первообразной

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент вре­мени скорость тела равна 0, то есть , то при свободном падении тело к моменту времени пройдет путь

Формула была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

Второе дифференцирование дает ускорение:

то есть ускорение постоянно.

Более типично для механики иное положение: известно уско­рение точки (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости , а также найти координату . Иными словами, по заданной производной , равной , надо найти , а затем по производной , равной , найти .

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение. Функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка выполняется равенство

Пример 1. Функция есть первообразная для функции на интервале , так как

для всех .

Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на . Ясно, что вместо числа можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений. В следующем плановом вопросе мы увидим, как найти все эти решения.

Пример 2. Для функции на интервале первообразной является функция

,

так как

для всех из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной есть первообразная для функции на том же интервале .

Пример 3. Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как ра­венство не выполнено в точке . Однако в каждом из промежутков и функция является пер­вообразной для .

1. Основное свойство первообразной

Общий вид первообразных.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверж­дение:

Признак постоянства функции. Если на некотором промежутке , то функция – постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое из проме­жутка . Тогда для любого числа из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число , заключенное между и , что

.

По условию , так как , следовательно,

.

Итак, для всех из промежутка

,

то есть функция сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции можно записать с помощью од­ной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции . Справедлива следующая теорема (основное свойст­во первообразных):

Теорема. Любая первообразная для функции на проме­жутке может быть записана в виде

где – одна из первообразных для функции на проме­жутке , а – произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число ни поставить в выражение вместо , получим первообразную для на промежутке ;

2) какую бы первообразную для на промежутке ни взять, можно подобрать такое число , что для всех из проме­жутка будет выполнено равенство

.

Доказательство.

1) По условию функция перво­образная для на промежутке . Следовательно, для любого , поэтому

,

то есть – первообразная для функции .

2) Пусть – одна из первообразных для функции на том же промежутке , то есть

для всех . Тогда

.

Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что раз­ность есть функция, принимающая некоторое постоян­ное значение на промежутке .

Таким образом, для всех из промежутка справедливо равенство , что и требовалось доказать.

Основному свойству первообразной можно придать геометри­ческий смысл: графики любых двух первообразных для функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси (рисунок 2.1, ).

Примеры нахождения первообразных.

Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функ­ции на .

Заметим, что одной из первообразных функции является функция , так как . В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функции таков:

.

Пример 2. Найдем первообразную для функции на промежутке , принимающую при значение .

Легко проверить, что любая первообразная функции имеет вид . Так как по условию , приходим к уравнению (относительно ) вида , откуда , и, следовательно, .

Пример 3. Точка движется по прямой с постоянным уско­рением . В начальный момент точка имеет начальную ко­ординату и начальную скорость . Найдем координату точ­ки как функцию от времени.

Так как и , из условия a получаем . Отсюда следует, что

Подставляя в формулу , находим и

.

Следовательно,

Чтобы найти , подставим в значение , откуда .

Итак,

.

Замечание. Для краткости при нахождении первообраз­ной функции промежуток, на котором задана , обычно не ука­зывают. Имеются в виду промежутки возможно большей длины. Так, в следующем примере естественно считать, что функция задана на интервале .

Пример 4. Найдем для функции первообразную, график которой проходит через точку .

Любая первообразная функции записывается в виде . Графики этих первообразных изображены на рисун­ке 2.1 . Координаты точки графика искомой первооб­разной должны удовлетворять уравнению . Отсюда находим, что . Следовательно,

.

Ниже приводится таблица первообразных для некоторых функ­ций:

Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоятельно.

Примеры: Найти первообразную

1. , тогда

2. , тогда

1. Три правила нахождения первообразных

Эти правила похожи на соответствующие правила дифферен­цирования.

Правило 1. Если есть первообразная для , a – первообразная для , то есть первообразная для .

Действительно, так как и , по правилу вычисления производной суммы имеем:

.

Правило 2. Если есть первообразная для , a – постоянная, то функция – первообразная для .

Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

.

Правило 3. Если есть первообразная для , a и – постоянные, причем , то есть первообразная для .

Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

.

Приведем примеры применения этих правил.

Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции

.

Так как для одна из первообразных есть , а для одной из первообразных является , по правилу 1 находим: одной из первообразных для функции будет .

Ответ: .

Пример 2. Найдем одну из первообразных для функции .

Так как для одна из первообразных есть , применяя правило 2, получаем ответ:

.

Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции .

Для одной из первообразных является , поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна .

Пример 4. Найдем одну из первообразных для функции

.

Так как для первообразной является , по правилу 3 искомая первообразная равна

.

Пример 5. Материальная точка массой килограмма движется по оси под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени эта сила равна . Найдите закон движения точки, если известно, что при скорость точки равна , а координата равна ( – сила в ньютонах, – время в секундах, – путь в метрах).

Согласно второму закону Ньютона , где ускоре­ние. Имеем

.

Скорость точки есть первообразная для ее ускорения , поэтому

.

Постоянную находим из условия :

,

то есть

и

.

Координата есть первообразная для скорости , поэтому

.

Постоянную находим из условия :

.

Итак, закон движения точки:

.

№ 345 (А. Н. Колмогоров, страница 178)

Найдите для функции первообразную, график которой проходит через точку :

№ 1 1997 год 23

Укажите функцию , если и .

.

Вопросы на закрепление темы

1. Дайте определение первообразной.

2. Определите основное свойство первообразной.

3. Чему равна первообразная для функции ?

4. Чему равна первообразная для функции ?

5. Чему равна первообразная для функции ?

6. Чему равна первообразная для функции ?

7. Чему равна первообразная для функции ?

8. Чему равна первообразная для функции ?

9. Определите три правила нахождения первообразных.

ТАШКЕНТСКИЙ ВОЕННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЙ АКАДЕМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ

Технологическая карта учебного занятия