Операции над множествами

Практическая работа № 3

МНОЖЕСТВА И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться выполнять операции над множествами и представлять множества кругами Эйлера.

Для выполнения работы необходимо знать основные принципы теории множеств; необходимо уметь формулировать задачи логического характера и применять методы математической логики для их решения.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, образует множество. Над множествами можно совершать следующие операции:

1. Объединение (АВ) – включает элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

2. Пересечение (AB) – включает элементы, которые одновременно принадлежат А и В.

3. Разность (А\В) – включает элементы, которые принадлежат А и не принадлежат В.

4. Дополнение (А’) – включает элементы, которые не принадлежат множеству А (т.е. дополняют его до универсального U).

5. Декартово произведение (АхВ) – включает упорядоченные пары (а, b), в которых первый элемент а А, второй элемент b  В.

Пример 1. На множестве U букв русского алфавита заданы множества:

А = {л, о, г, и, к, а}

В = {у, р, о, к}

С = {г, р, у, п, п, а}

Найти следующие множества: А) (AB)C; Б) (АВ)С; В) U\( АВC)

Решение

А) (AB)C

Сначала определим пересечение множеств А и В (AB), которое включает буквы, принадлежащие одновременно множествам А и В.

AB = {o, к}

Объединим получившиеся пересечение с множеством С. Объединение будет содержать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств: (AB)C = {о, к, г, р, у, п, п, а}

Б) (АВ)С

Объединение множеств АВ = {л, о, г, и, к, а, у, р}

(АВ)С = {г, а, у, р}

В) U\(АВC)

Объединение множеств АВC = {л, о, г, и, к, а, у, р, п}

Универсальным множеством является множество букв русского алфавита, поэтому в разности U\(АВC) будут содержаться буквы алфавиты, не входящие в объединение (АВC)

U\(АВC) = {б, в, д, е, ё, ж, з, и, й, м, н, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ, ъ, ь, ы, э, ю, я}

Пример 2. Даны отрезки А = [-5, 1], В = [0, 2], С = [2, 7].

Найти следующие множества: А) (AB); Б) (АВ)С; В) (СВ)\(АВ)

Решение

Нарисуем числовую ось и отметим на ней точки отрезков:

А) (AB) = [-5, 2]

Б) (АВ)С = [0, 1] С = [0, 1]  [2, 7].

В) (СВ)\(АВ) = [0, 7] \ [0, 1] = [1, 7]

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ

Задание 1. Укажите множество элементов множества, соответствующие записи. Выпишите один элемент, принадлежащий множеству, и один элемент, не принадлежащий этому множеству.

Задание 2. На множестве U букв русского алфавита заданы множества А, В, С. Найти следующие множества и изобразить их кругами Эйлера.

А) (AB)C; Б) (АВ)С; В) U\( АВC)

Задание 3. Даны отрезки А, В, С. Найти следующие множества:

А) (AB); Б) (АВ)С; В) (СВ)\(АВ)

Задание 4.

Даны множества А, В. Определить декартово произведение множеств А) AхB; Б) АхА