kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация на тему "Понятие множества. Операции над множествами"

Нажмите, чтобы узнать подробности


Презентация на тему "Понятие множества. Операции над множествами" создана в помощь преподавателям  математики педагогических  колледжей или училищ.  В презентации доступно изложен материал, представлены отношения между множествами с помощью кругов Эйлера. Работа содержит блиц опрос,  примеры для подготовки к практической работе, ряд разобранных примеров и задач. Применение данной презентации поможет вашим студентам лучше усвоить материал, а также способствует образному восприятию учебного материала.   

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему "Понятие множества. Операции над множествами" »

Множества.  Операции над множествами

Множества. Операции над множествами

МНОЖЕСТВО НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ  МНОЖЕСТВАМИ ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств Георг Кантор

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

основатель теории множеств

Георг Кантор

Понятия теории множеств    Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие

Понятия теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:

  • Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

НАБОР КАРАНДАШЕЙ КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК СТАЯ ПТИЦ  СТАДО КОРОВ ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ БУКЕТ ЦВЕТОВ

НАБОР КАРАНДАШЕЙ

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК

СТАЯ ПТИЦ

СТАДО КОРОВ

ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ

БУКЕТ ЦВЕТОВ

Множество – совокупность объектов, объединенных по какому–нибудь признаку. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Множество – совокупность объектов, объединенных по какому–нибудь признаку.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

множество элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр  Натуральные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 .. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Двузначные четные числа Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98

множество

элемент

Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник

Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр

Натуральные числа

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двузначные четные числа

Множество четырехугольников

Пространственные тела

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

множество людей на Солнце множество прямых углов равностороннего треугольника множество точек пересечения двух параллельных прямых Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.

множество людей на Солнце

множество прямых углов равностороннего треугольника

множество точек пересечения двух параллельных прямых

Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.

Обозначения некоторых числовых множеств:  N – множество натуральных чисел;  Z – множество целых чисел;  Q – множество рациональных чисел;  I - множество иррациональных чисел;  R – множество действительных чисел.

Обозначения некоторых числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения

ВИДЫ МНОЖЕСТВ Запишите множества букв слов КОНИ И КИНО { К, О, Н, И } { К, И, Н, О } Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Запишите множества букв слов

КОНИ И КИНО

{ К, О, Н, И }

{ К, И, Н, О }

Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};  {х | 5 Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

{х | 5

Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ {1; 4; 9; 16; 25; …};  {10; 20; 30; 40; 50; …}; Бесконечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

{1; 4; 9; 16; 25; …};

{10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) множество чисел, кратных 13; б) множество делителей числа 15; в) множество деревьев в лесу; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области; е) множество корней уравнения х + 3 = 11; ж)  множество решений неравенства х + 1 < 3.

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:  а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.  Охарактеризуйте множество А: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

Даны множества: М = {5, 4, 6}, Р = {4, 5, 6}, Т = {5, 6, 7}, S = {4, 6}.  Какое из утверждений неверно?   а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т  Р М T S

Даны множества:

М = {5, 4, 6},

Р = {4, 5, 6},

Т = {5, 6, 7},

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

Р

М

T

S

Отношения между множествами

Отношения между множествами

Пусть А — множество простых чисел вида  7n + 2, где n ∈ N. Верна ли запись -5 ∈ А.

Пусть А — множество простых чисел вида

7n + 2, где n ∈ N.

Верна ли запись -5 ∈ А.

Задайте перечислением элементов множество, заданное характеристическим свойством

Задайте перечислением элементов множество, заданное характеристическим свойством

1. В множестве {лев; лисица; гиена; слон; рысь} все  элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством.  а) опишите это  свойство;  б) найдите элемент,  не обладающий этим свойством;  в) назовите еще два  элемента, обладающие этим свойством.   2. Назовите 5  подмножеств в множестве всех цветов радуги.   3. Каким свойством в  множестве ромбов выделяется подмножество квадратов?

1. В множестве {лев; лисица; гиена; слон; рысь} все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. а) опишите это свойство; б) найдите элемент, не обладающий этим свойством; в) назовите еще два элемента, обладающие этим свойством. 2. Назовите 5 подмножеств в множестве всех цветов радуги. 3. Каким свойством в множестве ромбов выделяется подмножество квадратов?

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

А – четные натуральные числа  В – двузначные числа    Найти объединение этих множеств.  А В – быть четным натуральным или двузначным числом Пример: 8 и 32

А – четные натуральные числа В – двузначные числа

Найти объединение этих множеств.

А В – быть четным натуральным или двузначным числом

Пример: 8 и 32

БЛИЦ-ОПРОС   земноводные, млекопитающие, хладнокровные и т.п.  Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

БЛИЦ-ОПРОС

  • земноводные, млекопитающие, хладнокровные и т.п.

Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

БЛИЦ-ОПРОС   рота, взвод, полк, дивизия и т.п.  Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?

БЛИЦ-ОПРОС

  • рота, взвод, полк, дивизия и т.п.

Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?

БЛИЦ-ОПРОС     букет  Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

БЛИЦ-ОПРОС

  • букет

Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

БЛИЦ-ОПРОС     экватор  Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?

БЛИЦ-ОПРОС

  • экватор

Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?

БЛИЦ-ОПРОС     деревня, село, город, посёлок  Как называется множество населённых людьми мест?

БЛИЦ-ОПРОС

  • деревня, село, город, посёлок

Как называется множество населённых людьми мест?

БЛИЦ-ОПРОС     выставка, галерея  Как называется множество картин?

БЛИЦ-ОПРОС

  • выставка, галерея

Как называется множество картин?

БЛИЦ-ОПРОС     архив  Как называется множество документов?

БЛИЦ-ОПРОС

  • архив

Как называется множество документов?

БЛИЦ-ОПРОС    флотилия, эскадра  Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

БЛИЦ-ОПРОС

  • флотилия, эскадра

Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

А – четные натуральные числа  В – двузначные числа   Найти объединение этих множеств.  А В – быть четным натуральным или двузначным числом Пример: 8 и 32

А – четные натуральные числа В – двузначные числа

Найти объединение этих множеств.

А В – быть четным натуральным или двузначным числом

Пример: 8 и 32

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

А – четные натуральные числа  В – двузначные числа Найти пересечение этих множеств.  А В – быть четным натуральным и двузначным числом Пример: 32

А – четные натуральные числа В – двузначные числа

Найти пересечение этих множеств.

А В – быть четным натуральным и двузначным числом

Пример: 32

Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.  Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества:

А = {2; 3; 8},

В = {2; 3; 8; 11},

С = {5; 11}.

Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества: А = { a , b , c , d }, B = { c , d , e , f }, C = { c , e , g , k }.  Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества:

А = { a , b , c , d },

B = { c , d , e , f },

C = { c , e , g , k }.

Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.   Найдите А∩В.

Даны множества:

А – множество всех натуральных чисел, кратных 10,

В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

Решение задачи с помощью кругов Эйлера K Леона́рд Э́йлер  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. k

Решение задачи

с помощью кругов Эйлера

K

Леона́рд Э́йлер  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

k

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно? Всего 30 6 13 11 поют 17 танцуют 19 17+19=36, всего 30 36-30=6

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Всего 30

6

13

11

поют 17

танцуют 19

17+19=36, всего 30

36-30=6

Решение Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k . Согласно формуле доказанной выше n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6. Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Решение

Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k .

Согласно формуле доказанной выше

n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.

Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

На фирме работают 67 человек. Из них  47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков? Всего 67 Немецкий 35 Английский 47 35-23=12 47-23=24 12 24 24+12+23=59 23 67- 59=8

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Всего 67

Немецкий 35

Английский 47

35-23=12

47-23=24

12

24

24+12+23=59

23

67- 59=8

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?   18 Немецкий 27 Английский 25 Только немецкий 27 – 18 = 9 Только английский 25 – 18 = 7 7 9 7 + 9 + 18 = 34 Ответ: в классе 34 ученика

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

18

Немецкий 27

Английский 25

Только немецкий

27 – 18 = 9

Только английский

25 – 18 = 7

7

9

7 + 9 + 18 = 34

Ответ: в классе 34 ученика

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?   Объединение содержит 9 элементов

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?   Всего: 14 + 13 + 62 =89

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или

газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей

выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го

класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в

планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

МНОЖЕСТВО НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ  МНОЖЕСТВАМИ ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Презентация на тему "Понятие множества. Операции над множествами"

Автор: Шарапова Юлия Владимировна

Дата: 05.10.2014

Номер свидетельства: 116604

Похожие файлы

object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(54) "Множества и операции над ними"
    ["seo_title"] => string(33) "mnozhiestva-i-opieratsii-nad-nimi"
    ["file_id"] => string(6) "183791"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1425927533"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(122) "Урок - презентация : "Как люди научились считать и записывать числа""
    ["seo_title"] => string(65) "urok_prezentatsiia_kak_liudi_nauchilis_schitat_i_zapisyvat_chisla"
    ["file_id"] => string(6) "564737"
    ["category_seo"] => string(16) "nachalniyeKlassi"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1606551735"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(93) "Классный час по теме " Здоровье- привилегия мудрых" "
    ["seo_title"] => string(55) "klassnyi-chas-po-tiemie-zdorov-ie-privilieghiia-mudrykh"
    ["file_id"] => string(6) "142260"
    ["category_seo"] => string(22) "klassnomuRukovoditeliu"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1418239646"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(32) "Рабочий стол Windows "
    ["seo_title"] => string(21) "rabochii-stol-windows"
    ["file_id"] => string(6) "189333"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1426868231"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(259) "Презентация по теме "Развитие познавательных способностей детей дошкольного возраста в процессе опытно – экспериментальной деятельности." "
    ["seo_title"] => string(154) "priezientatsiia-po-tiemie-razvitiie-poznavatiel-nykh-sposobnostiei-dietiei-doshkol-nogho-vozrasta-v-protsiessie-opytno-ekspierimiental-noi-dieiatiel-nosti"
    ["file_id"] => string(6) "182748"
    ["category_seo"] => string(21) "doshkolnoeObrazovanie"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1425581184"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства