Множества и операции над ними

Множества, операции над ними преподаватель математики МИПК им. И.Федорова Епихина Е.В.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Основоположник теории множеств немецкий математик

Георг Кантор

(1845-1918)

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством. Примеры множеств: множество студентов в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения 5х+6=0;

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А Если а не принадлежит А, то пишут: а А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами кото-рых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел. Приняты также обозначения Z + , Q +, R + соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z ¯, Q ¯, R ¯ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

• перечисление элементов множества;

А={ a ; b ; c ; …; d }

• указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

А={х | 5х+6=0}.

Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы полу- чить правильное утверждение: 1) 5 * N ; 2) –5 * Q ; 3) 3,14 * Q ; 4) 2 * R ; 5) 0 * N ; 6) − 12 * Z ; 6) π * Q ; 8) 3 * ∅

Задайте перечислением элементов множество: 1) A = { x | x N , 2 x – 1 = 0}; 2) B = { x | x Z , | x | C = { x | x N , x ≤ 15, x = 7 k , k Z }.

Действия над множествами

• Включение и равенство множеств

Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У.

Объединение множеств ( сложение)

Объединением А В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств

А и В.

Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В