«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

Бадамшинская средняя школа №2

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10-11 классов

Автор разработки: учитель математики Бабенко Лариса Григорьевна

Бадамша

2014 год

Цели урока:

Образовательные:

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель: Первое задание для устной работы - решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х2 – 4 х + 1= 0 Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0 Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin2 a – 1 + cos2 a В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a Г) √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы - cos2 a 0 2 |1- tg х|

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4	Ответы - √3/2 - 1/2 √3/3 1 √3/2 √2/2	cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6	Ответы √2/2 √3/2 √3 1 - 1/2 - √3/2

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов	оценка
6	5
5	4
4	3
4	2

На экране проецируются ответы

Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
arcsin √2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg √3	Ответы π/4 0 - π/6 5π/6 π/3	arccos √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg √3/3	Ответы π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов	оценка
5	5
4	4
3	3
3	2

На экране проецируются ответы

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

sinx =а	х = (-1)k arcsin а + π k, k Z
cosx = а	х = ± arccos а + 2 π k, k Z
tg х = а	х = arctg а + π k, k Z.

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или

A sin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0, находят z₁ = 1; z₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Учитель: При решении уравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х = 1 - cos² х, получили

2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos² х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t ² - 3t +1 = 0,

находят t₁ = 1; t₂ = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант		2 вариант
«3» «4» «5»	2 cos2х + 5 sin х - 4=0 cos 2х + cos х =0 √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)k π/6 + πk, k Z π + 2πk, k Z ± π/3 + 2 πn, n Z 2 πk, k Z (-1)k π/2+2πn,n Z	3 sin x - 2 cos2x =0 cos 2x + sin x =0 √2cos(x/2) + 1=cos x	Ответы (-1)k π/6 + πk, k Z π/2 + 2πk, k Z (-1)k+1 π/6 + πn, n Z π + 2πk, k Z ± π/2 + 4πn, n Z

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Физкультминутка.

Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1 Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

• В положении стоя положите руки на бедра.

• Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

• Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z

Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x ≠ 0, получим уравнение вида А tg ²x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t² – 3 t – 5 =0

t₁ = -1; t₂ = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) - sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3» «4» «5»	3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0 3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1 2 sin x - 5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0 2 sin2 x – sin x cosx =0 4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

	1 вариант	2 вариант
«3» «4» «5»	- arctg 5/3+ πk, k Z. π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z. π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z. π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z. arctg ( - 1 ± √5) + πk, k Z. π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.	- arctg 2/3+ πk, k Z. arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. -π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z. arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z. π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С

1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

2) использование универсальной подстановки

2 tg x/2 1 - tg² x/2

sinх = ------------------- , cos х = -----------------------

1 + tg² x/2 1 + tg² x/2

3) введение вспомогательного угла

A sin x+ B cos x = С | : √A² + B² ≠ 0

A sin x + В cos x = С .

√A² + B² √A² + B² √A² + B²

Если A = cos β, то A = sin β, получим

√A² + B² √A² + B²

cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или

√A² + B² √A² + B²

x = (-1)^k arcsin С - β + πk, k Z.

√A² + B²

А теперь попробуйте решить уравнение √3 sin x + cos x = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант	2 вариант
	sin x + 3 cos x = 2	2 sin x+ 3 cos x = 1
3	Используя один из предложенных способов
4	Используя любые два из предложенных способов
5	Используя три предложенные способа
Ответ	2 arctg (1 ± √6)/5 + 2πk, k Z.	2 arctg ( 1 ± √3)/2 + 2πk, k Z.

На экране проецируются ответы

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sin х - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)² - 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)² - 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)² – 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1 = 0

– 3 t² + 4 t + 4 = 0

3 t² - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t ₁ = 2, t ₂ = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х + cosх = 2 и sin х + cosх = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sin х + sin 3 х + sin 5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sin х + sin 5 х) + sin 3 х = 0

2 sin 3х cos 2х + sin 3х = 0

sin 3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin 3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin ³ х + 3 sin х - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 ³ + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin ³ х + 3 sin х - 7 – (4 · 1 ³ + 3 · 1 - 7 ) = 0

или 4 ( sin ³ х - 1 ) + 3 ( sin х - 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sin х - 1 ) ( sin ² х + sin х +1 ) + 3 ( sin х - 1 ) =0

( sin х - 1 ) ( 4 ( sin ² х + sin х + 1) + 3 ) = 0

( sin х - 1 ) ( 4 sin ² х + 4 sin х + 4 + 3 ) = 0

( sin х - 1 ) ( 4 sin ² х + 4 sin х + 7 ) = 0, откуда

sin х - 1 = 0 или 4 sin ² х +4 sin х + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k Z решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

-----------------------------------

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

sin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos⁶х + sin⁶ х = 16 sin² х cos²х ;

2. выражение sin³ х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³ х + 3 sin х - 4 = 0

4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!

Список литература:

1. Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993

2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969

3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986

4. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994

5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001

6. Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990

7. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997

8. Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997

9. Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983

10. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001

11. Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995

12. Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993

13. http://www.falto.ru/article/article4_1.html

10