Презентация "Методы решения тригонометрических уравнений" часть I

Для тригонометрических уравнений применяются общие методы решения:

• равносильные преобразования,
• разложение на множители,
• замена переменной,
• применение свойств функций,

а так же сочетание нескольких приёмов.

Основная идея решения тригонометрического уравнения – сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, т.е. уравнениям вида sin x = a, cos x = a,

tg x = a, ctg x = a.

1

tg x

1

-1

2

Алгебраические преобразования

- Применение основного тригонометрического тождества

cos 2 x + sin 2 x = 1

- Применение формул удвоенного аргумента

sin2x = 2 sinx cosx cos2x = cos 2 x – sin 2 x

- Преобразование суммы (разности) в произведение и обратное преобразование

1. Замена переменной и сведение к квадратному

3

4

Решение:

5

Решение:

2. Разложение на множители

6

3. Однородные уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени ;

уравнение вида a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Уравнения вида a sin m x + b cos m x = 0 также называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения – деление обеих его частей на cosx ≠ 0 или cos 2 x ≠ 0.

Обоснованность деления:

Предположим, что cosx = 0 . Тогда в силу уравнения и sinx = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение этого уравнения удовлетворяет условию cosx ≠ 0 , и мы можем поделить обе его части на cosx (cos 2 x).

7

8

10sin 2 x + 5 sin x cos x + cos 2 x = 3

10sin 2 x + 5 sin x cos x + cos 2 x = 3

Решение:

Поскольку 3 = 3(sin 2 x + cos 2 x)

10sin 2 x + 5 sin x cos x + cos 2 x = 3(sin 2 x + cos 2 x)

7sin 2 x + 5 sin x cos x – 2cos 2 x = 0 / : сos 2 x ≠ 0

т.к. значения х, при которых cosx = 0, не являются решениями данного уравнения.

7tg 2 x + 5 tg x – 2 = 0

tg x = t

7t 2 + 5t – 2 = 0

t 1 = 2/7 , tg x = 2/7, x = arctg2/7 +  n, n  Z

t 2 = -1, tg x = -1, x = arctg(-1) +  k, k  Z, x = -  /4+  k, k  Z

Ответ: x = arctg2/7 +  n, n  Z; x = -  /4+  k, k  Z.

4. Метод введения вспомогательного аргумента (введение дополнительного угла)

3 cos x + 2 sin x = 1

9

10

5sinx-12cosx=-13 sin3x

5. Универсальная подстановка

Правые части этих формул не определены при

x = π + 2πn n  Z , поэтому данную серию нужно проверить непосредственно подставив в уравнение.

11

3 cos x + 2 sin x = 1

3 cos x + 2 sin x = 1

6 . Уравнения вида a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0

a(sinx-cosx)+bsinxcosx+c=0

Замена: sinx+cosx = t

12

5sin2x-11(sinx+cosx)+7=0

7. Метод оценки частей уравнения

Домашнее задание :