Обратные тригонометрические функции

Дата:

Преподаватель: Орлова Наталья Александровна

Раздел календарно-тематического плана:

Модуль 4. Тригонометрические функции.

Дисциплина:

Математика

Группа:

Количество

присутствующих:

Количество

отсутствующих:

Тема урока

Обратные тригонометрические функции.

Тип урока

Изучение нового материала, закрепление новых знаний

Цели урока:

Формирование знаний обучающихся об обратных тригонометрических функциях и их свойствах, построить графики этих функций, показать связь с тригонометрическими функциями; уметь находить значения обратных тригонометрических функций.

Критерии оценивания

- знают определения и свойства обратных тригонометрических функций

- могут стоить графики обратных тригонометрических функций

- умеют находить значения обратных тригонометрических функций

Ход урока

Этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Оргмомент

5 мин

Приветствие студентов. Проверка готовности к уроку, отметить отсутствующих. Уточнение по выполненной домашней работе, возникших затруднений. Если у кого-то были проблемы с выполнением домашней работы, задают интересующие вопросы.

Мотивационно-целевой этап

3 мин.

Актуализация знаний.
- дайте определение функции синус? как называется график синуса?

- дайте определение функции косинус? как называется график косинуса?

- дайте определение функции тангенс? как называется график тангенса?

- дайте определение функции котангенс? как называется график котангенса?

- сколько тригонометрических функций вы знаете? (четыре)

- сколько будет обратных тригонометрических функций? (четыре)

- при каких значениях х верно равенство:

( )

( )

(неизвестно) (неизвестно)

Таблица

«Значения тригоно-метрических

функций

некоторых

углов»

Выход на тему урока.

Подмостки

2 мин

Введем понятие обратных тригонометрических функций.

Сообщение темы урока – «Обратные тригонометрические функции»

Совместно с обучающимися формулируется цель урока.

Презентация

Начало урока

10 мин

- Для начала давайте вспомним, что называется обратной функцией:

Если функция у=f(x) монотонна на множестве Х, то она обратима.

Если функция у=f(x) определена и монотонно возрастает (убывает) на множестве X, областью значений является множество У, тогда существует обратная функция, причем эта функция определена и возрастает (убывает) на У.

Эту функцию называют обратной по отношению к функции у=f(x)

Чтобы получить график функции, обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительно прямой у=х.

Например, для функции обратной функцией будет

.

Таким образом, чтобы найти обратную функцию:

1. Двум различным значениям х из области определения функции, должны соответствовать два различных значения у из множества значений этой функции.

2. Чтоб найти обратную функцию, нужно выразить х через у, затем поменять местами х и у.

3. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой у=х.

4. Для прямой и обратной функций область определения и множество значений меняются местами.

Середина урока

- Давайте по этой схеме найдем обратные тригонометрические функции.

Определим функцию, обратную y=sin x

Функция y=sin x определена, монотонно возрастает на отрезке

[-π/2; π/2] и принимает все свои значения у ϵ[-1;1]. Следовательно, на отрезке [-π/2; π/2] функция y=sin x имеет обратную функцию.

Обозначают y=arcsin x

Функция y=arcsin x определена на отрезке [-1;1] и является монотонно возрастающей, множество значений функции [-π/2; π/2].

Используя график и свойства функции у = sinx, постараемся построить график функции у = arcsinx и по графику перечислить свойства. Построим график у = sinx на отрезке [-π/2; π/2].  Построим прямую у = х. Отобразим построенный график относительно этой прямой.

Функция y=arcsin x и ее свойства

1. 1. D(y) = [-1; 1].

2. 2. E(y) = [-π/2; π/2].

3. 3. arcsin (-x) = - arcsin x – функция нечетная.

4. 4. Функция возрастает на [-1; 1].

5. Функция непрерывна.

Презентация

Определение. Если , то arcsin a – это такое число из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен а.

Свойства: sin(arcsin a) = a

arcsin(-a)= - arcsin a

Пример.

1. y=аrcsin означает sin y= поэтому у= π/4

2. arcsin( )= – arcsin = − π/3 т.к sin π/3 =

Определим функцию, обратную y=cos x

Функция y= cos x определена, монотонно убывает на отрезке [0; π] и принимает все свои значения в промежутке [-1;1]. Следовательно, на отрезке [0; π] функция имеет обратную функцию.

Обозначают y=arccos x

Функция y=arccos x определена на отрезке [-1;1] и является монотонно убывающей, множество значений функции [0; π].

Функция y=arccos x и ее свойства

1. 1. D(y) = [-1; 1].

2. 2. E(y) = [0; π].

3. 3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. 4. Функция убывает на [-1; 1].

5. 5. Функция непрерывна.

Определение. Если , то arccos a – это такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен а.

Свойства: cos(arccos a) = a

arccos(-a)= π - arccos a

Пример. 1. arccos1/2 = π/3

2. arccos(-1/2) = π - arccos1/2 = π - π/3 = 2π/3

Определим функцию, обратную y=tg x

Функция y= tg x определена, монотонно возрастает на интервале (-π/2; π/2) и принимает все свои значения (- ; +).

Следовательно, на интервале (-π/2; π/2) функция y= tg x имеет обратную функцию.

Обозначают y=arctg x

Функция y=arctg x определена на R и является монотонно возрастающей, множество значений функции (-π/2; π/2)

Функция y=arctg x и ее свойства

1. D(y) = (- ; +).

2. E(y) = (-π/2; π/2).

3. arctg (-x) = - arctg x – функция нечетная.

4. Функция возрастает на (- ; +).

5. Ф ункция непрерывна.

Определение. arctg a – это такое число из отрезка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.

Свойства: tg(arctg a) = a

arctg (-a)= - arctg a

Пример. 1. arctg = π/3

2. arctg (-1)= - arctg 1 = - π/4

Определим функцию, обратную y=сtg x

Функция y= ctg x определена, монотонно убывает на отрезке [0; π] и принимает все свои значения на R. Следовательно, имеет обратную функцию.

Обозначают y= arсctg x

Функция y= arcctg x определена на R и является монотонно убывающей, множество значений функции [0; π].

Функция y=arcсtg x и ее свойства

1. D(y) = (- ; +).

2. E(y) = (0; π).

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция убывает на (- ; +).

5. Функция непрерывна.

Определение. arcctg a – это такое число из отрезка (0; π), котангенс которого равен а.

Свойства: ctg(arcctg a) = a

arcctg (-a)= π - arcctg a

Пример. 1. arсctg = π/3

2. arсctg ( )=π - arсctg = π - π/6= 5π/6

Закрепление изученного материала.

№ 70 (а,г,д,е) 71-72 (а,в) 74-75 (а,в)

Абылкасымова А.Е., Жумагулова З.А., Шойынбеков К.Д., Есенова М.И. Алгебра и начала анализа 10. – Алматы «Мектеп» 2014

Конец урока

5 мин

Домашнее задание:

§ 6 № 70 (б,в) 71-72 (б,г) 74-75 (б,г)

Итог урока

Подведем итоги нашего занятия, и еще раз повторим то, что мы уже изучили.