Наименьшее и наибольшее значение функции

Урок 79. Алгебра 10

Тема: Наименьшее и наибольшее значение функции

Цели и задачи урока: 

1) ввести правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции;

 2) развитие логического мышления; речи учащихся;

 3) применение алгебраического аппарата к решению задач;

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Разминка.

Найдите производную функции:

4х ; х² ; х³ ; 2х³ ; х³/3 ; 3/2х ; 1/х ; 4/х ; х ^{- 5} ; х²+3 ;

Какие точки называются критическими?

Как найти критические точки?

Найти критические точки функции:

А)у=х²+20х б) у=х⁴ - 8х²

Что вы можете сказать о характере изменения функции, если f ‘(х)0 для всех х? f ‘(х)

Найдите область определения функции : у=х+2 ; у=х² ; у=2/х ; у=х - 2/х² ;

У=2х/(1 - х²)²

3. Изучение новой темы.

Изучение новой темы я хочу начать с рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли надо». О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км.

Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? Давайте исследуем данную ситуацию.

Учащимся предлагается начертить четырехугольник с Р=40 и наибольшей площадью. Учащиеся пробуют начертить известные им четырехугольники: трапецию, ромб, прямоугольник, квадрат. Побеждает тот ряд, представитель которого нашёл ключ к разгадке задачи. Для подкрепления догадки предлагается составить таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами сторон.

Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км и иметь участок площадью S=9*9=81км².

После этого учащиеся составляют функцию и исследуют её на экстремум.

Составляем уравнение: пусть х-длина, тогда 40-х ширина, а площадь S=х*(40-х)=40х-х², найдем экстремум получившегося выражения: S’=40-2х, х=20, то есть наибольшая площадь будет, если у нас квадрат.

Вывод алгоритма.

Итак, мы сделали вывод, что функция может достигать наибольшего значения либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Как вы думаете, каким должен быть первый шаг алгоритма?

а. Найти критические точки заданной функции. (Записывают в черновиках).

Найденные критические точки могут как принадлежать заданному отрезку, так и не принадлежать. Все ли найденные критические точки будут нас интересовать? Как это скажется на следующем шаге алгоритма?

Нет, нас будут интересовать только те критические точки, которые принадлежать заданному отрезку. Второй шаг алгоритма:

б. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.

в. Найти значение функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

г. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

4. Закрепление:

y = 3x² – 6x + 5, и попробуем найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3;5], опираясь на составленный алгоритм. Учитель сам показывает образец решения, ученики записывают решение в тетради.

Запись решения:

1. Функция определена и дифференцируема в каждой точке отрезка. Поэтому можно найти её производную. y‘= 6x – 6.

– Найдем критические точки:
а)Точек в которых производная не существует – нет.
б) Найдем точки в которых производная равна нулю. 6х-6=0; х=1.

2. Точка х=1 принадлежит заданному отрезку.

3. f(-3)=27+18+5=50; f(5)=75-30+5=50; f(1)=3-6+5=8.

4. y_наим =8; y_наиб =50.

Далее работа по учебнику: № 300

5. Итоги урока и домашнее задание: §20, №301

Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наименьший периметр, если его площадь равна 9 га.

Решение                          

S = 9 га. = 90000 кв. м. Пусть стороны прямоугольника равны х м. и b м., тогда S = х · b = 90000, отсюда b = 90000/x, где х 0.

Найдём периметр участка,

 не удовлетворяет условию x 0.