Разработка урока по теме :Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

Задача 3. Исследовать функцию на экстремум.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. , .

3.8. .

3.9. .

3.10. , .

3.11. .

3.12. , .

3.13. .

3.14. .

3.15. , .

3.16. , .

3.17. .

3.18. .

3.19. .

3.20. .

3.21. .

3.22. .

3.23. .

3.24. .

3.25. .

3.26. .

3.27. .

3.28. .

3.29. .

Тема: Экстремум функций двух переменных.

Наибольшее и наименьшее значения.

Цель занятия:

• закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;

• научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с использованием производных высших порядков;

• вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции;
  решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции;

• развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии.

Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные, по дидактической цели – познавательные.

Ход занятия.

1. Организационная часть. Студенты записывают тему занятия.

2. Актуализация опорных знаний. В начале занятия проводится небольшая по времени (10-15 минут) фронтальная работа, которая позволяет актуализировать базовые знания студента.

3. Работа по повторению:

-критические точки;

-стационарные точки;

-экстремумы функции.

1. Выполнение самостоятельной работы:

2. Основная часть. Изучение новой темы.

Рассмотрим пример решения задачи:

Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.

ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м². Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6]

без построения графика.

Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы.

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.

Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?

Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.

Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги?

Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже обладают.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки.

Находим частные производные и составляем систему уравнений

;

Решим отдельно уравнение . Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, т.е. . Пусть , тогда исходное уравнение примет вид квадратного трехчлена . Используя теорему, обратную теорему Виета, получаем корни уравнения .

Таким образом получаем: подставляя полученные значения в систему получаем четыре стационарные точки:

Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных, составляем определитель и находим точки максимума и минимума.

Найдем производные второго порядка:

и составим определитель

для каждой стационарной точки.

1) Для точки

Значит, в точке экстремума нет.

2)

.

В точке , согласно достаточному условию существования экстремума, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при .

3)

.

Экстремума в точке нет.

4)

.

В точке функция имеет максимум: .

V этап: Выполнение самостоятельной работы. (Работы сдаются на проверку учителю)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в. на отрезке .

II в. = 9x + 3x² – x³ на отрезке [– 2; 2].

По окончании выполнения самостоятельной работы студенты готовятся к ответам на следующие вопросы.

1. Определение экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условии экстремума.

3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.

Опорный конспект

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке  :

1. найти ;

2. найти точки, в которых  или  не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значения функции  в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции  на отрезке  , которые можно обозначить так: .

Если поставлена задача найти  для непрерывной на  функции  , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка  .

Через математические знания лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий.

Маркушевич А.И.

Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения

Цель занятия:

• закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;
• научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с использованием производных высших порядков;
• вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции; решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции;
• развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии.

(x ²)′=

0

(2x ³)′=

0

(x

10

) ′=

7

6x ²

(128 )′=

(10) ′=

1

(

x ³

) ′=

9

10x

3

2x

x ²

10x + 3

(7x )′=

(5x ² + 3x - 9 )′=

Точки из области определения функции, в которых:

f′ (x) =0 или не существует,

называются этой функции.

критическими точками

Только они могут быть точками экстремума функции. (рис. 1 и 2).

f′ ( x 1 ) =0

f′ ( x 2 ) =0

Точки из области определения функции, в которых: f′ (x) =0

Экстремумы

Не являются экстремумами

Пусть x о точка из области определения функции f(x) и f′ (x о ) = 0, если производная функции меняет свой знак с «+» на «-» в точке x о или наоборот, то эта точка

является

Экстремумом .

Х 1

Х 2

max

min

Х 2

Х 1

Экстремумы функции

Х 0 - точка максимума (max) функции, если существует такая окрестность точки х 0 , что для всех х ≠ х 0 из этой окрестности выполняется неравенство

f(x) ˂ f(x 0 ).

Х 0 - точка минимума (min)

функции, если существует такая окрестность точки х 0 , что

для всех х ≠ х 0 из этой окрестности выполняется неравенство

f(x) ˃ f(x 0 ).

По заданным графикам функций y=f(x) укажите:

-критические точки;

-стационарные точки;

-экстремумы функции.

Рисунок 2

Рисунок 1

Алгоритм поиска точек экстремума функции:

1. Найти производную функции;

2.Приравнять производную к нулю – найти стационарные точки;

3. Исследовать производную на «знак» - сделать вывод .

Выполните задание

1.Найдите точку максимума функции

на (0; )

2.Наидите точку минимума функции

на (0; )

На рисунке изображен график функции,

определенной на интервале .

Найдите сумму точек экстремума функции.

-2+1+3+4+5+8+10=…

-2

5

4

3

.

10

8

1

В 8

2

9

Понятие экстремума функции двух переменных

вторых производных и найдем знак дискриминанта 

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

11

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию.

ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

  Решение:

Пусть x(м) – длинна,

9/x(м) – ширина рекламного щита.

P – Периметр

P=2(x+9/x)м; P(x)=2x+18/x; P(x)=2-18/ X 2 на [1;9] 2-18/ X 2 =0 x не равно 0 2X 2 -18=0 X 2 =9 X=3 P(1)=2+18=20 P(9)=18+2=20 P(3)=6+6=12 Min P(3)=12m P(x)=2x+18/x P(x)=2-18/ X 2 на [1;9] 2-18/ X 2 =0 x не равно 0 2X 2 -18=0 X 2 =9 X=3 P(1)=2+18=20 P(9)=18+2=20 P(3)=6+6=12 Min P(3)=12m S=9m 2

Задание 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6]

без построения графика.

АЛГОРИТМ

• Найти точки экстремума функции, т. е. точки в которых производная равна нулю и меняет свой знак.
• Вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка, где определена функция.
• Выбрать из полученных значений оптимальное.

• Перевести задачу на язык математики, т. е. выразить искомую величину через функцию от некоторой переменной и найти область её определения.

Задание 2.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 5х² + 7х на [-1; 2]

без построения графика.

Ответ: : у наим = у (-1) = -13; у наиб = у(1) = 3

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.

Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?

Переведём задачу на язык математики.

B

A

AC+CD+DB=L

x

x

D

C

L - 2x

S = x(L-2x)

Y = x(L-2x) → max

Y = Lx – 2x ²

• Y′ = L – 4x

Данный прямоугольник является половиной квадрата, длинной стороной примыкающей к берегу моря.

2. Y′ = 0 ; L = 4x

x = 0,25L

3.

—

+

0,25L

max

4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L

Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 см ². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.

Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги?

L

K

2

D

A

AB = x

4

KN = x + 4

4

S = 400 см ²

BC = 400/x

KL = 400/x + 8

х

400/х

B

C

2

M

N

S = (x + 4) ·(400/x + 8) =

= 1600/x + 8x + 432

S = 1600/x + 8x + 432 → min

1. S ′ = -1600/x² + 8

2. S′ = 0; -1600/x² + 8 = 0

1600/x² = 8

x² = 1600/8

x ≈ 14

Оптимальные размеры страницы

18х36,5 см.

3.

—

+

14

4. KN = х + 4=18

KL = 400/x + 8 ≈36,5

min