kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка урока математики на тему "Свойства логарифмов"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас  говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь».

Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых главных.

Знание свойств логарифмов позволяет решить важные задачи.

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка урока свойства логарифмов»



Государственное областное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»









Методическая разработка

урока математики

на тему

«Свойства логарифмов»







Выполнил:

преподаватель математики

первой квалификационной категории

Заварзина В.Г.





Липецк 2014 г.

Тема урока:

«Свойства логарифмов».


Цели урока:

1. Образовательные

а) закрепить навыки вычисления логарифмов;

в) сформировать умения и навыки вычисления логарифмов с помощью изученных свойств;

а) научиться переходить от одной математической записи к равносильной ей;

б)сформировать умение использовать полученные теоретические знания для решения практических задач, умение выстраивать логические умозаключения и делать выводы;

2. Развивающие:

а) развитие профессиональных качеств студентов (умений применять полученные знания на практике);

б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).


3. Воспитательные:

а)формирование коммуникативных компетенций (умение работать в группе, умение отстаивать свое мнение, умение выслушивать мнение других);

б)воспитание навыков самостоятельной работы;

в) воспитание дисциплинированности.

Задачи урока:

  • отработка навыка добывания знаний через практическую деятельность;

  • закрепить навыки работы в группе, умение представлять себя, умение аргументированно отстаивать свое мнение и вести дискуссию;

  • формировать навыки освоения учащимися картины мира через изучение нового материала;

Тип урока: комбинированный


Вид урока: урок обобщения и систематизации:


Методические приемы:

-самостоятельная работа (работа с раздаточным материалом);

-практический- решение задач прикладной направленности.


Межпредметные связи: история


Оборудование и наглядные средства обучения: рабочие тетради, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация, демонстрационный и раздаточный материал, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный уровень часть1, 2) под редакцией А. Г. Мордковича .


Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность студентов.



Ход урока:

I.Организационный момент: подготовка студентов к уроку (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей, проверка готовности рабочих мест студентов и преподавателя, готовности студентов к работе.)

На первом этапе преподаватель приветствует студентов, проверяет готовность группы к работе.

II. Сообщение темы и целей урока..(слайд 1,2)

Вступительное слово преподавателя.

Я приветствую вас на сегодняшнем уроке . Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Тема урока: “Свойства логарифма ”. Сегодня мы повторим понятие логарифма , свойства логарифма, закрепим умения применять эти понятия при решении уравнений. Эпиграфом урока являются слова М.В. Ломоносова

“Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

Цель нашего урока, показать знания определения логарифма, свойств логарифма и уметь применять все ваши знания при решении заданий.

Для того, чтобы показать свои знания по данной теме, вы должны быть настойчивыми, целеустремленными, т.е. уметь применять все приобретенные знания по логарифму. Я желаю вам успешной работы и надеюсь, что мы получим удовольствие от сегодняшнего урока.

III. Проверка домашнего задания

Историческая справка (было задано подготовить исторические сведения о логарифмах)

История логарифма

П
ринцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

Приложения логарифмов(слайды 3,4,5)

Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых главных. Вычисление произведений, частных, степеней и корней облегчается не только благодаря широкой доступности опубликованных таблиц логарифмов, но и благодаря использованию т.н. логарифмической линейки – вычислительного инструмента, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов. Линейка снабжена логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа 1 до любого числа x выбрано равным log x; сдвигая одну шкалу относительно другой, можно откладывать суммы или разности логарифмов, что дает возможность считывать непосредственно со шкалы произведения или частные соответствующих чисел. Воспользоваться преимуществами представления чисел в логарифмическом виде позволяет и т.н. логарифмическая бумага для построения графиков (бумага с нанесенными на нее по обеим осям координат логарифмическими шкалами). Если функция удовлетворяет степенному закону вида y = kxn, то ее логарифмический график имеет вид прямой, так как

log y = log k + n log x

– уравнение, линейное относительно log y и log x. Наоборот, если логарифмический график какой-нибудь функциональной зависимости имеет вид прямой, то эта зависимость – степенная. Полулогарифмическая бумага (у которой ось ординат имеет логарифмическую шкалу, а ось абсцисс – равномерную шкалу) удобна в тех случаях, когда требуется идентифицировать экспоненциальные функции. Уравнения вида y = kbrx возникают всякий раз, когда некая величина, такая как численность населения, количество радиоактивного материала или банковский баланс, убывает или возрастает со скоростью, пропорциональной имеющемуся в данный момент количеству жителей, радиоактивного вещества или денег. Если такую зависимость нанести на полулогарифмическую бумагу, то график будет иметь вид прямой.

Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus, рога горного барана и клювы попугаев. Все эти природные формы могут служить примерами кривой, известной под названием логарифмической спирали, потому что в полярной системе координат ее уравнение имеет вид r = aebq, или ln r = ln a + bq. Такую кривую описывает движущаяся точка, расстояние от полюса которой растет в геометрической прогрессии, а угол, описываемый ее радиусом-вектором – в арифметической. Повсеместность такой кривой, а следовательно и логарифмической функции, хорошо иллюстрируется тем, что она возникает в столь далеких и совершенно различных областях, как контур кулачка-эксцентрика и траектория некоторых насекомых, летящих на свет.

Ребята, давайте проверим домашнее задание.(решение у доски в то время, пока рассказывают историческую справку; с комментарием – обоснованием )

№1.

а) log 10 100 = 2, т.к. 102 = 100 (определение логарифма и свойства степени),
б) log 5 53 = 3, т.к. 53 = 53 (…),
в) log 4 = –1, т.к. 4–1 = (…).

№ 2.

а) (32)log 3 7 = (7log 7 3)2 = 72 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
б) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3)2 = 32 = 9 (…),
в) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5)3 = 53 = 125 (…),
г) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10)2 = 102 = 100 (…).

IV. Систематизация и обобщение знаний.

Разминка.

Принято, что день обычно начинается с зарядки, а урок с разминки. Проведем разминку и мы.

Ребята, давайте вспомним полученные знания по данной теме и ответим на вопросы. За каждый правильный ответ вы получите жетон и сохраните его до конца урока.

Мы знаем, что слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρіμοφ (отношение) и переводится как отношение чисел. Это понятие ввел английский математик Джон Непер.

Дайте определение логарифма числа. (слайд 6). Ребята отвечают на вопросы.

1. Приведите пример для вычисления логарифма. (слайд 7)

2. Вычислите данный логарифм. На доске (log(-3)=; log3=)

3. Дайте определение десятичного логарифма.

4. Перечислите основные свойства логарифмов.

5. Какие основные правила используют при вычислении логарифмов?

Правильные ответы обучающихся:

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

1. Пример:

lg 100000000=lg10=8

2. log(-3)= решений нет.

log3= решений нет.

Данные логарифмы решений не имеют, т.к. отрицательные числа при логарифме и основание быть не могут.

3. Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.

4. Основные свойства логарифмов

loga x + loga y = loga (· y);

  1. loga x − loga y = loga (x : y).

Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного.

5.

1.loga a = 1 Логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.

2.loga 1 = 0 Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

V.Решение примеров у доски.

Давайте решим следующие примеры на доске..


Какими формулами вы воспользуетесь при решении?

  1. log6 4 + log6 9.

  2. log2 48 − log2 3.

  3. log3 135 − log3 5.

4. Вычислить , если

5. Упростить выражение

6. Найти значение выражения



Привожу правильное решение примеров.

1.Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Решение

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Ответ:2

2.Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Решение

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Ответ:4

3.Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Решение

Основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Ответ:3

4. Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ.

5.Решение Перепишем числитель, используя свойство для степени логарифма, а знаменатель, используя свойство –логарифм произведения:

Ответ:

6.Решение:

В степени первого слагаемого разность логарифмов заменим на логарифм частного, а для второго слагаемого применим свойство логарифмов для степени основания:

В полученном выражении к первому слагаемому применим основное логарифмическое тождество, а ко второму – свойство логарифма степени

учитывая, что , получим


Ответ:



VI. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.


Для достижения поставленной цели урока вам надо показать свои знания. На доске задания для самостоятельной работы по вариантам. Решаете задания на листочках.(слайды 8,9)























МИНИ –ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА



1 ВАРИАНТ Ответы:

  1. Составить логарифм с цифрами : 2, 3, 9 1.

  2. Log 464 = 2.

  3. Log 7 1/49 = 3.

  4. Ln e2 = 4.

  5. Log 9 1 = 5.

  6. 8 Log 8 5 = 6.

  7. (1/3) Log 3 2 = 7.

  8. 49 Log 7 4 = 8.

  9. Log 2 Log 3 81 = 9.

  10. 1/2∙Log 7 36 - Log 7 14 - 3∙ Log 7 = 10.































2 ВАРИАНТ

Ответы

  1. Составить логарифм с цифрами: 3, 4, 81 1.

  2. Log 0,25 0,125 = 2.

  3. Log 3 1/81 = 3.

  4. Lg 100 = 4.

  5. Log 12 12 = 5.

  6. 3 Log 3 18 = 6.

  7. (1/4) Log 4 5 = 7.

  8. 9 2Log 3 2 = 8.

  9. Log 3 Log 2 8 = 9.

  10. 2∙Log 3 6 – 1/2Log 3 400 - 3∙ Log 3 = 10.

После решения заданий обменяйтесь тетрадями и проверим правильность решения с помощью доски.

(на интерактивной доске правильные ответы)

Ответы:

1 Вариант:

1. Log 9 = 2

2. 3

3.-2

  1. 2

  2. 0

  3. 5

  4. 1/2

  5. 16

  6. 2

  7. -2





2 Вариант:

  1. Log 81 =4

  2. 3

  3. -4

  4. 2

  5. 1

  6. 18

  7. 1/5

  8. 16

  9. 1

  10. 4

Оценка за работу:

6 правильных ответов - оценка «3»

8 правильных ответов - оценка «4»

10 правильных ответов - оценка «5»

Передаём проверенные листочки преподавателю.

VII. Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы закрепили навыки вычисления логарифмов,

повторили правила вычисления логарифмов с помощью изученных свойств, рассмотрели вычисление десятичных логарифмов .

Выставление оценок за урок.

VIII. Домашнее задание:

§16 16.6, 16.9(слайд 10)



















Список литературы:



1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004.

3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2010.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2003.

5. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.



























Просмотр содержимого презентации
«Презентация к уроку свойства логарифмов»

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

Цели урока

Цели урока

  • а) закрепить навыки вычисления логарифмов;
  • б) сформировать умения и навыки вычисления логарифмов с помощью изученных свойств;
  • в) научиться переходить от одной математической записи к равносильной ей;
  • г)сформировать умение использовать полученные теоретические знания для решения практических задач, умение выстраивать логические умозаключения и делать выводы;
В 1614 году шотландский математик Джон Непер  изобрел таблицы логарифмов. Принцип их заключался в том, что каждому числу соответствует свое специальное число - логарифм. Логарифмы очень упрощают деление и умножение. Например, для умножения двух чисел  складывают их логарифмы ,  результат находят в таблице логарифмов. В дальнейшем им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до70-х годов нашего века.

В 1614 году шотландский математик Джон Непер

изобрел таблицы логарифмов.

Принцип их заключался в том,

что каждому числу соответствует

свое специальное число - логарифм.

Логарифмы очень упрощают

деление и умножение.

Например, для умножения двух чисел

складывают их логарифмы ,

результат находят в таблице логарифмов.

В дальнейшем им была изобретена

логарифмическая линейка,

которой пользовались

до70-х годов нашего века.

Логарифмическая спираль.   Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

Логарифмическая спираль.

Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали.

Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям
  • раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям

Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.

ЛОГАРИФМЫ  Log a  b = x , если a x = b Дать определение логарифму Как называется число « a » ? Каким должно быть основание? Каким должно быть число « b » ? Какой логарифм называется десятичным? Какой логарифм называется натуральным?  Фронтальный опрос учащихся

ЛОГАРИФМЫ Log a b = x , если a x = b

  • Дать определение логарифму
  • Как называется число « a » ?
  • Каким должно быть основание?
  • Каким должно быть число « b » ?
  • Какой логарифм называется десятичным?
  • Какой логарифм называется натуральным?

Фронтальный опрос учащихся

ЛОГАРИФМЫ  Log a  b = x , если a x = b 1. Приведите пример для вычисления логарифма. 2. Вычислите данный логарифм. На доске (log(-3)=; log3=) 3. Дайте определение десятичного логарифма. 4. Перечислите основные свойства логарифмов. 5. Какие основные правила используют при вычислении логарифмов? Фронтальный опрос учащихся

ЛОГАРИФМЫ Log a b = x , если a x = b

  • 1. Приведите пример для вычисления логарифма.
  • 2. Вычислите данный логарифм. На доске (log(-3)=; log3=)
  • 3. Дайте определение десятичного логарифма.
  • 4. Перечислите основные свойства логарифмов.
  • 5. Какие основные правила используют при вычислении логарифмов?

Фронтальный опрос учащихся

МИНИ-ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА 2 ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ Составить логарифм с цифрами : 3 , 4 , 81 Log 0.25 0.125 = Log 3 1/81  = Lg 100 = Log 12 12 = 3 Log  3 18 = (1/4) Log  4 5 = 9 2 Log 3 2 = Log 3 Log 2 8  = 2∙ Log 3  6 –  1/2 ∙Log 3 4 00  + 3∙ Log 3  =     Составить логарифм с цифрами : 2 , 3 , 9 Log 4 64  = Log 7 1/49  = Ln e 2    = Log 9 1 = 8 Log  8  5   = (1/3) Log  3  2  = 49 Log 7  4 = Log 2 Log 3 81 = 1/2 ∙ Log 7  36 - Log 7  14 - 3∙ Log 7 =

МИНИ-ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА

2 ВАРИАНТ

1 ВАРИАНТ

  • Составить логарифм с цифрами : 3 , 4 , 81
  • Log 0.25 0.125 =
  • Log 3 1/81 =
  • Lg 100 =
  • Log 12 12 =
  • 3 Log 3 18 =
  • (1/4) Log 4 5 =
  • 9 2 Log 3 2 =
  • Log 3 Log 2 8 =
  • 2∙ Log 3 6 – 1/2 ∙Log 3 4 00 + 3∙ Log 3 =
  • Составить логарифм с цифрами : 2 , 3 , 9
  • Log 4 64 =
  • Log 7 1/49 =
  • Ln e 2 =
  • Log 9 1 =
  • 8 Log 8 5 =
  • (1/3) Log 3 2 =
  • 49 Log 7 4 =
  • Log 2 Log 3 81 =
  • 1/2 Log 7 36 - Log 7 14 - 3∙ Log 7 =

ОТВЕТЫ    1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ Log 3 9 = 2 3 -2 2 0 5 1/ 2 16 2 -2 Log 3 81 =4 3 -4 2 1 18 1/5 16 1 4     Оценка за работу: 6 правильных ответов - оценка « 3 » 8 правильных ответов - оценка « 4 » 10 правильных ответов - оценка « 5 »

ОТВЕТЫ

1 ВАРИАНТ

2 ВАРИАНТ

  • Log 3 9 = 2
  • 3
  • -2
  • 2
  • 0
  • 5
  • 1/ 2
  • 16
  • 2
  • -2
  • Log 3 81 =4
  • 3
  • -4
  • 2
  • 1
  • 18
  • 1/5
  • 16
  • 1
  • 4

Оценка за работу:

6 правильных ответов - оценка « 3 »

8 правильных ответов - оценка « 4 »

10 правильных ответов - оценка « 5 »

Домашнее задание : § 16 № 16.6 , 16.9

Домашнее задание :

§ 16 № 16.6 , 16.9


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Методическая разработка урока математики на тему "Свойства логарифмов"

Автор: Заварзина Вера Геннадьевна

Дата: 26.11.2014

Номер свидетельства: 136068

Похожие файлы

object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(214) "Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Решение логарифмических уравнений»"
    ["seo_title"] => string(80) "metodicheskaia_razrabotka_otkrytogo_zaniatiia_po_distsipline_matematika_na_tem_1"
    ["file_id"] => string(6) "498565"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1549379788"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(149) "Методическая разработка урока математики на тему «Логарифмические неравенства»"
    ["seo_title"] => string(80) "mietodichieskaia_razrabotka_uroka_matiematiki_na_tiemu_logharifmichieskiie_niera"
    ["file_id"] => string(6) "362065"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1479934736"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(175) "Методическая разработка урока математики на тему "Показательная функция, её свойства и график" "
    ["seo_title"] => string(104) "mietodichieskaia-razrabotka-uroka-matiematiki-na-tiemu-pokazatiel-naia-funktsiia-ieio-svoistva-i-ghrafik"
    ["file_id"] => string(6) "136091"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417024692"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Методическая разработка урока по математике "Логарифмы и их свойства" "
    ["seo_title"] => string(75) "mietodichieskaia-razrabotka-uroka-po-matiematikie-logharifmy-i-ikh-svoistva"
    ["file_id"] => string(6) "156871"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421500865"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(145) "Методическая разработка урока математики на тему «Логарифмические уравнения»"
    ["seo_title"] => string(86) "mietodichieskaia-razrabotka-uroka-matiematiki-na-tiemu-logharifmichieskiie-uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "251141"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447181263"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства