Методическая разработка урока математики на тему «Показательные уравнения»

Государственное областное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

урока математики

на тему

«Показательные уравнения ».

Выполнил:

преподаватель математики

первой квалификационной категории

Заварзина В.Г.

Липецк 2015 г.

Тема урока:

«Показательные уравнения».

Цели урока:

1. Образовательные:

а) познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

б) создать условия для развития умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации

2. Развивающие:

а) развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;

б) развитие памяти студентов;

в)развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.

3. Воспитательные:

а) воспитание умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения

б) развитие познавательного интереса студентов;

в) развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели;

Тип урока: изучение нового материала

Вид урока: проблемный

Методические приемы:

-самостоятельная работа (работа с раздаточным материалом);

-практический- решение задач прикладной направленности.

Межпредметные связи: физика-химия.

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютер, классная доска, слайдовая презентация, интерактивная доска, учебник «Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией А.Г.Мордковича, чертёжные инструменты, карточки

Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность обучающихся.

Ход урока:

I.Организационный момент: подготовка студентов к уроку (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей, проверка готовности рабочих мест студентов и учителя, готовности учащихся к работе.)

На первом этапе учитель приветствует студентов, проверяет готовность группы к работе.

Тема урока « Показательные уравнения» (слайд 1)

А эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т. е. другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

А какие вообще виды уравнений вы знаете? (Рациональные, дробно – рациональные, тригонометрические, иррациональные, показательные)

Давайте сыграем с вами в следующую игру.

Эта игра проводится с целью актуализации знаний студентов.

Студенту предлагается в течение 60 секунд отвечать на вопросы. (листочки розданы заранее)

Звание «знатока на уроке» присваивается тому, кто ответил на большее количество вопросов. (итог в конце урока).

Вопросы (слайд 2)

(в скобочках ответы студентов)

1. Независимая переменная (х)

2. Наглядный способ задания функции (графический)

3. График четной функции симметричен относительно чего (Оу)

4. График квадратичной функции называется (парабола)

5. Что обозначают буквой D (область определения)

6. Способ задания функции с помощью формулы ( аналитический)

7. График какой функции - прямая (линейной)

8. О какой функции речь? Чем больше х, тем больше у. (возрастающая)

9. Свойство функции f(-x) = f(x ) (четность)

10. Множество значений, принимаемых независимой переменной

(область определения)

11) Что обозначают буквой Е ? (область значений)

12) График нечетной функции симметричен относительно чего

(начала координат)

13) О чем речь? Чем меньше х, тем больше у. (убывание)

14) Множество целых чисел - какая буква? (Z)

15) Точки пересечения графики функции с осью Ох (нули функции)

16) Множество действительных чисел –какая буква? (R)

17) Свойство функции f(-x) = - f(x) (нечетность)

Проверка ответов

а) определение

Преподаватель:

- Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить.

(Мотивация для изучения новой темы.) (слайды 3-6)

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величин. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий, стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.

Давайте рассмотрим следующие законы.

Изменение количества бактерий N=5^t

N-число колоний бактерий в момент времени t

t- время размножения (слайд 3-4)

Рост древесины происходит по закону A=A_0*a^kt
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.(слайд 5-6)

Давление воздуха убывает с высотой по закону:P=P_0*a^-kh
P- давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.

-Что общее объединяет эти процессы? -схожесть вида формулы.

Тема нашего урока -показательные уравнения.

Введение нового материала.

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
Простейший пример: =b, где а0, а≠1 .
Область значений показательной функции – множество положительных чисел.
Поэтому при b=b не имеет решений.
На промежутке  функция возрастает при а1и убывает при 00,а0, а≠1  уравнение =b имеет единственный корень х=. Решение показательного уравнения  основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).
При решении показательных уравнений полезно ввести замену переменной, чтобы свести к алгебраическому уравнению.

• Решение уравнений по определению.

• Решение уравнений по схеме.

Пример 1.

2^2х - 8^х+1 = 0

Рассмотрим основания. Они разные! Два и восемь. Вспомним, что

8 = 2³

Можно записать:

8^х+1 = (2³)^х+1

Вспомним

(аⁿ)^m = a^nm,

получается:

8^х+1 = (2³)^х+1 = 2^3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

2^2х - 2^3(х+1) = 0

Переносим 2^3(х+1) вправо получаем:

2^2х = 2^3(х+1)

Убираем основания:

2х = 3(х+1)

Решаем и получаем

х = -3

Ответ: х = -3

Пример 2.

3^2х+4 -11·9^х = 210

9^х = (3²)^х = 3^2х

По тем же правилам действий со степенями:

3^2х+4 = 3^2х·3⁴

Можно записать:

3^2х·3⁴ - 11·3^2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям.

Общий множитель 3^2х . Вынесем общий множитель:

3^2х(3⁴ - 11) = 210

Посчитаем выражение в скобках:

3⁴ - 11 = 81 - 11 = 70

70·3^2х = 210

Делим обе части уравнения на 70, получаем:

3^2х = 3

3^2х = 3¹

2х = 1

х = 0,5

Ответ: х = 0,5

Пример 3.

5^2х+1+2*5^2х+5^2х-1=900

Можно вынести общий множитель 5^2х-1

за скобки.

5^2x-1 (5² + 2*5 +1) = 900

5^2x-1 (25+10+1) = 900

5^2x-1 *36 = 900

5^2x-1 = 25

5^2x-1 =5²

2x-1 = 2

2х = З

x=1,5

Ответ : x=1,5

Пример 4.

(1/3)^2х-3,5 =(1/3)^0,5

2х-3,5=0,5

2х=4

x=2

Ответ: x=2

5.Устная работа. Давайте устно решим уравнения

Пример 6.

3^2x-8·3^х -9=0

Ученики видят, что надо заменить 3новой переменной.

Рассмотрим метод введения новой переменной 3^x = t; t0

t² -8t -9 =0

t₁=4-5=-1

t₂=4+5=9

-1 не удовлетворяет условию уравнения 10

Зх= 9

x=2

Ответ: x=2

IV. Закрепление изученного.

Самостоятельная тестовая работа. Проводится самостоятельная тестовая работа по двум вариантам (на 8 минут)

Я предлагаю вам выполнить некоторые задания

(учащиеся выбирают верный ответ, обосновывая выбор )

1.«Выбери показательную функцию».

а) Функции заранее записаны на доске

; ; ; ; ; ; ; ; ;

б). Из предложенного списка функций, выбрать функцию,

которая будет показательной:

V. Домашнее задание. (§12 № 12.1, 12.2) (слайд 7)

VI. Подведение итогов. Выставление оценок .

Ребята, давайте вспомним, что нового мы узнали сегодня на уроке?

Список литературы:

1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004.

3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2010.

4. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

• Показательные уравнения

Вопросы:

• Независимая переменная ( х ) Наглядный способ задания функции ( графический ) График четной функции симметричен относительно чего ( Оу ) График квадратичной функции называется ( парабола ) Что обозначают буквой D ( область определения ) Способ задания функции с помощью формулы
• Независимая переменная ( х )
• Наглядный способ задания функции ( графический )
• График четной функции симметричен относительно чего ( Оу )
• График квадратичной функции называется ( парабола )
• Что обозначают буквой D ( область определения )
• Способ задания функции с помощью формулы

( аналитический )

7.График какой функции - прямая ( линейной )

8. О какой функции речь? Чем больше х , тем больше у. ( возрастающая )

9.Свойство функции f (- x ) = f ( x ) ( четность )

10.Множество значений, принимаемых независимой переменной

• ( аналитический ) 7.График какой функции - прямая ( линейной ) 8. О какой функции речь? Чем больше х , тем больше у. ( возрастающая ) 9.Свойство функции f (- x ) = f ( x ) ( четность ) 10.Множество значений, принимаемых независимой переменной

( область определения )

11. Что обозначают буквой Е ? ( область значений )

12. График нечетной функции симметричен относительно чего

( начала координат )

13.О чем речь? Чем меньше х, тем больше у . ( убывание )

14. Множество целых чисел - какая буква? ( Z )

15. Точки пересечения графики функции с осью Ох ( нули функции )

16. Множество действительных чисел –какая буква? ( R )

17. Свойство функции f (- x ) = - f ( x ) ( нечетность )

Изменение количества бактерий

N=5 t

N - число колоний бактерий в момент времени t

t - время размножения

N=5 t

4

Рост древесины происходит по закону: A - изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t -время, к, а- некоторые постоянные.

Давление воздуха убывает с высотой по закону:

P - давление на высоте h, P 0 - давление на уровне моря , а - некоторая постоянная .

N=5 t

• ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

§12 № 12.1, 12.2