Логические операции

Логические операции и таблицы истинности

Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Сложное логическое выражение - логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.

Обозначение: F = A & B (А B, и, and, умножение)

Таблица истинности для конъюнкции

Пример.

А – «6 делится на 2», В – «6 делится на 3». Тогда A & B   – «6 делится на 2» «6 делится на 3» истинно.

2) Логическое сложение или дизъюнкция: Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Обозначение: F = A v B (or, или, сложение)

Таблица истинности для дизъюнкции

Пример.

А– «53», В – «24». Тогда A v B – «53» «24» истинно, так как истинно высказывание А.

3) Логическое следование или импликация: Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

«A → B» истинно, если из А может следовать B.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

Пример.

1)    А– «12 делится на 6», В – «12 делится на 3». Тогда импликация A → B – «если 12 делится на 6, то оно делится на 3» истинна, так как истинна посылка А, и истинно заключение В.

2)     А – «12 делится на 2 и 3», В – «12 делится на 7». Тогда импликация A → B – «если 12 делится на 2 и 3, то оно делится на 7» ложна, так как условие истинно, а заключение ложно.

4. Логическое отрицание или инверсия: Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими словами, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Обозначение: F = ¬A (¯, не А)

Таблица истинности для инверсии

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

«A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.
Обозначение: F = A ↔ B.
Таблица истинности для эквивалентности

Пример.

А– «Треугольник ABC с вершиной A и основанием BC равнобедренный», В – « B= C». Эквивалентность A ↔ B – «Треугольник ABC с вершиной A и основанием BC равнобедренный тогда и только тогда, когда  B= C.» Эквивалентность A ↔ B истинна, так как высказывания А и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

ЗАДАНИЯ

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) (2 = 2) И (7 = 7);

2) Не(15 

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён");

4) Не("Сосна" = "Дуб");

5) (Не(15  20);

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж");

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20).

8) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время");

9) (28  7) И (300/5 = 60);

10) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево");

11) Не((300  100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой"));

12) (75 

Пример 2. Обозначьте высказывания буквами. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

Пример 3. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно не вовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

3) Не "дуб - дерево".

Пример 4. Определите логическое значение выражения

(p → q) ↔ (r → s),

если

p = "278  5",

q = "Яблоко = Апельсин",

r = "0 = 9",

s = "Шапка покрывает голову".

Пример 5. Найдите значения логических выражений:

  F₁ = (0v0) v (1v1). 

  F₂ = (1v1) v (1v0).

  F₃ = (0&0) & (1&1).

  F₄ = ¬1 & (1v1) v (¬0&1).

  F₅ = (¬1v1) & (1v ¬1) & (¬1v 0). 

Пример 6. Есть два простых высказывания: А – «Число 10 – четное»;  В – «Волк – травоядное животное». Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Пример 7.

Даны высказывания: А - "Петя едет в автобусе", В - "Петя читает книгу", С - "Петя смотрит в окно".

   Составить формулы алгебры логики сложных высказываний:

1) "Неверно, что Петя едет в автобусе и читает книгу".

2) "Неверно, что Петя едет в автобусе, читает книгу или смотрит в окно".

3) "Петя не едет в автобусе, но при этом читает книгу или не смотрит в окно".

4) "Петя не едет в автобусе, не смотрит в окно – он читает книгу".

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) (2 = 2) И (7 = 7);

2) Не(15 

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён");

4) Не("Сосна" = "Дуб");

5) (Не(15  20);

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж");

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20).

Решение.

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

Решение.

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция:  ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция:  ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция:  .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения