Логика и логические операции

Урок по теме: «Основы логики. Алгебра высказываний».

Цели урока: познакомить детей с формами мышления, сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции; создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления; способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, работать в коллективе.

Ход урока.

I. Сообщение темы и целей урока.

    Как человек мыслит? Что в нашей речи является высказыванием, а что – нет? В чем сходство и различие в арифметическом умножении и логическом умножении, познакомимся с основными логическими выражениями и операциями, узнаем некоторые составляющие нашего мышления.  

II. Объяснение нового материала.

1. В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил ло­гические формы мышления от его содержания.

Логика-это наука о формах и способах мышления. Это учение о спо­собах рассуждений и доказательств. Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие- это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других. Пример: прямоугольник, проливной дождь, компьютер.

Высказывание — это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Ис­тинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

Пример: истинное высказывание: «Буква «а» - гласная», ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Пример.Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1.Какой длины эта лента? 2.Прослушайте сообщение.

3.Делайте утреннюю зарядку! 4.Назовите устройство ввода информации.

5. Кто отсутствует? 6.Париж — столица Англии. (ЛОЖЬ)

7. Число 11 является простым. (ИСТИНА) 8. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. 10. Сложите числа 2 и 5.

11.Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА) 12. Все медведи — бурые. (ЛОЖЬ)

13.Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.
Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или не­скольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

2. Логические выражения и операции

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная — это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение — латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение - F(A,B,...). На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции — логическое действие.

Существуют три базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и отрицание и дополнительные — импликация и эквивалентность.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С), которые могут принимать значения истина (1) или ложь (0).Истина, ложь – логические константы.         
Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операции.

Логические операции.

Конъюнкция ( логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и ∧.

A	B	A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Правила выполнения логической  операции  отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности: 
А – У меня есть знания  для сдачи зачета.
В – У меня есть  желание для сдачи зачета.
A&B – У меня есть знания и желание для сдачи зачета.

Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.

A	B	AVB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V. 
Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.
Обозначим через A  - летом я поеду в лагерь, B – летом я поеду в к бабушке.
AVB -  Летом я поеду в лагерь или поеду  к бабушке.

Вывод: логическая операция дизъюнкция  ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

A	¬A
1	0
0	1

Отрицание  или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом  ¬  , ¯. Пусть  A –  Сейчас на дворе лето.

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

А	В	АВ
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Логическое следование (импликация): если …, то … (если предпосылка, то вывод); знаки , . Таблица истинности:

АВ равносильно V В. Доказать.

А	В	АВ
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логическое равенство (эквивалентность): тогда и только тогда, когда …; знаки , . Таблица истинности:

АВ равносильно (A V ) & ( V B) или (&) V (A&B).

Доказать 1-е алгебраически на доске. Доказать 2-е с помощью электронных таблиц самостоятельно.

Последовательность выполнения операций: 
отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Кроме того, на порядок выполнения операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

III. Закрепление изученного материала.

Пример 1. Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические операции И, ИЛИ.

• Все ученики изучают математику. Все ученики изучают литературу.

Все ученики изучают математику и  литературу.

• X=3.

• Синий кубик меньше красного. Синий меньше зеленого.

• В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

Пример 2.  Вычислить значение логической формулы: не Х и У или Х и Z, если логические переменные имеют следующие значения: Х=0, У=1, Z=1
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в выражении: 
1.      не 0=1 
2.      1 и 1= 1 
3.      0 и 1 =0 
4.      1 или 0 =1 ответ: 1

Пример 3. Определите истинность формулы не Р или Q и не Р

P	Q	¬P	Q&¬P	¬P VQ&¬P
0	0	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА
0	1	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА
1	0	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
1	1	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ

Пример 4.Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Ле­том Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».

1.    Разобьем составное высказывание на простые высказывания: «Петя поедет в дерев­ню», «Будет хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку».

Обозначим их через логические переменные: А = Петя поедет в деревню;В = Будет хорошая погода;С = Он пойдет на рыбалку.

2.      Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки:F = A& (B+C). 

Пример 5. .Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1.Число 17 нечетное и двузначное.

2.Неверно, что корова - хищное животное.

Пример 6. Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

1.Неверно, что 10Y5 и Z(ответ:(Y 5) & (Z

2.Z является min(Z,Y) (ответ: Z

3.А является max(A,B,C) (ответ: (АВ)&(АС)).

4.Любое из чисел X,Y,Z положительно (ответ: (X0)v(Y0)v(Z0).

5.Любое из чисел X,Y,Z отрицательно (ответ: (X

6.Хотя бы одно из чисел K,L,M не отрицательно (ответ: (К 0) v (I 0) v(M О))

7.Хотя бы одно из чисел X,Y,Z не меньше 12 (ответ: (X 12) v(Y 12) v (Z 12))

8.Все числа X,Y,Z равны 12 (ответ: (X=12)&(Y=12)&(Z=12)).

9.Если X делится на 9, то X делится и на 3 ((X делится на 9)→(X делится на 3)).

10. Если X делится на 2, то оно четное ((X делится на 2)→(X - четное)).

IV.   Подведение итога урока, выставление оценок.

V. Домашнее задание выучить основные определения по тетради, знать обозначения.