Конспект урока алгебры в 11 классе по теме "Показательные уравнения"

Урок алгебры 11 класс
Автор УМК А.Г. Мордкович

Тема урока «Решение показательных уравнений»

Цели: формировать умения решать показательные уравнения методами подстановки, разложения на множители, графическим методом и др., а также однородные показательные уравнения и системы показательных уравнений, осуществлять подготовку к итоговой аттестации.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Решения показательных уравнений сводится либо к квадратному или дробному уравнению, либо к степенному. Стоит обратить внимание, что t 0 (так как E (f) = (0; +) для функции f (x) = a^x), значит, полученные корни t  0 «отбрасываем» как посторонние.

2. Рассматриваем упражнение № 40.19 (а) 2^х = 3^х. Уравнения вида

a^{f (x)} = b^{f (x)} решаются методом деления обеих частей уравнения на одно из выражений a^{f (x)} или b^{f (x)} (они отличные от нуля).

2^x = 3^x / : 3^x; ; = 1; ; x = 0.

3. На этом приеме основывается метод решения однородных показательных уравнений. Их можно «узнать» по наличию нескольких оснований степени, входящих в уравнение.

№ 40.27 (а)

3 · 2^2x + 6^x – 2 · 3^2x = 0;

3 · 2^2x + 2^x · 3^x – 2 · 3^2x = 0 / : 3^2x

3 · – 2 · = 0;

3 · – 2 = 0.

Как видим, алгоритм решения однородных уравнений достаточно прост:

I шаг. Представляем все степени в виде степеней только с двумя основаниями.

II шаг. Делим обе части уравнения на одну из степеней.

III шаг. Получаем показательное уравнение с одним основанием степени (дробным) и решаем его методом подстановки.

4. Решение систем показательных уравнений.

Основной метод решения систем уравнений – метод подстановки.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, можно условно разбить на группы.

I группа. Уравнения, сводящиеся к квадратным либо линейным методом подстановки.

№ 40.14 (а; в), 40.15, 40.17 (а; б), 40.18*.

Решение:

№ 40.14 (в).

– 6 = 0.

Пусть = t, t 0, тогда уравнение примет вид t² – 5t – 6 = 0;

t₁ = –1; t₂ = 6

не удовл.

= 6; x = –1.

Ответ: х = –1.

№ 40.15 (б).

3 · 9^х – 10 · 3^х + 3 = 0.

3 · 3^2х – 10 · 3^х + 3 = 0.

Пусть 3^х = t, t 0, тогда уравнение примет вид 3t² – 10t + 3 = 0.

D = (10)² – 4 · 3 · 3 = 100 – 36 = 64.

t₁ = = 3; t₂ = ;

3^х = 3; 3^х = ;

х = 1. х = –1.

Ответ: –1; 1.

№ 40.17 (б).

– 32 = 0;

– 32 = 0;

– 4 · – 32 = 0;

Пусть = t, t 0, тогда уравнение примет вид t² – 4t – 32 = 0.

t₁ = –4; t₂ = 8

не удовл.

= 8;

х = –3.

Ответ: х = –3.

№ 40.18* (б).

+ 188 = 8 · 2^x – 0,5^{3 – x};

;

2^{x + 1} + 188 – 8 · 2^x + 2^{x – 3} = 0;

2 · 2^x + 188 – 8 · 2^x + · 2^x = 0;

5,875 · 2^х = 188;

2^х = 32;

2^х = 2⁵;

х = 5.

Ответ: х = 5.

II группа. Уравнения вида a^{f (x)} = b^{f (x)}.

№ 40.19 (в), 40.20*, 40.21.

Решение:

№ 40.20* (а).

3^x · 7^{x + 2} = 49 · 4^x;

3^x · 49 · 7^x = 49 · 4^x;

49 · 21^x = 49 · 4^x;

21^x = 4^x / : 4^x

;

= 1;

х = 0.

Ответ: х = 0.

№ 40.21 (б).

35^{4x + 2} = 5^{3x + 4} · 7^5x;

35² · 35^4x = 5⁴ · 35^3x · 7^2x / : (5² · 35^3x);

7² · 35^x = 5² · 7^2x / : (7² · 7^2x);

;

х = 2.

Ответ: х = 2.

III группа. Уравнения, решаемые функционально-графическим методом.

№ 40.23.

При выполнении упражнений необходимо построить графики показательной и линейной функции и, учитывая характер монотонности обеих функций, найти абсциссу точки пересечения. Правильность полученного ответа проверяем подстановкой в исходное уравнение.

IV группа. Однородные уравнения и уравнения повышенной трудности № 40.25, 40.26 (а; б), 40.27 (а; б).

Решение:

№ 40.26 (б).

;

12^x + 143 = 12^{x + 2};

12^x + 143 = 144 · 12^x;

143 = 144 · 12^x – 12^x;

143 = 143 · 12^x / : 143

1 = 12^х;

х = 0.

Ответ: х = 0.

V группа. Системы показательных уравнений.

№ 40.28 (а; б), 40.29 (а; б).

Решение:

№ 40.29 (б).

Ответ: (–0,6; 0,2).

V. Решение заданий из открытого банка ЕГЭ (сайт ФИПИ)

1. Найдите корень уравнения 36^x − 5​=16.

2. Найдите корень уравнения 49^x − 2​=17

3. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

4. 

VI. Итоги урока.

VII. Домашнее здание: № 40.14 (б; г), 40.16, 40.17 (в; г), 40.19 (б; г), 40.22, 40.24, 40.27 (в; г).