Конспект урока "Уравнение касательной к графику функции"

Дата:__________________

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

2. Развивать логическое мышление, математическую речь.

3. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

“Человек лишь там чего–то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

Ход урока.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример.

Пусть дана парабола  и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования.

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

1. Сформулировать определение производной.

2. Заполнить таблицу произвольных элементарных функций.

3. Вспомнить правила дифференцирования.

4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение  и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абсциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле  .

Если мы теперь устремим  к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной  будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной.

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x)в этой точке  .

Это и есть геометрический смысл производной.

Причем, если :

1. 

2. 

3. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции.

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

1. к параболе  в точке  

2. к графику функции  в точке 

Решая эти примеры, мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

2. Вычислим .

3. Найдем  и .

4. Подставим найденные числа , в формулу 

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1) 

2) 

3) ; 

4) Подставим найденные числа ,,  в формулу.

Получим:

, т.е. 

Ответ: 

№2. К графику функции  провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что  и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) , 

2) , 

3) 

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е. 

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?

• В чем заключается геометрический смысл производной?

• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление оценок.