"Конспект урока Первый признак равенства треугольников"

§3 Конспект урока «Первый признак равенства треугольников»

7 класс

Учебник: : Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие) — М. : Просвещение, 2000.

Пункт 15.

Учебная задача урока:

1. Найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих соответственно по две равные стороны и угол между этими сторонами;

2. Ввести понятие «теорема», логическую структуру формулировки теоремы, что называется «доказательством», «метод доказательства».

3. Выделить схему доказательства.

Ожидаемые результаты урока

• В результате ученик:

• Знает формулировку первого признака равенства треугольников;

• Знает, что такое «теорема»;

• Знает логическое строение теоремы;

• Знает, что такое доказательство;

• Знает, что бывают разные методы доказательства;

• Осознаёт идею доказательства: использование приёма наложения треугольников;

• Умеет доказывать первый признак равенства треугольников;

• Умеет выделять равные треугольники, используя определение и первый признак равенства треугольников (по готовым чертежам).

Структура урока.

1. Организационный момент — готовность учащихся к уроку.

2. Актуализация знаний определение равных фигур ( треугольников) — фронтальная работа по готовым чертежам. Мотивация введения первого признака — решение конкретно практической задачи.

З. Содержательный этап: формулировка первого признака, запись доказательства.

4. Этап осознания и осмысления теоремы и её доказательства: фронтальная работа по выявлению равных треугольников по первому признаку по готовым чертежам.

5. Первичное закрепление первого признака: выделение шагов в решении задачи на доказательство равенства треугольников.

6. Подведение итогов урока, прёдъявление домашнего задания.

Методы обучения:

1. По источнику передачи и восприятия информации: словесные (эвристическая беседа); практические: поиск равных треугольников по готовым чертежам;

2. По логике изложения: дедуктивный;

3. По характеру познавательной деятельности учащихся и участия учителя в учебном процессе: частично поисковый, репродуктивный;

4. По степени управления учебной деятельностью: под руководством учителя через систему целесообразно подобранных задач;

5. Методы мотивации: создание проблемной ситуации;

6 Методы контроля и самоконтроля: самоконтроль на этапе осознания и осмысления

новой теоремы при распознавании пар равных треугольников по первому признаку.

Оборудование урока.

Треугольный вырез для изображения треугольников у учителя и у учащихся; цветные мелки; рисунки на доске: рисунки для этапа осознания и осмысления нового, рисунки для первичного закрепления первого признака равенства треугольников.

Ход урока.

К уроку учащиеся строят два треугольника: (на отдельном листе) ∆АВС, у которого: АВ=4 см, АС = З см, 0 и ∆А₁В₁С₁, у которого: А₁В₁ = 4 см, А₁С₁ = З см, 1=50⁰.И эти треугольники необходимо вырезать.

Учитель. На прошлом уроке мы с вами изучили новое понятие — понятие равных треугольников и вывели следствие из определения равных треугольников. Сформулируйте это определение и следствие из него.

Ученики: Определение: если один треугольник можно совместить наложением с другим треугольником, то такие треугольники называются равными.

Следствие: В равных треугольниках против равных углов лежат соответственно равные стороны.

Учитель: Хорошо. Ребята, каким же образом можно установить, что два треугольника равны?

Ученики: Наложением или измерить шесть элементов в одном треугольнике, а затем в другом и посмотреть совпадают ли соответствующие элементы.

Учитель: Неудобно, это очень долго. Нет ли какого другого способа?

На практике используется следующий способ.

Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А и к точке В, и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СА1=АС и СВ1=ВС. Тогда отрезок А1В1 равен искомому расстоянию.

Какое возникает предположение?

Ученики: Так как АС = А₁С₁ и ВС = В₁С₁, 1С₁В₁ как вертикальные, то скорей всего то возникает предположение, что треугольники равны. А из равных треугольников будет следовать равенство соответствующих сторон.

Учитель: Сформулируйте предположение.

Ученики: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: Ребята посмотрите на треугольники, которые вы дома должны были заготовить и сравните их.

Ученики: Эти треугольники равны, так как они полностью совместились.

Учитель: Какова особенность у этих треугольников?

Ученики: У этих треугольников есть две пары равных сторон и пара равных углов между этими сторонами.

Учитель: Правильно. Для этих конкретных треугольников предложение, которое вы сформулировали истинно.

Будет ли истинно это предложение для любых треугольников, для которых выполняются эти условия?

Ученики: Для треугольников, которые мы построили дома, это утверждение выполняется.

Ученики высказывают свои предположения, о том верно ли сформулированного предложения.

Учитель: Интуиция подсказывает, что сформулированное предложение будет верно для любых треугольников.

Давайте рассмотрим два равных угла: 1. На одной стороне угла А отметим точку В, а на другой — точку С. И на одной стороне угла А₁ отметим точку В₁, так чтобы АВ=А₁В₁, а на другой — точку С1, так чтобы АС = А1С1.

Итак мы хотим установить равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁. Ребята, что мы можем использовать, чтобы установить равенство треугольников?

Ученики: Определение равных треугольников.

Учитель: Верно. Ребята ещё раз посмотрите на данный рисунок и назовите, какие пары элементов соответственно равны в этих треугольниках?

Ученики: АВ = А₁В₁, АС=А₁С₁, 1.

Учитель: действительно, в треугольниках выделены две стороны и угол между ними. Можно сказать и так: две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

Как сформулировать задачу, которую нам предстоит решать?

Ученики: Найти способ доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между этими сторонами по определению.

Учитель: Хорошо в правой части тетрадного листа сделайте рисунок, который дан на доске, пользуясь «вырезом». Запишите, что дано и что нам надо доказать.

С помощью чего будем доказывать равенство треугольников?

Ученики: С помощью определения.

Учитель: По определению, какие треугольники называются равными?

Ученики: Которые совпадут при наложении.

Учитель: Как же проверить совпадут ли треугольники при наложении?

Ученики: Нужно наложить треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ и посмотреть совпадут они или нет.

Учитель: Верно. Ребята наложение треугольников можно использовать, если выполняются некоторые условия: когда есть равные углы и можно быть уверенным в том, что совместятся соответствующие лучи.

В нашем случае мы можем наложить треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁?

Ученики: Можем, так как 1.

Учитель: Верно. Так как 1, то вершины А и А₁ совместятся, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

Ребята, что нам ещё дано в условии?

Ученики: АВ = А₁В₁.

Учитель: Правильно. Так как АВ = А₁В₁ то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, то есть точка В совместится с точкой В₁.

Какое мы ещё не использовали условие задачи?

Ученики: АС=А₁С₁.

Учитель: Из того, что АС=А₁С₁ следует, что сторона АС совместится со стороной А₁С₁, то есть точка С совместится с точкой С₁.

Так как концы отрезков совместились, то ВС совместится с В₁С₁.

Что мы получили? Что треугольник АВС полностью совместился с треугольником А₁В₁С₁. Значит по определению ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Учитель повторяет рассуждения ещё раз. После этого ученики под руководством учителя записывают доказательство в тетрадях.

доказательство.

1. Наложим ∆АВС на треугольник ∆А₁В₁С₁, так чтобы луч АВ совместился с лучом А₁В₁ и луч АС — с лучом А₁С₁. Это возможно, так как 1.

2. Так как АВ = А₁В₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, то есть точка В совместится с точкой В₁.

3. Так как АС = А₁С₁ следует, что сторона АС совместится со стороной А₁С₁, то есть точка С совместится с точкой С₁.

4. Так как концы отрезков совместились, то ВС совместится с В₁С₁.

5. ∆АВС полностью совместился с треугольником ∆А₁В₁С₁. Значит по определению ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

После этого доказательство можно предложить провести ученику, но по записи.

Учитель: Ребята мы с вами сформулировали утверждение. Нам было дано: два произвольных треугольника с соответственно равными элементами. Мы установили, что такие треугольники равны.

Далее учитель обращается к доске на которой записано два утверждения: 1) Если один треугольник можно совместить наложением с другим треугольником, то такие треугольники называются равными; 2)Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ребята прочитайте внимательно эти утверждения и ответьте на вопрос, чем отличаются эти два утверждения друг от друга.

Ученики: Первое утверждение это определение равных треугольников, в этом предложение есть слово называется. А второе утверждение мы только что проверяли, верно оно или нет путём рассуждений, опираясь на определение равных треугольников.

Учитель: Верно. Ребята в математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Каждая теорема имеет условие и заключение. То, что нам дано, называется условием теоремы, а то, что нужно доказать — заключением. Рассуждения, то есть доказательств теоремы можно проводить различными способами, используя различные приёмы и методы.

Ребята сформулированное нами утверждение является теоремой? И если является, то почему? Приведите примеры утверждений – определений и утверждений - теорем

Ученики: Является, потому что ёго справедливость мы устанавливали путём рассуждений, опираясь на определение равных треугольников. Пример утверждения определения: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого; пример утверждения – теорем: Вертикальные углы равны.

Учитель: Верно. Назовите условие и заключение доказанной нами теоремы.

Ученики: Условие: две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними другого треугольника. Заключение: треугольники равны.

(Учитель на доске, а ученики в тетрадях подчёркивают условие и заключение данной теоремы).

Учитель: Хорошо. Как вы думаете в ходе наших рассуждений каким приёмом мы пользовались? Мы использовали определение, а чтобы использовать определение какое действие мы сделали над треугольниками?

Ученики: Наложение.

Учитель: Верно. Ребята при доказательстве данной теоремы мы использовали приём наложения.

Ребята с помощью этой теоремы, что мы можем узнать, то есть для чего используется эта теорема?

Ученики: Мы можем узнавать равные треугольники, то есть используем для доказательства равенства треугольников.

Учитель: Правильно. Поэтому эта теорема называется признак равенства треугольников. Таких признаков несколько. Мы с вами рассмотрели первый.

Учитель: Проверим, как вы поняли формулировку этой теоремы. Обратимся к рисункам а)-г). Найдите на рисунках равные треугольники. Объясните, почему треугольники равны.

Для рисунка а) рассуждения я проведу сама. На рисунке а) можно выделить два треугольника: ∆АОС и ∆DОВ. В этих треугольниках АО =ОВ, СО = ОD, DОВ как вертикальные. Следовательно по пёрвому признаку ∆АОС=∆DОВ.

Затем учитель спрашивает одного из учеников.

Ученики: На рисунке б) ∆МРN = ∆QМN, так как МР = МQ, N = QМN, МN — общая сторона. Тогда по первому признаку треугольники равны.

Учитель: Правильно. А на рисунке в) есть равные треугольники?

Ученики: Да, ∆DАС = ∆ВСА, по первому признаку (DС=АВ, DСА =

Учитель: Верно. А на рисунке г)?

Ученики: Нет. Так как DДВ≠DВ.

Учитель: Хорошо. Ребята теперь посмотрите на рисунки д) — ё). Даны два треугольника, в которых отмечены равные элементы. Дополните условия так, чтобы треугольники были равны по первому признаку.

Ученики: На рисунке д) ∆HQS и ∆HLS, в которых: SН — общая сторона, QS = SL. Для того чтобы воспользоваться первым признаком необходимо, чтобы QSH=LSH.

Учитель: Верно.

Аналогичная работа проводится с рисунками е) и ё).

Учитель: Ребята давайте подведём итог нашего урока. Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Ученики: Что существуют различные виды математических утверждений: определение, теорема,что такое теорема, доказательство теоремы, что каждая теорема имеет условие и заключение, что существуют разные способы доказательства теорем, сформулировали и доказали первый признак равенства треугольников.

Учитель: Каким же образом можно установить равенство двух треугольников?

Ученики: Можно используя определение и первый признак равенства треугольников.

Учитель: Каким образом мы с вами доказывали первый признак равенства треугольников?

Ученики: Используя приём наложения.

Учитель: Всегда ли мы можем использовать приём наложения?

Ученики: Нет, если у нас есть равные углы.

Учитель: Правильно. Записываем домашнее задание: прочитать пункт 15 в учебнике и выучить формулировку и доказательство первого признака равенства треугольников и №93-№95.