Конспект урока математики "Решение уравнений с модулем"

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Решение уравнений с модулем

	ФИО (полностью)	Расихина Валентина Аркадьевна
	Место работы	Муниципальное общеобразовательное учреждение Жуковская средняя общеобразовательная школа №1
	Должность	Учитель математики
	Предмет	Алгебра
	Класс	10
	Тема и номер урока	Решение уравнений с модулем. Урок №4 в теме
	Базовый учебник	Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений.- М.:«Просвещение», 2011

8.Цель урока: формирование умений и навыков решения уравнений с модулем при помощи равносильных зависимостей;

Задачи:

-Обучающие: формирование умений и навыков решения уравнений с модулем при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел;

-Развивающие: развитие мышления и элементов творческой деятельности;

расширение математического кругозора учащихся; развитие умения чётко и ясно излагать свои мысли;

-Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументированно отстаивать свои взгляды;

10.Тип урока: комбинированный

11.Формы работы учащихся: индивидуальное выполнение учебных заданий; коллективная работа; фронтальная проверка; коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

12.Оборудование: ПК, проектор, экран, печатный материал к уроку.

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Автор: Я.А. Коменский

К. С. Станиславский любил рассказывать такую притчу: «Индийский магараджа считал умение сосредоточиться настолько важным, что решил назначить министром того, кто владеет им лучше других. Поэтому он предложил претенденту на эту должность пронести по стене вокруг города большой кувшин с молоком, не пролив ни капли. При этом слуги должны были его всячески отвлекать. Многие пытались пронести кувшин, но терпели неудачу. Только один человек сумел выполнить условие магараджи. «Ты слышал крики?» — спросили его потом. «Нет».— «Ты слышал звуки выстрелов?» — «Нет».— «Ты видел, как вокруг тебя плясали, смеялись, прыгали?» — «Нет. Я ничего не видел и не слышал. Я смотрел на молоко». О чём эта притча? Как вы считаете? (о внимании)

13.Структура и ход урока

1.Орг. момент

Организация учащихся к работе на уроке.

3. Проверка домашнего задания

Приступаем к проверке домашнего задания (электронная презентация). На дом были предложены уравнения

1.׀2х+3׀ = 5

2. ׀-33х+24׀ = -8

3. ׀1 – 3х׀ = 9+2х

4. ׀х׀ - 2׀х+1׀ +3׀х+2׀ = 0

5. ׀х׀(х+3) = -2

6. + ׀х-1׀ = 2

7.

Какие из них вызвали затруднения?

(Отвечают, что №5 и №7, могут быть затруднения и в №4)

Кто справился с решением №5 и решением №7?

Решение какого номера рассмотрим подробнее?

Своё решение представит ----------. (Учащимся было предложено в домашней работе подготовить решение на слайде). Решение номера можно будет посмотреть на перемене (учащиеся, которым было предложено решение представить на отдельных листах, вывешивают их на магнитную доску.)

№5. ׀х׀(х+3) = -2

Решение:

Если х≥0, то х(х+3) = -2,

х² + 3х +2 =0,

D=b² – 4ac = 3² – 4۰1۰2=1,

х₁=-1, х₂=-2. Оба корня не удовлетворяют условию, что х≥0.

Если х

-х²-3х+2=0,

х²+3х-2=0,

D=17, х₁= - не подходит, так как больше нуля, =.

Ответ: х =.

Кто из вас решил это уравнение другим способом?

Если х0, то х۰(х+3) = -2 – решений нет.

Если х=0, то х۰(х+3) = -2 – решений нет.

Если х2+3х-2=0. Ответ: х =.

Рассмотрим решение уравнения №7.

х⁴ + х² +4׀х² – х׀ = 2х³ +12.

Решение:

х⁴ + х² +4׀х² – х׀ - 2х³ =12,

х⁴- 2х³+ х² +4׀х² – х׀=12,

(х² - х)²+4׀х² – х׀=12.

Применим свойство: ׀а²׀ = а². Пусть׀ х²-х ׀= t, где t ≥0, тогда получим уравнение

t² +4t – 12 =0.

Откуда t=2, t=-6. -6 - не подходит. При t=2 получаем, что ׀ х²-х ׀= 2. Отсюда,

х²-х =2 или х²-х =-2. Решая эти уравнения, получаем, что х₁=2, х₂=-1.

3.Повторение (Цель: проверка овладения понятийным аппаратом, основными действиями).

Заполнение пропусков в таблице с теоретическими сведениями

Заполните пропуски в утверждениях:

№п/п	Вариант 1	Проверка
1.	Модули противоположных чисел ______________
2.	Квадратный корень из квадрата числа равен ___________
3.	׀а׀ = ____, если а ≥ 0.
4.	Геометрический смысл модуля заключается в том, что модуль - _______________________________.
5.	Модуль частного двух чисел равен _______________________________, если делитель не равен нулю.

№п/п	Вариант 2	Проверка
1.	Квадрат модуля числа равен __________________
2.	Модуль числа есть число ______________________
3.	׀а׀ = ____, если а
4.	Модуль произведения двух и более чисел равен ________________________________________.
5.	Постоянный положительный множитель можно выносить ___________________________________

Подведение итогов.

«5» - 5 верных ответов

«4» - 4 верных ответа

«3» - 3 верных ответа

4. Изучение нового материала (цели: формирование умений и навыков решения уравнений с модулем при помощи равносильных зависимостей).

Как бы вы сгруппировали предложенные уравнения по способам решения?

1. ׀5х-2׀ = 4

2. ׀3-7х׀ = -2

3. ׀х+1׀=׀2х+5׀

4. ׀14 – 2х׀ =3-5х

5. 

6. ׀3х-8׀ +׀2-4х׀ +׀х-5׀ =7

7. 

8. ׀2х׀ =׀3х-1׀

9. 

10. ׀10х-2׀ = 4х-8

11. ׀3-8х׀ =5

12. 

1,7,11 – по определению модуля, 2 – не имеет решения, так как модуль величина неотрицательная, 5, 12 – воспользуемся определением модуля и рассмотрим условия, когда х-1≥0, х-1 , №6 – применение универсального метода (метода интервалов).

Далее, 3 и 8 уравнения. Предложите способ их решения. Можно решить методом интервалов. Ещё? Свой способ решения предлагает ученица, которая занималась данным вопросом при подготовке исследовательской работы. Данные уравнения можно решить по – иному, используя равносильность между числами и модулями этих чисел, а также между квадратами данных чисел.

Помимо приведенных выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

Если |a|=|b׀, то a=b или a=-b. (1)

Если a²=b² , то a=b или a=-b (2)

Отсюда в свою очередь получим, что если

|a|=|b|, то это равносильно тому, что a²=b²(3)

Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5

x – 2x=-5 – 1 x + 2x=5 – 1

-x=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=.

Таким образом, корни исходного уравнения x₁=6, x₂=4/3

2. В силу соотношения (3), получим

(x + 1)²=(2x – 5)², или x² + 2x + 1=4x² – 20x + 25

x² – 4x² +2x+1 + 20x – 25=0

-3x² + 22x – 24=0|(:-1)

3x² – 22x + 24=0

D/4=121-3 ´ 24=121 – 72=490 уравнение имеет 2 различных корня.

x₁=(11 – 7 )/3=

x₂=(11 + 7 )/3=6

Ответ: x₁=6, x₂=

2. Решим уравнение (2x + 3)²=(x – 1)².

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1

2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3

х=-4 х=

Таким образом, корнями уравнения являются х₁=-4, х₂=.

Ответ: х₁=-4, х₂=.

Далее учащиеся самостоятельно решают уравнение |x – 6|=|x² – 5x + 9|. Выбираем рациональный способ. Все учащиеся выполняют решение уравнения самостоятельно, один ученик на закрытой доске. Далее проверяем решение.

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х² – 5х + 9 или х – 6 = -(х² – 5х + 9)

-х² + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x² + 5x - 9

x² - 6x + 15=0 x² – 4x + 3=0

D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 0, 2 к.

корней нет.

x₁=(4- 2 ) /2=1

x₂=(4 + 2 ) /2=3

Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|

5 = 5(верно) 3 = |9 – 15 + 9|

3 = 3(верно)

Ответ: x₁=1; x₂=3

5. Обучающая самостоятельная работа (цель: проверка усвоения материала, отработка навыков решения уравнений с модулем).

Вариант 1

№п/п	Задание	Ответы
1.	Решите уравнение двумя способами ׀3-4х׀ = ׀5 – 6х׀
2.	Решите уравнение
3	Решите уравнение

Вариант 2

№п/п	Задание	Ответы
1.	Решите уравнение двумя способами
2.	Решите уравнение
3	Решите уравнение

5.Домашнее задание

Решите уравнения:

а) ׀2х׀ =׀3х-1׀

б) ׀3-4х׀ = ׀5 – 6х׀

в)

г)

д)

е)+=

Уравнения а) б) сделать двумя способами. При решении уравнений а, б) обратить внимание на уравнения, получаемые при переходе от уравнений с модулем к квадратным уравнениям.

6. Рефлексивно – оценочный этап

1. Собственная оценка за работу на уроке.

2.Кто себе поставил «5», «4»?

3.Какой момент наиболее интересен был на уроке?

Где пришлось более всего концентрироваться, вдумываться?

1. Заполните пропуски в утверждениях

№п/п	Вариант 1	Проверка
1.	Модули противоположных чисел ______________
2.	Квадратный корень из квадрата числа равен ___________
3.	׀а׀ = ____, если а ≥ 0.
4.	Геометрический смысл модуля заключается в том, что модуль - _______________________________.
5.	Модуль частного двух чисел равен _______________________________, если делитель не равен нулю.

2.Решите уравнение двумя способами: |x + 1|=|2x – 5|

3. Решите уравнение: (2x + 3)²=(x – 1)².

4. Решите самостоятельно уравнение: |x – 6|=|x² – 5x + 9|.

5. Обучающая самостоятельная работа

Вариант 1

№п/п	Задание	Ответы
1.	Решите уравнение двумя способами ׀3-4х׀ = ׀5 – 6х׀
2.	Решите уравнение
3	Решите уравнение

3.Домашнее задание

Решите уравнения:

а) ׀2х׀ =׀3х-1׀

б) ׀3-4х׀ = ׀5 – 6х׀

в)

г)

д)

е)+=

Уравнения а) б) сделать двумя способами. При решении уравнений а, б) обратить внимание на уравнения, получаемые при переходе от уравнений с модулем к квадратным уравнениям.

1.

№п/п	Вариант 2	Проверка
1.	Квадрат модуля числа равен __________________
2.	Модуль числа есть число ______________________
3.	׀а׀ = ____, если а
4.	Модуль произведения двух и более чисел равен ________________________________________.
5.	Постоянный положительный множитель можно выносить ___________________________________

2.Решите уравнение двумя способами: |x + 1|=|2x – 5|

3. Решите уравнение: (2x + 3)²=(x – 1)².

4. Решите самостоятельно уравнение: |x – 6|=|x² – 5x + 9|.

5. Обучающая самостоятельная работа

Вариант 2

№п/п	Задание	Ответы
1.	Решите уравнение двумя способами
2.	Решите уравнение
3	Решите уравнение

3.Домашнее задание

Решите уравнения:

а) ׀2х׀ =׀3х-1׀

б) ׀3-4х׀ = ׀5 – 6х׀

в)

г)

д)

е)+=

Уравнения а) б) сделать двумя способами. При решении уравнений а, б) обратить внимание на уравнения, получаемые при переходе от уравнений с модулем к квадратным уравнениям.