kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Одной из тем курса дисциплины «Математика» для 1 курса всех специальностей является тема «Логарифмические функции». При изучении материала этой темы к решению логарифмических уравнений необходимо уделить особое внимание, так как при решении уравнений используется весь теоретический материал по теме «Логарифмы». Кроме того, необходимо знать методы решения линейных и квадратных уравнений. Решение логарифмических уравнений будет использоваться при дальнейшем изучении дисциплины уже на втором курсе обучения при решении дифференциальных уравнений. В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами. Каждый из компонентов дидактической структуры урока связан с предыдущими, что прослеживается по всему материалу данной темы. В разработке представлен план урока с распределением времени, конспект лекции и задания различной степени сложности для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока "Решение логарифмических уравнений" »

Введение.


Одной из тем курса дисциплины «Математика» для 1 курса всех специальностей является тема «Логарифмические функции». При изучении материала этой темы к решению логарифмических уравнений необходимо уделить особое внимание, так как при решении уравнений используется весь теоретический материал по теме «Логарифмы». Кроме того, необходимо знать методы решения линейных и квадратных уравнений. Решение логарифмических уравнений будет использоваться при дальнейшем изучении дисциплины уже на втором курсе обучения при решении дифференциальных уравнений.

В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами. Каждый из компонентов дидактической структуры урока связан с предыдущими, что прослеживается по всему материалу данной темы. В разработке представлен план урока с распределением времени, конспект лекции и задания различной степени сложности для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала. (Приложения А-В).

Новый материал лучше усваивается при практической реализации полученных теоретических знаний, поэтому практическим заданиям уделено большое внимание на всем протяжении урока. Задания должны быть выполнены индивидуально, с последующим разбором у доски. Это прививает студентам ответственность за выполнение конкретного задания, воспитывает внимательность, точность.






План урока №44




По предмету

«Математика»

I курс

Тема урока

«Решение логарифмических уравнений»

Цели урока:



образовательная

Изложение нового материала, проверка, систематизация и закрепление знаний, умений и практических навыков

студентов.


развивающая

развивать логическое мышление студентов, расширять кругозор знаний учащихся, прививать интерес к изучаемому предмету, применять знания в новой ситуации, анализировать, делать выводы.

воспитательная

воспитывать внимательность, аккуратность, точность, чувство ответственности за качество и результаты выполняемой работы, прививать сознательное отношение к труду, формировать ответственность за конечный результат

Тип урока

Вид занятия

комбинированный

Урок формирования умений и навыков

Наглядные пособия

Карточки заданий на повторение, опорные конспекты, карточки заданий на усвоение нового материала

Организационный момент

5 мин.

Воспроизведение и актуализация опорных знаний:

30 мин.


  1. Проверка домашнего задания

  2. Повторение материала через устную работу с группой


3.

Постановка цели занятия и определение темы. Изложение нового материала:

«Решение логарифмических уравнений»


20 мин

4.

Первичное закрепление нового материала

30 мин.


а) Решение несложных заданий


5.

Подведение итогов занятия

5 мин.




Ход урока

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите

в воду, а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их! Трудность решения в какой-то мере

входит в само понятие задачи: там, где нет

трудности, нет и задачи». Д. Пойа

«Решение трудной математической проблемы

можно сравнить с взятием крепости».

Н.Я. Виленкин

  1. Оргмомент.

  2. Актуализация опорных знаний учащихся.

а) Проверка домашнего задания.

Если что-то не получилось, разбираем подробно у доски.

Сегодня наше занятие будет посвящено логарафмическим уравнениям и их решению. Работать мы будем в стиле соревнования между тремя командами.

Правила соревнования:

Каждой команде выданы задания для выполнения. Задания разноуровневые, поэтому цвета карточек различны (задания на «3» серые, на «4» оранжевые, на «5» желтые). Ребята выбирают задания и выходят решать к доске. В каждой команде есть командир, который будет помогать при возникающих затруднениях в решении. Команде присваивается то количество баллов, которому соответствует задание и студент получает оценку. Если командиру пришлось решать задание полностью, то команде засчитывается только 1 балл.

б) Повторение опорных знаний.

На предыдущих занятиях вы познакомились с логарифмической функцией и её свойствами, научились выполнять логарифмические преобразования и вычислять значения. Перед знакомством с новым материалом мы закрепим знания повторением.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a 0, a ≠ 1 и b 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a 0, a ≠ 1, N1 0, N2 0).

Замечание. Если N1·N2 0, тогда свойство P2 примет вид

loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a 0, a ≠ 1, N1·N2 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a 0, a ≠ 1, N1 0, N2 0).

Замечание. Если , (что равносильно N1N2 0) тогда свойство P3 примет вид

(a 0, a ≠ 1, N1N2 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

loga N k = k loga N (a 0, a ≠ 1, N 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1, N 0),

в частности, если N = b, получим

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (3)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (4)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции

f(x) = loga x:

  1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

  2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

  3. При a 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x1 x2 loga x1 a x2), а при 0 a x1 x2 loga x1 loga x2).

  4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a 0, a ≠ 1).

  5. Если a 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x€ (1;+∞), а если 0 a x € (0;1) и отрицательна при x €(1;+∞).

  6. Если a 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

А теперь приступим к практическому повторению и выполним задания.

Вычислить:

На «3»

1. а); б); в); г); д) 2log232

е) log3 81; ж) 3log327; з) lg1- lg10; и) ; к) 2lg10- lg100 ; л) log256;

м); н) ; о) ; п) .

На «4»

а) ; б); ; в) ; г);

д) ; е); ж): з) log;

и) ; к) ; л) ; м) .

на «5»

а); б);

в)г)

д); е) ;

ж) ; з) ; и)

К доске студенты выходят по желанию, решают различные по уровню сложности задания. Команды получают за это баллы, а также учитывается личный вклад каждого.

3.Изучение нового материала.

Логарифмические уравнения и их решение


Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b. (1)

Утверждение 1. Если a 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8;

b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.

Следующие утверждения используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

f(x) 0,

g(x) 0.

Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем

f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

h(x) 0,

h(x) 0,

h(x) ≠ 1,

h(x) ≠ 1,

f(x) 0,

g(x) 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)

или loga [f(xg(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Я вам рассказала только о теоретической части решения, а о методах решения расскажут ваши товарищи, которые уже частично разобрались в нём и готовы поделиться знаниями.

3.1 Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,

c) log(x - 2)9 = 2,

b)

d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,

5 + 3log2(x - 3) = 23

или 3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 21, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a) получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a) получим уравнение (x - 2)2 = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2

или, после элементарных преобразований,

x2 + 6x-7 = 0,

откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.


3.2 Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1



Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество xЄ(0;+∞) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

x 0,

x+3 0,

x+24 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)







x(x + 3) = x + 24,

x 0,

x2 + 2x - 24 = 0,

x 0,



x1 = -6,

x2 = 4,


x 0,



x=4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение x2 - 2x - 3 = 0

с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: xЄ(0;+∞). Используя свойство P5, получим уравнение

log2x(1 + log32) = 1,

откуда или или log2x = log63. Следовательно,


3.3 Использование замены, приведение к квадратному уравнению

При решении логарифмических уравнений вида lоgа²x – lоg аx - с = 0 целесообразно использовать новую переменную, например, заменить lоg аx на переменную t (lоg аx = t). Рассмотрим пример:

lg²x – lgx -12 = 0.

Пусть lgx = t, тогда получим t² – t – 12 = 0. Решая квадратное уравнение относительно t, получим корни t1= -3, t2 = 4. Вернёмся к замене и определим значение исходной переменной x:

  1. lgx = -3, x = , x = 0,001.

  2. lgx = 4, x = , x =10000.

Ответ: 0,001;10000.

  1. Первичное закрепление нового материала

А теперь приступим к решению логарифмических уравнений, закрепим

на практике новый материал, который мы с вами подробно разобрали.

Решить уравнения:

На «3»

отв: (x=2)

отв: (x=0)

отв: (x=255)

отв: (x=15)

отв: (x=-3)

отв: (x=-1, 4)

отв: (x=-3,3)

На «4»

отв: (x=9)

отв: (x=16)

отв: (x=4)

отв: (x=4)

. отв: (x=0,001)

отв: (x=0,01)

отв: (x=0,25)

отв: (x=72)

На «5»

отв: (x=2, 8)

отв: (x=0,125, 4)

отв: (x=0,01, 10)

отв: (x=2, 8)

отв: (x=1000)

отв: (x=1)

отв: (x=5)

отв: (x=6)

После небольшого промежутка времени на предварительное решение заданий студенты - представители команд выходят к доске с решением примеров. Разобрали все виды решений логарифмических уравнений, особенно удачно был усвоен метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.

При успешном усвоении материала и достаточном количестве времени решают самостоятельно №337(а, б) ,338(а, б), 339 стр. 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров.


5. Подведение итогов занятия

Подводим итоги сегодняшнего занятия-соревнования: индивидуальные оценки, общие баллы команд и самооценки усваивания материала (таблица 1). Это и есть рейтинговая оценка знаний студентов.

Таблица 1. Результаты соревнования команд


Этапы занятия



Команда №1


Команда №2


Команда №3


замечания

1.Повторение

«3»

«4»

«5»




1


1


2


2


1


1


2.Новый

материал

«3»

«4»

«5»





1

1





1

1





1

1


итог

18

20

10


Самооценка

4-«понял все»

4- «есть вопросы»

2- «не понял»

3-«понял все»

4- «есть вопросы»


3-«понял все»

4- «есть вопросы»





В итоге победителем становится команда второго ряда. Наш урок прошел успешно, студенты работали добросовестно и с желанием. Оценки получили 13 человек из24, средний балл- 4,3. Каждый студент при выходе из аудитории оставил карточку самооценки степени усвоении данной темы («Понял всё, смогу повторить», «В общем понятно, но есть вопросы», «Не понял ничего»).

Задание на дом: №340, 341 стр, 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.





Заключение.

Урок на тему «Решение логарифмических уравнений» построен на базе уже изученного теоретического материала (свойств логарифмов, методов решения уравнений 1 и 2 степени), поэтому на этом занятии особое внимание уделяется повторению основных свойств, определений, понятий, формул.

Материал для этого раздела подобран таким образом, чтобы студенты могли освоить теоретические понятия и практические навыки, которые тесно переплетаются на протяжении всего урока. Для повторения теоретического материала предложены вопросы прошлой темы, а для проверки практических навыков студенты выполняли индивидуальные задания по карточкам различного уровня сложности.

Новый материал был изложен студентами, которые самостоятельно изучили эту тему и продемонстрировали различные способы решения логуравнений у доски, комментируя каждое действие. Закрепление нового материала реализовалось в форме соревнования между командами при решении практических заданий с проведением анализа решения у доски.

В завершении урока были выставлены оценки и проведена самооценка усвоения материала занятия. Каждый студент оценил свою степень усвоения.

Цели урока, поставленные в его начале, были достигнуты. Предложенный в этой методической разработке теоретический и практический материал будет полезен при изучении данной темы студентами и преподавателями дисциплины «Математика».




Список литературы:













Приложение 1

Задания на повторение «Преобразование логарифмических выражений»



1. Вычислить: а); б) ; в); г);



1. Вычислите: а); б); в); г).



1. Вычислите: а); б); в); г).



1. Вычислить: а); б) ; в); г);



а); б)



а); б).







Прилохение 2

Тема занятия: «Решение логарифмических уравнений»

На «3»

отв: (x=2)

отв: (x=0)

отв: (x=255)

отв: (x=15)

отв: (x=-3)

отв: (x=-1, 4)

отв: (x=-3,3)



На «4»

отв: (x=9)



отв: (x=16)



отв: (x=4)



отв: (x=4)

. отв: (x=0,001)

отв: (x=0,01)



отв: (x=0,25)



отв: (x=72)



На «5»

отв: (x=2, 8)



отв: (x=0,125, 4)



отв: (x=0,01, 10)



отв: (x=2, 8)



отв: (x=1000)



отв: (x=1)



отв: (x=5)



1



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

Автор: Жук Наталья Геннадьевна

Дата: 17.01.2015

Номер свидетельства: 156959

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока: "Решение логарифмических уравнений""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii-1"
    ["file_id"] => string(6) "317222"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1460304057"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(214) "Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Решение логарифмических уравнений»"
    ["seo_title"] => string(80) "metodicheskaia_razrabotka_otkrytogo_zaniatiia_po_distsipline_matematika_na_tem_1"
    ["file_id"] => string(6) "498565"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1549379788"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(173) "Конспект урока по математике в инклюзивной группе на тему "Решение логарифмических уравнений""
    ["seo_title"] => string(107) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-v-inkliuzivnoi-ghruppie-na-tiemu-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "334159"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1465741834"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(177) "Конспект элективного занятия "Решение логарифмических уравнений и неравенств.Подготовка к ЕГЭ" "
    ["seo_title"] => string(110) "konspiekt-eliektivnogho-zaniatiia-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii-i-nieravienstv-podghotovka-k-iege"
    ["file_id"] => string(6) "201846"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1429123201"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Открытый урок по алгебре "Решение логарифмических уравнений" "
    ["seo_title"] => string(70) "otkrytyi-urok-po-alghiebrie-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "112728"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1408878884"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства