Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

Введение.

Одной из тем курса дисциплины «Математика» для 1 курса всех специальностей является тема «Логарифмические функции». При изучении материала этой темы к решению логарифмических уравнений необходимо уделить особое внимание, так как при решении уравнений используется весь теоретический материал по теме «Логарифмы». Кроме того, необходимо знать методы решения линейных и квадратных уравнений. Решение логарифмических уравнений будет использоваться при дальнейшем изучении дисциплины уже на втором курсе обучения при решении дифференциальных уравнений.

В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами. Каждый из компонентов дидактической структуры урока связан с предыдущими, что прослеживается по всему материалу данной темы. В разработке представлен план урока с распределением времени, конспект лекции и задания различной степени сложности для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала. (Приложения А-В).

Новый материал лучше усваивается при практической реализации полученных теоретических знаний, поэтому практическим заданиям уделено большое внимание на всем протяжении урока. Задания должны быть выполнены индивидуально, с последующим разбором у доски. Это прививает студентам ответственность за выполнение конкретного задания, воспитывает внимательность, точность.

Ход урока

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите

в воду, а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их! Трудность решения в какой-то мере

входит в само понятие задачи: там, где нет

трудности, нет и задачи». Д. Пойа

«Решение трудной математической проблемы

можно сравнить с взятием крепости».

Н.Я. Виленкин

1. Оргмомент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

а) Проверка домашнего задания.

Если что-то не получилось, разбираем подробно у доски.

Сегодня наше занятие будет посвящено логарафмическим уравнениям и их решению. Работать мы будем в стиле соревнования между тремя командами.

Правила соревнования:

Каждой команде выданы задания для выполнения. Задания разноуровневые, поэтому цвета карточек различны (задания на «3» серые, на «4» оранжевые, на «5» желтые). Ребята выбирают задания и выходят решать к доске. В каждой команде есть командир, который будет помогать при возникающих затруднениях в решении. Команде присваивается то количество баллов, которому соответствует задание и студент получает оценку. Если командиру пришлось решать задание полностью, то команде засчитывается только 1 балл.

б) Повторение опорных знаний.

На предыдущих занятиях вы познакомились с логарифмической функцией и её свойствами, научились выполнять логарифмические преобразования и вычислять значения. Перед знакомством с новым материалом мы закрепим знания повторением.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a 0, a ≠ 1 и b 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a 0, a ≠ 1, N₁ 0, N₂ 0).

Замечание. Если N₁·N₂ 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a 0, a ≠ 1, N₁·N₂ 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a 0, a ≠ 1, N₁ 0, N₂ 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ 0) тогда свойство P3 примет вид

(a 0, a ≠ 1, N₁N₂ 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N ^k = k log_a N (a 0, a ≠ 1, N 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1, N 0),

в частности, если N = b, получим

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (3)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (4)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции

f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x₁ x₂ log_a x_{1 a} x₂), а при 0 a x₁ x₂ log_a x₁ log_a x₂).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a 0, a ≠ 1).

5. Если a 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x€ (1;+∞), а если 0 a x € (0;1) и отрицательна при x €(1;+∞).

6. Если a 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

А теперь приступим к практическому повторению и выполним задания.

Вычислить:

На «3»

1. а); б); в); г); д) 2^log₂³²

е) log₃ 81; ж) 3^log₃²⁷; з) lg1- lg10; и) ; к) 2lg10- lg100 ; л) log256;

м); н) ; о) ; п) .

На «4»

а) ; б); ; в) ; г);

д) ; _{е); ж): з)} log;

и) ; к) ; л) ; м) .

на «5»

а); б);

в)г)

д); е) ;

_ж) ; з) ; и)

_{К доске студенты выходят по желанию, решают различные по уровню сложности задания. Команды получают за это баллы, а также учитывается личный вклад каждого.}

3.Изучение нового материала.

Логарифмические уравнения и их решение

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8;

b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Следующие утверждения используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)

или log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Я вам рассказала только о теоретической части решения, а о методах решения расскажут ваши товарищи, которые уже частично разобрались в нём и готовы поделиться знаниями.

3.1 Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

или 3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a) получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a) получим уравнение (x - 2)² = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3.2 Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество xЄ(0;+∞) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

x=4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5),

откуда получаем уравнение x² - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: xЄ(0;+∞). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1,

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

3.3 Использование замены, приведение к квадратному уравнению

При решении логарифмических уравнений вида lоg_а²x – lоg _аx - с = 0 целесообразно использовать новую переменную, например, заменить lоg _аx на переменную t (lоg _аx = t). Рассмотрим пример:

lg²x – lgx -12 = 0.

Пусть lgx = t, тогда получим t² – t – 12 = 0. Решая квадратное уравнение относительно t, получим корни t₁= -3, t₂ = 4. Вернёмся к замене и определим значение исходной переменной x:

1. lgx = -3, x = , x = 0,001.

2. lgx = 4, x = , x =10000.

Ответ: 0,001;10000.

1. Первичное закрепление нового материала

А теперь приступим к решению логарифмических уравнений, закрепим

на практике новый материал, который мы с вами подробно разобрали.

Решить уравнения:

На «3»

_{отв: (x=2)}

_{отв: (x=0)}

_{отв: (x=255)}

_{отв: (x=15)}

_{отв: (x=-3)}

_{отв: (x=-1, 4)}

_{отв: (x=-3,3)}

_{На «4»}

_{отв: (x=9)}

_{отв: (x=16)}

_{отв: (x=4)}

_{отв: (x=4)}

. _{отв: (x=0,001)}

_{отв: (x=0,01)}

_{отв: (x=0,25)}

_{отв: (x=72)}

_{На «5»}

_{отв: (x=2, 8)}

_{отв: (x=0,125, 4)}

_{отв: (x=0,01, 10)}

_{отв: (x=2, 8)}

_{отв: (x=1000)}

_{отв: (x=1)}

_{отв: (x=5)}

_{отв: (x=6)}

_{После небольшого промежутка времени на предварительное решение заданий студенты - представители команд выходят к доске с решением примеров. Разобрали все виды решений логарифмических уравнений, особенно удачно был усвоен метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.}

При успешном усвоении материала и достаточном количестве времени решают самостоятельно №337(а, б) ,338(а, б), 339 стр. 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров.

5. Подведение итогов занятия

Подводим итоги сегодняшнего занятия-соревнования: индивидуальные оценки, общие баллы команд и самооценки усваивания материала (таблица 1). Это и есть рейтинговая оценка знаний студентов.

Таблица 1. Результаты соревнования команд

В итоге победителем становится команда второго ряда. Наш урок прошел успешно, студенты работали добросовестно и с желанием. Оценки получили 13 человек из24, средний балл- 4,3. Каждый студент при выходе из аудитории оставил карточку самооценки степени усвоении данной темы («Понял всё, смогу повторить», «В общем понятно, но есть вопросы», «Не понял ничего»).

Задание на дом: №340, 341 стр, 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.

Заключение.

Урок на тему «Решение логарифмических уравнений» построен на базе уже изученного теоретического материала (свойств логарифмов, методов решения уравнений 1 и 2 степени), поэтому на этом занятии особое внимание уделяется повторению основных свойств, определений, понятий, формул.

Материал для этого раздела подобран таким образом, чтобы студенты могли освоить теоретические понятия и практические навыки, которые тесно переплетаются на протяжении всего урока. Для повторения теоретического материала предложены вопросы прошлой темы, а для проверки практических навыков студенты выполняли индивидуальные задания по карточкам различного уровня сложности.

Новый материал был изложен студентами, которые самостоятельно изучили эту тему и продемонстрировали различные способы решения логуравнений у доски, комментируя каждое действие. Закрепление нового материала реализовалось в форме соревнования между командами при решении практических заданий с проведением анализа решения у доски.

В завершении урока были выставлены оценки и проведена самооценка усвоения материала занятия. Каждый студент оценил свою степень усвоения.

Цели урока, поставленные в его начале, были достигнуты. Предложенный в этой методической разработке теоретический и практический материал будет полезен при изучении данной темы студентами и преподавателями дисциплины «Математика».

Список литературы:

Приложение 1

Задания на повторение «Преобразование логарифмических выражений»

1. Вычислить: а); б) ; в); г);

1. Вычислите: а); б); в); г).

1. Вычислите: а); б); в); г).

1. Вычислить: а); б) ; в); г);

а); б)

а); б).

Прилохение 2

Тема занятия: «Решение логарифмических уравнений»

На «3»

_{отв: (x=2)}

_{отв: (x=0)}

_{отв: (x=255)}

_{отв: (x=15)}

_{отв: (x=-3)}

_{отв: (x=-1, 4)}

_{отв: (x=-3,3)}

_{На «4»}

_{отв: (x=9)}

_{отв: (x=16)}

_{отв: (x=4)}

_{отв: (x=4)}

. _{отв: (x=0,001)}

_{отв: (x=0,01)}

_{отв: (x=0,25)}

_{отв: (x=72)}

_{На «5»}

_{отв: (x=2, 8)}

_{отв: (x=0,125, 4)}

_{отв: (x=0,01, 10)}

_{отв: (x=2, 8)}

_{отв: (x=1000)}

_{отв: (x=1)}

_{отв: (x=5)}

1