kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Одной из тем курса дисциплины «Математика» для 1 курса всех специальностей является тема «Логарифмические функции». При изучении материала этой темы к решению логарифмических уравнений необходимо уделить особое внимание, так как при решении уравнений используется весь теоретический материал по теме «Логарифмы». Кроме того, необходимо знать методы решения линейных и квадратных уравнений. Решение логарифмических уравнений будет использоваться при дальнейшем изучении дисциплины уже на втором курсе обучения при решении дифференциальных уравнений. В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами. Каждый из компонентов дидактической структуры урока связан с предыдущими, что прослеживается по всему материалу данной темы. В разработке представлен план урока с распределением времени, конспект лекции и задания различной степени сложности для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока "Решение логарифмических уравнений" »

Введение.


Одной из тем курса дисциплины «Математика» для 1 курса всех специальностей является тема «Логарифмические функции». При изучении материала этой темы к решению логарифмических уравнений необходимо уделить особое внимание, так как при решении уравнений используется весь теоретический материал по теме «Логарифмы». Кроме того, необходимо знать методы решения линейных и квадратных уравнений. Решение логарифмических уравнений будет использоваться при дальнейшем изучении дисциплины уже на втором курсе обучения при решении дифференциальных уравнений.

В данной методической разработке представлен сценарий классического урока с конкретными целями и задачами. Каждый из компонентов дидактической структуры урока связан с предыдущими, что прослеживается по всему материалу данной темы. В разработке представлен план урока с распределением времени, конспект лекции и задания различной степени сложности для проверки степени усвоения предшествующего и нового материала. (Приложения А-В).

Новый материал лучше усваивается при практической реализации полученных теоретических знаний, поэтому практическим заданиям уделено большое внимание на всем протяжении урока. Задания должны быть выполнены индивидуально, с последующим разбором у доски. Это прививает студентам ответственность за выполнение конкретного задания, воспитывает внимательность, точность.






План урока №44




По предмету

«Математика»

I курс

Тема урока

«Решение логарифмических уравнений»

Цели урока:



образовательная

Изложение нового материала, проверка, систематизация и закрепление знаний, умений и практических навыков

студентов.


развивающая

развивать логическое мышление студентов, расширять кругозор знаний учащихся, прививать интерес к изучаемому предмету, применять знания в новой ситуации, анализировать, делать выводы.

воспитательная

воспитывать внимательность, аккуратность, точность, чувство ответственности за качество и результаты выполняемой работы, прививать сознательное отношение к труду, формировать ответственность за конечный результат

Тип урока

Вид занятия

комбинированный

Урок формирования умений и навыков

Наглядные пособия

Карточки заданий на повторение, опорные конспекты, карточки заданий на усвоение нового материала

Организационный момент

5 мин.

Воспроизведение и актуализация опорных знаний:

30 мин.


  1. Проверка домашнего задания

  2. Повторение материала через устную работу с группой


3.

Постановка цели занятия и определение темы. Изложение нового материала:

«Решение логарифмических уравнений»


20 мин

4.

Первичное закрепление нового материала

30 мин.


а) Решение несложных заданий


5.

Подведение итогов занятия

5 мин.




Ход урока

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите

в воду, а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их! Трудность решения в какой-то мере

входит в само понятие задачи: там, где нет

трудности, нет и задачи». Д. Пойа

«Решение трудной математической проблемы

можно сравнить с взятием крепости».

Н.Я. Виленкин

  1. Оргмомент.

  2. Актуализация опорных знаний учащихся.

а) Проверка домашнего задания.

Если что-то не получилось, разбираем подробно у доски.

Сегодня наше занятие будет посвящено логарафмическим уравнениям и их решению. Работать мы будем в стиле соревнования между тремя командами.

Правила соревнования:

Каждой команде выданы задания для выполнения. Задания разноуровневые, поэтому цвета карточек различны (задания на «3» серые, на «4» оранжевые, на «5» желтые). Ребята выбирают задания и выходят решать к доске. В каждой команде есть командир, который будет помогать при возникающих затруднениях в решении. Команде присваивается то количество баллов, которому соответствует задание и студент получает оценку. Если командиру пришлось решать задание полностью, то команде засчитывается только 1 балл.

б) Повторение опорных знаний.

На предыдущих занятиях вы познакомились с логарифмической функцией и её свойствами, научились выполнять логарифмические преобразования и вычислять значения. Перед знакомством с новым материалом мы закрепим знания повторением.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a 0, a ≠ 1 и b 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a 0, a ≠ 1, N1 0, N2 0).

Замечание. Если N1·N2 0, тогда свойство P2 примет вид

loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a 0, a ≠ 1, N1·N2 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a 0, a ≠ 1, N1 0, N2 0).

Замечание. Если , (что равносильно N1N2 0) тогда свойство P3 примет вид

(a 0, a ≠ 1, N1N2 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

loga N k = k loga N (a 0, a ≠ 1, N 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1, N 0),

в частности, если N = b, получим

(a 0, a ≠ 1, b 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (3)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (4)

(a 0, a ≠ 1, b 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции

f(x) = loga x:

  1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

  2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

  3. При a 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x1 x2 loga x1 a x2), а при 0 a x1 x2 loga x1 loga x2).

  4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a 0, a ≠ 1).

  5. Если a 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x€ (1;+∞), а если 0 a x € (0;1) и отрицательна при x €(1;+∞).

  6. Если a 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

А теперь приступим к практическому повторению и выполним задания.

Вычислить:

На «3»

1. а); б); в); г); д) 2log232

е) log3 81; ж) 3log327; з) lg1- lg10; и) ; к) 2lg10- lg100 ; л) log256;

м); н) ; о) ; п) .

На «4»

а) ; б); ; в) ; г);

д) ; е); ж): з) log;

и) ; к) ; л) ; м) .

на «5»

а); б);

в)г)

д); е) ;

ж) ; з) ; и)

К доске студенты выходят по желанию, решают различные по уровню сложности задания. Команды получают за это баллы, а также учитывается личный вклад каждого.

3.Изучение нового материала.

Логарифмические уравнения и их решение


Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b. (1)

Утверждение 1. Если a 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8;

b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.

Следующие утверждения используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

f(x) 0,

g(x) 0.

Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем

f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

h(x) 0,

h(x) 0,

h(x) ≠ 1,

h(x) ≠ 1,

f(x) 0,

g(x) 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)

или loga [f(xg(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Я вам рассказала только о теоретической части решения, а о методах решения расскажут ваши товарищи, которые уже частично разобрались в нём и готовы поделиться знаниями.

3.1 Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,

c) log(x - 2)9 = 2,

b)

d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,

5 + 3log2(x - 3) = 23

или 3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 21, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a) получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a) получим уравнение (x - 2)2 = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2

или, после элементарных преобразований,

x2 + 6x-7 = 0,

откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.


3.2 Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1



Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество xЄ(0;+∞) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

x 0,

x+3 0,

x+24 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)







x(x + 3) = x + 24,

x 0,

x2 + 2x - 24 = 0,

x 0,



x1 = -6,

x2 = 4,


x 0,



x=4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение x2 - 2x - 3 = 0

с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: xЄ(0;+∞). Используя свойство P5, получим уравнение

log2x(1 + log32) = 1,

откуда или или log2x = log63. Следовательно,


3.3 Использование замены, приведение к квадратному уравнению

При решении логарифмических уравнений вида lоgа²x – lоg аx - с = 0 целесообразно использовать новую переменную, например, заменить lоg аx на переменную t (lоg аx = t). Рассмотрим пример:

lg²x – lgx -12 = 0.

Пусть lgx = t, тогда получим t² – t – 12 = 0. Решая квадратное уравнение относительно t, получим корни t1= -3, t2 = 4. Вернёмся к замене и определим значение исходной переменной x:

  1. lgx = -3, x = , x = 0,001.

  2. lgx = 4, x = , x =10000.

Ответ: 0,001;10000.

  1. Первичное закрепление нового материала

А теперь приступим к решению логарифмических уравнений, закрепим

на практике новый материал, который мы с вами подробно разобрали.

Решить уравнения:

На «3»

отв: (x=2)

отв: (x=0)

отв: (x=255)

отв: (x=15)

отв: (x=-3)

отв: (x=-1, 4)

отв: (x=-3,3)

На «4»

отв: (x=9)

отв: (x=16)

отв: (x=4)

отв: (x=4)

. отв: (x=0,001)

отв: (x=0,01)

отв: (x=0,25)

отв: (x=72)

На «5»

отв: (x=2, 8)

отв: (x=0,125, 4)

отв: (x=0,01, 10)

отв: (x=2, 8)

отв: (x=1000)

отв: (x=1)

отв: (x=5)

отв: (x=6)

После небольшого промежутка времени на предварительное решение заданий студенты - представители команд выходят к доске с решением примеров. Разобрали все виды решений логарифмических уравнений, особенно удачно был усвоен метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.

При успешном усвоении материала и достаточном количестве времени решают самостоятельно №337(а, б) ,338(а, б), 339 стр. 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров.


5. Подведение итогов занятия

Подводим итоги сегодняшнего занятия-соревнования: индивидуальные оценки, общие баллы команд и самооценки усваивания материала (таблица 1). Это и есть рейтинговая оценка знаний студентов.

Таблица 1. Результаты соревнования команд


Этапы занятия



Команда №1


Команда №2


Команда №3


замечания

1.Повторение

«3»

«4»

«5»




1


1


2


2


1


1


2.Новый

материал

«3»

«4»

«5»





1

1





1

1





1

1


итог

18

20

10


Самооценка

4-«понял все»

4- «есть вопросы»

2- «не понял»

3-«понял все»

4- «есть вопросы»


3-«понял все»

4- «есть вопросы»





В итоге победителем становится команда второго ряда. Наш урок прошел успешно, студенты работали добросовестно и с желанием. Оценки получили 13 человек из24, средний балл- 4,3. Каждый студент при выходе из аудитории оставил карточку самооценки степени усвоении данной темы («Понял всё, смогу повторить», «В общем понятно, но есть вопросы», «Не понял ничего»).

Задание на дом: №340, 341 стр, 106 из учебника «Алгебра и начала анализа» / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.





Заключение.

Урок на тему «Решение логарифмических уравнений» построен на базе уже изученного теоретического материала (свойств логарифмов, методов решения уравнений 1 и 2 степени), поэтому на этом занятии особое внимание уделяется повторению основных свойств, определений, понятий, формул.

Материал для этого раздела подобран таким образом, чтобы студенты могли освоить теоретические понятия и практические навыки, которые тесно переплетаются на протяжении всего урока. Для повторения теоретического материала предложены вопросы прошлой темы, а для проверки практических навыков студенты выполняли индивидуальные задания по карточкам различного уровня сложности.

Новый материал был изложен студентами, которые самостоятельно изучили эту тему и продемонстрировали различные способы решения логуравнений у доски, комментируя каждое действие. Закрепление нового материала реализовалось в форме соревнования между командами при решении практических заданий с проведением анализа решения у доски.

В завершении урока были выставлены оценки и проведена самооценка усвоения материала занятия. Каждый студент оценил свою степень усвоения.

Цели урока, поставленные в его начале, были достигнуты. Предложенный в этой методической разработке теоретический и практический материал будет полезен при изучении данной темы студентами и преподавателями дисциплины «Математика».




Список литературы:













Приложение 1

Задания на повторение «Преобразование логарифмических выражений»



1. Вычислить: а); б) ; в); г);



1. Вычислите: а); б); в); г).



1. Вычислите: а); б); в); г).



1. Вычислить: а); б) ; в); г);



а); б)



а); б).







Прилохение 2

Тема занятия: «Решение логарифмических уравнений»

На «3»

отв: (x=2)

отв: (x=0)

отв: (x=255)

отв: (x=15)

отв: (x=-3)

отв: (x=-1, 4)

отв: (x=-3,3)



На «4»

отв: (x=9)



отв: (x=16)



отв: (x=4)



отв: (x=4)

. отв: (x=0,001)

отв: (x=0,01)



отв: (x=0,25)



отв: (x=72)



На «5»

отв: (x=2, 8)



отв: (x=0,125, 4)



отв: (x=0,01, 10)



отв: (x=2, 8)



отв: (x=1000)



отв: (x=1)



отв: (x=5)



1



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

Автор: Жук Наталья Геннадьевна

Дата: 17.01.2015

Номер свидетельства: 156959

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока: "Решение логарифмических уравнений""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii-1"
    ["file_id"] => string(6) "317222"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1460304057"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(214) "Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Решение логарифмических уравнений»"
    ["seo_title"] => string(80) "metodicheskaia_razrabotka_otkrytogo_zaniatiia_po_distsipline_matematika_na_tem_1"
    ["file_id"] => string(6) "498565"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1549379788"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(173) "Конспект урока по математике в инклюзивной группе на тему "Решение логарифмических уравнений""
    ["seo_title"] => string(107) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-v-inkliuzivnoi-ghruppie-na-tiemu-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "334159"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1465741834"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(177) "Конспект элективного занятия "Решение логарифмических уравнений и неравенств.Подготовка к ЕГЭ" "
    ["seo_title"] => string(110) "konspiekt-eliektivnogho-zaniatiia-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii-i-nieravienstv-podghotovka-k-iege"
    ["file_id"] => string(6) "201846"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1429123201"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Открытый урок по алгебре "Решение логарифмических уравнений" "
    ["seo_title"] => string(70) "otkrytyi-urok-po-alghiebrie-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "112728"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1408878884"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1500 руб.
2500 руб.
1360 руб.
2260 руб.
1600 руб.
2660 руб.
1580 руб.
2640 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства