Конспект урока по теме: "Производная"

Урок по теме: "Производная: от формального знания к пониманию"

Цели урока:

1. Обучающая: ввести определение производной, её физический и геометрический смыслы; выяснить вопрос о её существовании.

2. Развивающая: формирование умений выполнять обобщения и конкретизацию, развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. критичность с учётом индивидуальных особенностей учеников.

Организация работы на уроке:

- Класс делится на четыре разноуровневые группы. Им присваиваются названия: архитекторы. физики, химики. математики.

Оборудование:

• мультимедийный проектор,

• плакат “Девиз урока ”,

• индивидуальные модели – вращающаяся модель декартовой плоскости,

• закрытые доски,

• карточки для работы в группах.

Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:

Кто такой учёный?

Определение.

Тот, кто ночами, забыв про кровать.
Усердно роется в книжной груде.
Чтобы ещё кое-что узнать
Из того, что знают другие люди. (П. Хейн)

Ход урока

1. Организационный момент.

Звучит музыка, учитель читает стихи:

"Мир - рвался в опытах Кюри
Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи"
Невоплощённой гекатобомбой...

Знакомы ли вам эти строчки? Нет? Это в 1921 году написал Андрей Белый. Вдумайтесь только 1921 год! За полтора десятка лет до того. как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век! Но как он смог?! Андрей Белый - это литературный псевдоним, а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы так много знаем о литературных достижениях Андрея Белого и так мало о математике Борисе Бугаеве?! Дело в том. что мир узнаёт о каком-то великом человеке. когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много, но самая престижная - Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях). Так мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому что у её основателя Нобеля была невеста и друг – математик. который отбил её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, т.е. совершить открытие. вывести формулы самим, и как знать. может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и, наконец-то, обратит внимание на математиков! И так начинаем исследовательскую часть."

2. этап. Исследовательская работа. Работа идёт в группах. Ученики берут лист №1 с заданием и выполняют это задание в тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри группы.

Физики. Лист №1: Пусть есть электрическая цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q(t) - количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Количество электричества есть функция времени. которая каждому значению t ставит в соответствие определённое q. Пусть h - приращение времени с момента to до to+h. Найдите:

а) среднюю силу тока за отрезок [to;to+h].

б) Мгновенную силу тока в момент времени to.

План оформления:

1. q(t)- это...

2. h-это....

3. I средняя =....

4. I(to)=.......

Химики. Лист №1: Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества, вступившего в реакцию в момент времени t. обозначим m(t)- это функция времени, которая каждому значению времени ставит в соответствие определённую массу. Пусть это приращение времени с момента времени to до to+h.

Найдите:

а) Среднюю скорость химической реакции за [ to;to+h].

б) Мгновенную скорость химической реакции в момент времени to.

План оформления:

1. m(t)-это....

2. h-это......

3. v средняя=....

4. v(to)=........

Архитекторы. Лист №1: Пусть имеется балка. Плотность балки в определённой точке х (длина балки) обозначим за(x)

Пусть h - приращение длины балки от точки xo до xo+h. Найдите: а) среднюю плотность балки на [xo; xo+h];

б) Точную (мгновенную) плотность балки в точке xo.

План оформления:

1.(x)-это.....

2.h-это.....

3. средняя =.....

4. (xo)=.....

Математики. Лист №1: Пусть дан график f(x). Рассмотрим точку М с абсциссой xo. Пусть h - это приращение абсциссы от точки xo до xo+h. MN - секущая. TM- касательная. Найдите а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б)угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная - это предельное положение секущей)

План оформления:

1. f(x)-это.....

2. h-это…..

3. k – секущей=…..

4. k касательной =......

Ученики 5 минут обсуждают решения в группах, а затем представители от групп оформлляют все решения на доски и защищают свои решения.

3. этап. Открытие нового понятия. Учитель: "А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы все решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при . Многие задачи физики, химии, экономики в процессе решения приводят к такой же модели! Значит, этому пределу надо:

1. Дать название

2. Дать обозначение

3. Изучить его.

Математически предел при отношения приращения функции к приращению аргумента называется производной в точке xo и обозначается q'(t),m'(t),?'(x),f'(x). Давайте это определение запишем в тетрадях: пусть функция f(x) определена в т. xo и в некоторой её окрестности. Дадим т.xo приращение h, чтобы не выйти из этой окрестности. Тогда производной в точке xo называется.....(далее определение дописывает ученик ).Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. Ученики должны ответить: 1. Задать функцию. 2. Задать приращение аргумента h. 3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента. 4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Далее класс самостоятельно формулирует и записывает в тетради физический смысл производной: s'(t)=v(t),v'(t)=a(t) и её геометрический смысл: f'(x)=k касательной в точке хо = tg? наклона касательной. Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо. то можно провести что? (обычно дети говорят: что можно провести касательную в т.хо. и наоборот. если можно провести касательную в т.хо. то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке учитель пока не обращает внимания, записывает фразу на доске в таком виде и дальше продолжает обсуждение)."

4 этап. Изучение нового понятия. Учитель:" Подведём итог: вы сами дали мне определение производной. но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке? Возьмите модели в руки и скажите существует ли производная в т. хо? Ответ объясните.”

Учитель: "А теперь давайте покрутим маленькую окружность вокруг центра и посмотрим, существует ли теперь производная в т.хо "

Учитель: " Существует теперь производная? И почему? " (нет, т.к. нельзя провести касательную в т.хо) Учитель: "Ещё раз покрутим окружность. "

Учитель: " Существует ли касательная в т.хо? (да). Какая это касательная? (вертикальная). Чему равен угол наклона вертикальной касательной? (90°). Чему равен тангенс угла наклона вертикальной касательной? (не существует). Чему равен угловой коэффициент вертикальной касательной? (не существует). Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной. проведённой в этой точке. Существует ли производная в данной точке? (нет). Как же так? Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке. то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?! Подумайте, что же вы сделали не так и исправьте фразу. " Далее ученики возвращаются к предложению. написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться: если в точке можно провести невертикальную касательную, то в этой точке существует производная, и наоборот, если в точке существует производная, то в этой точке можно провести невертикальную касательную.

5. этап. Закрепление нового понятия. На мультимедиа изображены рисунки и группы работают по ним. Вопрос один и тот же: существует ли производная в точке? ответ обосновать.

6. этап. Самостоятельная работа в группах. Учитель: " Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2 "

Архитекторы. Лист №2: 1. Придумайте пример функции. не имеющей производной ровно в двух точках (область определения функции вся числовая ось) 2. Найдите а) f(x)=x² f'(3)-? б)(x²)'-?

Физики. Лист №2: 1. Придумайте пример функции (область определения вся числовая ось). которая имеет производную ровно в одной точке. 2. Найдите а) f(x)=x f'(8)-? b) (x)'-?

Химики. Лист №2: 1. Придумайте пример функции (область определения вся числовая ось). имеющей производную ровно в двух точках. 2. Найдите а) f(x)=x? f'(3)-? б) (x?)'-?

Математики. Лист № 2: 1. придумайте пример функции (область определения вся числовая ось), которая имеет производную ровно в n точках 2. Найдите а) f(x)=3x³-2x+8 f'(1)-? б) (3x²-2x+8)'-?

Затем все задачи оформляют ученики на доску и защищают свои решения.

7 этап. Домашнее задание.

1. Выучить теорию.

2. По учебнику Виленкина № 392 (2,5,6,7)

8 этап. Итог урока.

Учитель: что называется производной в точке?

Сформулируйте физический смысл производной? Геометрический смысл?

Когда существует производная?

Какой момент был самым интересным на уроке?

Какой был самым трудным?

Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию - вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила. Почему крокодил? Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад! Этого я и вам желаю! "

Затем лидеры в группах объявляют оценки и дают краткую характеристику работы каждого члена группы.

Поговорим о производной

Тема урока. Применения производной.

Цели урока. Обобщить и закрепить материал по теме "Производная и ее применение”.

Развивающая

• развитие творческого мышления;

• развитие монологической речи;

• развитие навыков работы в группе.

Воспитательная

Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей выполнения работы.

Задачи.

1. Закрепить применять производную для решения различных задач.

2. Научить защищать выполненную работу.

3. Научить работать в группе.

Оборудование.

1. Карточки для рефлексии настроения и результативности. Карточки с заданиями.

2. Компьютер и проектор.

3. Звукозапись Лунной сонаты Бетховена.

План урока.

1. Рефлексия настроения.

2. Обсуждение темы занятия.

3. Актуализация знаний, умений, навыков.

4. Самостоятельная работа в группах

5. Психологическая пауза. (Физкультминутка)

6. Защита выполненных работ.

7. Итог урока.

8. Рефлексия результативности, настроения.

ХОД УРОКА

I. Рефлексия настроения.

Ребята, доброе утро. Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)! А какое у вас настроение? У вас на столе лежат карточки с изображением солнца, солнца за тучей и тучи. Покажите, какое у вас настроение.

II. Обсуждение темы занятия.

Ребята, отгадайте ключевое слово урока.

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее “флюксией” и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй, … ;

4) Обозначается штрихом.

Итак, тема нашего занятия “Поговорим о производной”.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Вводное слово учителя

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

III. Актуализация знаний, умений, навыков.

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

Давайте вспомним основные направления применения производной.

Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие лаборатории, у каждой из них есть своя тема.

1-я группа исследует применение производной в физике и технике;

2-я группа – геометрические приложения производной;

3-я группа – применение производной к исследованию функции;

4-я группа – применение производной на поиск наибольшего и наименьшего значения функции.

Слово предоставляем исследователям. (Все группы выступают по своим темам).

IV. Самостоятельная работа в группах.

А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям)темам. (Карточки-задания на столах).

Задание первой группе

Тело массой m кг движется по закону х(t) ( х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t₀,

если m=3, t₀ = 2, х(t)=0.25 t⁴ +1\3 t³ - 7 t + 2.

Материальная точка движется по закону х(t)=- t³ +6 t² +5 t ( х – в метрах, t – в секундах).

Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.

Задание 2-й группе

Составить уравнение общих касательных к кривым у=х² и у = -2х² +4х – 4.

Задание 3-й группе

При каких значениях параметра а уравнение х³ + х² – х - а=0 имеет ровно три корня?

Задание 4-й группе

Задача. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 кв. м. Известно, что 1 кв. м стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала 50 р. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

(Звучит спокойная музыка, ребята работают)

1-я и 2-я группы оформляют решение на доске, 3, 4 – на листочках.

V. Психологическая пауза (физкультминутка).

VI. Защита выполненных заданий.

Задание для всех групп, которые закончили свою работу.

1) Из 4 функций надо выбрать тот, на котором записано уравнение функции, невозрастающей на всей области определения.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ: Заданному условию удовлетворяет функция № 3, т.к.

2) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка "Чем дальше в лес, тем больше дров".

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

VII. Итог урока.

Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке.

Продолжите фразу:

“Сегодня на уроке я узнал…”

“Сегодня на уроке я научился…”

“Сегодня на уроке я познакомился…”

“Сегодня на уроке я повторил…”

“Сегодня на уроке я закрепил…”

VIII. Рефлексия результативности, настроения.

(Снова звучит лунная соната)

Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.

Я себя нарисовала на вершине горы, потому что организовал вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать сложные задания.

Покажите свои рисунки.

Рефлексия настроения. (Звучит Лунная соната). Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю солнце).

А какое настроение у вас?

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.