Конспект урока геометрии "По следам Пифагора"

Урок – устный журнал «По следам Пифагора» 8 класс

Цели: расширить знания по данной теме, познакомить учащихся с жизнью и творчеством Пифагора Самосского; развивать умение самостоятельно работать с дополнительной литературой, в том числе сети Интернет; воспитывать творческую активность уч-ся; повышать уровень математической культуры.

Ход урока.

1. Оргмомент.

2. Вступительное слово учителя.

Сегодня мы проводим урок в виде устного журнала «По следам Пифагора».

Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Ни одно имя ученого не повторяется так часто.

«Первая страница журнала».

Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ, пророк.

Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось.

Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Егейском море у берегов малой Азии около 570г. до н.э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости».

Для жителей Самоса все дороги вели в Милет (греческую колонию). Там юный Пифагор встречается с Фалесом, мудрецом, слава о котором гремела по всей Элладе. Под его руководством Пифагор изучает математику и небесную механику. По совету Фалеса двадцатилетний Пифагор принимает решение отправиться в Египет. Там он прожил 11 лет. Пифагор овладевает премудростями и тайнами египетских жрецов и достигает высших ступеней в храмовой иерархии.

В 526 г. до н. э. в Египет вторглись войска персидско­го царя Камбиза, и Пифагор вместе с другими жрецами попал в плен. Так он оказался в Вавилоне, где и прожил еще 12 лет.

Долгое пребывание в атмосфере таинства оставило от­печаток в сознании Пифагора. Пора ученичества подошла к концу. Многое было известно, понято, прочувствовано. Ничего нового жрецы уже не могли дать своему талант­ливому ученику. Возможно, неудовлетворенность бездоказательностью египетской и вавилонской математики ускорило окончательное решение Пифагора возвратиться на родину. Он хотел создать свою школу, в которой ясность логики и твердость доказательств стали бы главным строительным материалом.

Вернувшись на остров Самос, он так поразил знания­ми своих соотечественников, что его считали полубогом. Пифагор собирает вокруг себя юношей из благородных семей и ведет с ними тайные беседы. Поликрат, прави­тель острова, боясь, что под прикрытием этих бесед про­тив него зреет заговор, приказывает своим людям следить за Пифагором. Возмущенный ученый навсегда покидает родной остров и поселяется в одном из греческих городов южной Италии - Кротоне. Там он сразу привлекает к себе всеобщее внимание и уважение как человек много стран­ствовавший, многоопытный и дивно одаренный судьбой и природой: с виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него в голосе. На выступлениях Пифагора собирается до шестисот человек. О силе его воздействия на слушателей говорит такой факт: «Когда он однажды произнес речь, направленную против роскоши, то все женщины отнесли свои нарядные платья в храм Геры, так как ни одна из них не решалась показаться на улице в дорогом одеянии».

С приездом Пифагора в Кротон начинается самый яркий период его биографии. Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей – пифагорейскую школу, которое было одновременно научно-филосовской школой, религиозно- мистическим союзом, духовным братством.

1. Выступление учеников. «Вторая страница журнала».

1 ученик. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пи­фагорейский образ жизни». Это был одновременно и ре­лигиозный союз, и политический клуб, и научное обще­ство. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жиз­ненных принципов притягивала к нему единомышлен­ников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех.

Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышления, - когда идешь ко сну и когда пробуждаешься ото сна. День пифогарейцу надлежало закончить стихами: «Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: «Что я сделал? Что не сделал? И что мне осталось сделать?», и начинать день со стихов: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, душой раскинь, какие дела тебе день пригото­вил».

Эти стихи современны и по прошествии двух с полови­ной тысячелетий.

Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет, делали гимна­стические упражнения, принимали завтрак. В конце дня совершали совместные прогулки, морское купание и ужи­нали, а после ужина- - возлияние богам и чтение. Как видим, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии.

2 ученик. В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа - суть боги на земле», - говорил он. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых су­рово каралось. Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за за­навеса слушать голос учителя, видеть же его самого раз­решалось только после нескольких лет очищения музы­кой и аскетической жизнью. Обучение в школе было двух­ступенчатое, одни ученики назывались «математиками», т. е. познавателями, а другие - «акусматиками», т. е. слу­шателями. Математики - те, кто изучал суть науки, акус-матики - те, кто прослушивал обобщенный свод знаний. Акусматики представляли первую ступень в школе Пи­фагора. Наиболее одаренные акусматики переводились в математики, им разрешалось видеть учителя, вести с ним научные споры. Пифагорейцы узнавали друг друга по звезд­чатому пятиугольнику - пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков (популярные сегодня слова «калькуляция»,

«калькулятор» произошли именно от счета камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке).

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур; эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

1. Линейные числа (т. е. простые) - числа, которые делятся на 1 и на себя, следовательно, их представляли в виде последовательности точек, выстроенных в линию:. . . . . - например, число 5.

2. Плоские числа - числа, представляемые в виде произведения двух сомножителей: например, число 6.

3. Треугольные числа (3, 6, 10 и т.д.). Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметики. Так, представляя плос­кое число 6 в двух формах:

3∙2 = 2∙3 = 6,

легко «увидеть» переместительный закон умножения.

Одной из главных частей пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Наряду с математическими истинами в открытиях пифагорейцев было много фантазии и мистики. Так, четные числа они считали несчастными, а нечетные - счастливыми. (Эта традиция сохранилась и поныне в обычае дарить нечетное число цветов.)

3 ученик. Важнейшим достижением пифагорейцев было откры­тие ими совершенных чисел. Натуральное число, равное сумме всех своих делителей:

6 = 1+2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Пифагор по формуле q=2ⁿ(2ⁿ^+|-1) смог находить совершенные числа при значениях n, для которых число р =2ⁿ^+|-1 является простым. Первые четыре таких числа были пифагорейцам известны. А есть ли другие совершенные числа? Этот вопрос уже 2500 лет остается открытым.

Изучение свойств натуральных чисел привело Пифагора еще к одной «вечной» проблеме, общее решение ко­торой не найдено и поныне. В современной формулировке эта задача звучит так: решить в натуральных числах уравнение х² + у² = г². Сегодня эта задача называется задачей Пифагора, а ее решение - тройки натуральных чисел - пифагоровыми тройками. Частные решения были известны в глубокой древности: в Древнем Египте был известен треугольник со сторонами 3, 4, 5, т. е. 3²+4²=5²; его использовали при разметке прямоугольных земельных участков

после ежегодного уничтожения их границ раз­лившимся Нилом.

(3 уч-ся изображают египетский треугольник с помощью верки с делениями)

Занимаясь поисками треугольников, стороны которых а, Ь, с удовлетворяли бы условию а² + Ь²=с², Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть записаны так:

а= 2n + 1, Ь= 2n(n + 1), с = 2n² +n+1, nЄZ.

Треугольник с такими сторонами является прямоуголь­ным:

n = 1, (3, 4, 5);

n = 2, (5, 12, 13);

n = 3, (7, 24, 25).

Так начатое Пифагором исследование «безобидного» уравнения х² + у² = z² привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел - исследованию в целых числах уравнения хⁿ + уⁿ =zⁿ. Разрешимо ли это уравнение, остается загадкой и по сей день.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику и прежде всего, в геометрию. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин (аксиом), из которых с помощью логи­ческих правил выводимо неограниченное число геометри­ческих предложений. В геометрии впервые возник аксио­матический метод построения науки.

Пифагорейский союз - союз истины, добра и красоты - был любимым детищем великого мудреца. И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора.

«Третья страница журнала».

4 ученик. Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагоpa объясняется ее простотой, красотой, значимостью. Изу­чение вавилонских, древнекитайских рукописей показа­ло, что это утверждение было известно задолго до Пифа­гора. Его же заслуга состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пи­фагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже 100 быков.

Существует более 100 доказательств теоремы Пифаго­ра. Это объясняется тем, что в прошлом для получения звания магистра математики зачастую требовалось пред­ставление нового доказательства этой теоремы.

1. Решение задач «Четвертая страница журнала».

Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.

1. 
   

   
   

   (Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.) На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого бе­рега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.

Решение. 1) АВ² = АС² + ВС², АВ= 5,

2) 5 + 3 = 8 (футов) - высота тополя.

Ответ: высота тополя 8 футов.

2. (Задача из старинного китайского трактата.) В середине квадратного озе­ра со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет бере­га. Какова глубина озера?

Дано: ВС = 5 футов, ВК = 1 фут.

Найти: АВ.

Решение. 1) Пусть АВ = х, ВС = 5,

АС=х+1.

2) Из ABC по теореме Пифагора имеем

(х +1)² = х² + 5².

Ответ: глубина озера 12 футов.

1. «Пятая страница журнала «Занимательная».

Ученики рассказывают стихи, решают кроссворды, делают рисунки.